湖北省襄阳市2017届高三第一次适应性考试（5月）数学试卷（文）含答案

2017 届襄阳高三年级第一次适应性考试 数学（文科） 试 题 命题人：程玲 、张华齐 审题人：程玲 考试时间： 2017年 5月 3日 满分： 150分 一、 选择题 1 已知集合 0)12(l o g|3 2 | 3 2 B x y x x ，全集 ，则)( 等于 A. 1,12 B. 20,3C. 2,13 D. 12,232 复数 21 3 iz a a ，若 0z ，则实数 a 的值是（ ） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 3 在 中， 2 , 0 , 2 , 0 , ,B C A x y ，给出 满足条件，就能得到动点 A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 周长为 10 25: 21 面积为 10 222 : 4 0C x y y 中， 90A 223 : 1 095 则满足条件 ， ， 的轨迹方程依次为（ ） A. 3 1 2,C C 1 2 3,C C 3 2 1,C C 1 3 2,C C 已知 中， ,对的边，且 4a ， 5 ， t a n t a n 3 3 ，则 的面积为（ ） A. 32B. 33 C. 332D. 325 小明订了一份报纸，送报人可能在早上 6： 307： 30 之间把报纸送到，小明离开家的时间在早上 7： 008： 00 之间，则他在离开家之前能拿到报纸的概率是（ ） A. 13B. 18C. 23D. 786 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图 如图所示，则原圆 锥 的体积为 （ ） B. 23C. 43D. 837 如图，已知长方体1 1 1 1A B C D A B C D的体积为 6， 1正切值为 13，当1A B A D A A的值最小时，长方体1 1 1 1A B C D A B C D外接球的表面积为 ( ) B. 12 C. 14 D. 16 8 我国南宋数学家秦九韶（约公元 12021261 年）给出了求 *次多项式11 1 0x a x a x a 当 0时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“ 秦九韶算法 ” 例如，可将 3 次 多 项 式 改 写 为 ： 323 2 1 0 3 2 1 0a x a x a x a a x a x a x a 之后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的 值 A. 4 3 22 3 4x x x x B. 4 3 22 3 4 5x x x x C. 3223x x x D. 322 3 4x x x 9 已知双曲线 22142右焦点为 F ,P 为双曲线左支上一点，点 0, 2A ,则 长的最小值为（ ） A. 4 1 2 C. 2 2 6 D. 6 3 2 10 数列 足212n n na a a，且2014a，201621( ) 4 6 13f x x x x 的极值点，则2 2 0 0 0 2 0 1 2 2 0 1 8 2 0 3 0l o g ( )a a a a 的值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 11 将 函 数 3 s i 的 图 象 向 左 平 移 3 个 单 位 ， 得 函 数3 s i n ( )4 的图象 (如图 ) ，点 , y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设 ，则 的值为（ ） A 13 B. 23 C. 13 D. 23 12 若函数 y f x 的图象上存在两个点 ,对称点 , y f x 的 “孪生点对 ”，点对 , ,看作同一个 “孪生点对 ”，若函数0,29602)(23 恰好有两个 “孪生点对 ”，则实数 a 的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 或 4 D. 0 二、 填空题 13 向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为 _ 14 设 实数 ,02 5 020 ，则 的取值范围为 15 祖暅（公元前 5纪 )，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家 . 他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异 . ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 . 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年 . 椭球体是椭圆绕其轴旋转所 成的旋转体 . 如图将底面直径皆为 2b ，高皆为 a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 上 . 以平行于平面 的平面于距平面 任意高 d 处可横截得到 环两截面，可以证明知 圆总成立 . 据此， 由 短轴长为 4 长轴为 6 椭圆绕长轴旋转所得的 椭 球体的体积是 _ 3 16 已知圆 C ： 1)4()3( 22 两点 )0( ， ， )0( ，0( m ，若圆 C 上不存在点 P ，使得 为直角，则实数 m 的取值范围是 三、 解答题 17 （ 12 分） 在等差数列 32a ， 137