函数概念的产生及其历史演变

第二章 函数整体学程指导 集合作为近现代数学的“基本语言”被引入高中数学课程体系，利用它可以简洁、准确 地表述一些数学对象。本章是集合 语言应用的一个重要载 体，是学 习完集合语言后应用语 言表述数学问题、研究数学问题 和解决数学问题的一次重要 实践和有力尝试。 函数分为两个部分：函数的概念及基本性质（第二章）； 指数函数、对数函数和幂函数（第三章） ; 函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性） 解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念） 、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循 概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的 这几个性质？水浒传里有 108 将，但是只 对武松、 鲁智深、林冲等 十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。 函数（Function） 本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数（指数、对数、幂函数） 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试，在尝试中不断加深 对函数研究一般方法的认识 和理解。 数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解） 函数的应用 （数学发展的两条主线都涉及了） 社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题） 第一节：函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点：（The scenery well visit） 1. 函数的概念是什么？（What？） 2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？） 景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？ 2 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观 300 年来函数概念的发展，众多 数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数 学的发展。 【工作单 1】函数概念的第一次抽象认识（解析式说） 案例 1：圆的面积 与圆半径 的关系；Sr 案例 2：锐角 与锐角 互余， 与 的关系； 案例 3：气体的质量一定时，它的体 积 与它的密度 之间 的关系；V 【思考 1】上述的每一个问题在变化过程中， 谁是常量， 谁是 变量？都涉及几个变量？ 【思考 2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？ 【思考 3】综合思考 1 和思考 2 的解答， 总结上述例子变量 间关系的共同特点？ 【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在两门新科学一书中，几乎从 头到尾包含着函数或称 为变量的关 系这一概念，用文字和比例的 语言表达函数的关系。 1673 年前后笛卡尔在他的解析几何中， 已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般 的函数概念。 1718 年约翰贝努利对函数概念 进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义）， 贝 努利把变量 和常量按任何方x 式构成的量叫“ 的函数” 。x 欧拉在无穷分析引论（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一 些数或常量以任何方式组成的解析式。 ” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式 局限性：并不是所有的函数关系都能用表达式表示，没有解析式的能算作函数吗？ 【工作单 2】函数概念的第二次抽象认识（变量的依赖说） 3 案例 1： 【思考 1】表格中有变量吗？有几个变量？是什么？ 【思考 2】当年份确定时，相应 年份的人口数是否确定？那么你能根据表格写出 1949 1999 年年份与我国人口数的关系式吗？ 案例 2： 【思考 1】统计 图中有 变量吗？有几个变量？是什么？ 【思考 2】当时间确定时，相应 的温度是否确定？你能写出温度随 时间变化的关系式吗？ 【思考】综合上述思考题的解答， 总结上述例子变量间关系的共同特点？ 欧拉在微分学原理（1755）序言中给出的定义是：”如果某个量依赖于另一个量，当后 面这个量变化时，前面这个量也随之 变化， 则前面这个量称 为后面这个量的函数。 总结：函数表示的是变量的一种依赖关系。 4 局限性：并不是所有变量之间都具有依赖性的，即在解析式中找不到 的对应关系的能yx, 算作函数吗？ 【工作单 3】函数概念的第三次抽象认识（变量的对应说） 案例：某市出租汽车的收费标准如下：在 （含 ）路程按起步价 11 元收费，超过km3 的路程按 2.4 元/ 收费 ，试问：某次乘坐出租汽车路程为 和 时，收费分kmk km1.82.7 别是多少？如果是 呢？4 【思考 1】上述问题有变量吗？有几个变量？分别是什么？ 【思考 2】上述两个变量是否一定具有依赖关系？ 【思考】综合上述思考题的解答， 总结上述例子变量间关系的特点？ 【十九世纪函数概念变量对应关系下的函数】 1823 年柯西从定义变量开始给出了函数的定义，同 时指出，函数不一定要有解析表达式， 不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限 的是杰出数学家狄利克雷。 1837 年狄利克雷认为怎样去建立与 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：y “对于在某区间上的每一个确定的 值， 都有一个确定的值，那么 叫做 的函数 ”狄利xyx 克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定 义中所有的关于依 赖关系的描述， 简明精确， 以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受至此，我们已可以说，函数概念、函数的本 质定义已经形成，这就是人们 常说的经典函数定义。 （初中学 习的函数的定义） 局限性：没有局限性了，只是集合语言的引入， 显得更高端洋气上档次一些。 【工作单 4】函数概念的第四次抽象认识（集合的对应说） 等到 20 世纪康托尔创立的集合论在数学中占有重要地位之后，集合 语言作为近现代 数学的“基本语 言” 广泛的在数学的各个分支学科中占据着重要地位。那么如何利用集合语 言来包装函数的变量对应说，从而 给出基于集合语言的定 义呢？ 【思考 1】 变量对应说中的两个变量如何用集合语言包装？（集合的概念）两个非空数集 强调：非空、数集（所谓函数函数，研究的肯定是数的集合）； 【思考 2】 变量对应说中的变量对应关系如何用集合语言包装？（变量对应-集合对应） 5 强调：集合对应的本质仍然是两非空数集中元素的对应； 【思考 3】 集合对应的本质仍是两非空数集中元素的对应，那么这种对应遵循什么规律？ （1）非空数集 中能否存在多余的元素？A （2）非空数集 中能否存在多余的元素？B （3）对于非空数集 中的任意一个元素 ，在非空数集 中能否有两个元素与之对应？xB 【思考 4】结合上述几个思考题，概括函数的本 质属性，并 给 出函数的概念？ （按照某种对应法则（可以为解析式、可以 为表格、可以 为图 像）、在集合 中的每一个元素，A 在 中都有唯一的元素与之对应）（看成是数值发生器）B 根据函数的定义进一步思考： 【思考 5】 （1）在非空数集 中的元素 ，在非空数集 中是否可有两个或多个元素与之 对应？xA （2）非空数集 和非空数集 是否可以为无限集？试举例说明。（有限与无限应该是同步AB 的，例子为：正整数集合与正偶数集合的 对应关系） 数学的表述和推理离不开符号，所以函数概念要为数学服 务，也要用符号表示。 数学教育国际比较的观点：David Clarke （张家港常青藤和美国芝加哥）。不同的函数可看成 是不同的数值发生器（画出三个不同形状的数值发生器）。 根据函数的表示进一步思考： 【思考 6】 1: 是函数么？ 是函数吗？ 是函数 吗？2)(xf)2(f 1)(xf 2： ； 表示的是同一个函数吗？Dy,ts, 3：已知 ，则 分别是什么？3)(2xf )(),(何 睦fyf 【现代函数概念集合论下的函数】 维布伦用“集合” 和“ 对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应 关系、定义域及值域进一步具体化了； 6 1930 年新的现代函数定义为，若 对集合 的任意元素 ，总有集合 确定的元素MxN 与之对应，则称在集合 上定义一个函数， 记为 元素 称为自变元，元素y ()yf= 称为因变元。 【小结】 其实每个数学概念和公式的背后都有着它的故事：或许源于一个灵感；或许是几代人 甚至是几个世纪人的共同努力使之完善的过程；更或许是中外数学家的一些共同思考。 应该指出的是，函数概念的整个 历史进程中， 经历了无数数学家 “一次次的提出概念、 一次次的推翻概念”的探究过程，不断的引发更多的数学家关于函数概念和函数本质问题 上进行更深层次的思考。我想， 这是必然的一个现象，因为人类在探索自然规律的过程中 必然有个中假设，虽然后来发现 某些假设是错误的，但正是前人的失败才使后人的思考走 上了正确的道路。 函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不 意味着函数概念发展的历史终结。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概 念还会继续扩展 景点二：函数概念产生的历史背景 数学知识的引进必定有它存在的正面价值，小学我 们虽然没有引入函数概念，但是我 们研究过：单价、数量和总价的关系，速度、时间和路程的关系，这些都是函数的影子；初中 在一次函数章节里给出过 是 的函数的定义：在一个变化过程中的两个变量 和 ，对yx xy 于 的每一个值， 都有唯一的 值与它对应，我 们就称 是 的函数。但是同学们是否有x yx 过哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，函数的概念也不例外。 为什么要学习函数？阅读下面材料，你就能 发现问题的答案了！ 【工作单 5】为什么要引入函数概念？ 世界上的一切，都在不停的变 化。 古希腊哲学家赫拉克里特说：人不能两次踏入同一条河流。因 为河水在流动，第二次踏 入的已经不是上次的河流了。 赫拉克利特用生动的比喻说明一切都在不断的变化。但他没有把概念说清楚。什么叫 7 同一条河流？昨天的黄河和今天的黄河是一条河还是两条河？早上的你和晚上的你是一 个人还是两个人？ 当时有的哲学家走向另一个极端，认为事物实际上是静止不 变的， 变化和运动只是人 的幻觉。其中有个叫芝诺的诡辩 家， 为了论证运动是幻觉，还提出了飞矢不动的著名怪论。 飞快的箭怎么可能不动呢？芝诺的说法是：箭在每一瞬间都要占据确定的位置，所以 每一瞬间都是静止的。既然每一瞬 间都是静止的，又怎么能够动呢？ 数学讲究严谨，概念要清楚。要探讨动还是不动，就要先讲好什么叫动，什么叫不动。 什么叫动？一个物体，时刻 在甲处，另一个 时刻 在与甲不同的乙 处，我们就说它1t2t 在时刻 到 之间动了。如果 对于两个时刻之间的任意时 刻 t 它都在甲处，就说它在这段1t2 时间内没有动。这样把时间和物体的位置 对应起来， 问题就清楚了。原来，动和不动是涉及 两个或更多时刻的位置的概念，只看一瞬 间， 动和不动都没有意 义。怪论的漏洞，源于对运 动没有严谨的表述。 从上面两个例子可见，古人已 经感觉到了事物的运动变化和保持相 对稳定性质之间的 矛盾，但由于尚未找到合理地刻画运动和变化的方法，就不能实事求是地认识运动和变化， 或者否定运动的可能性，或者否 认变化中的事物是同一事物。 直到 17 世纪，数学中出现了变 量与函数的概念，人 们才掌握了精确地描述和刻画运 动与变化的工具。 一部电影由许多画面组成。这 些画面按一定顺序排列在长长 的胶片上。 对画面进行编 号，就得到了从一部分自然数到画面的对应。 电影是由一串离散的画面组成的。 实在的事物却是由连续 改变着的状态组成的。 这时， 时刻代替了编号，状态代替了画面。号码是自然数，而时刻是实数。运动变化的事物，就可 以用时刻到状态的对应来刻画。 时刻可以用实数表示，事物在一个时刻的状态也可以用一 组或一个实数来表示，于是， 时刻到状态的对应就成了实数到实数的对应，也就是函数。 景点三：对函数概念本质理解的应用 【工作单 6】对函数概念的理解 1. 课本 P25 例 1； 8 增加（3）： 的对应是否为函数？（ 不为非空数集）x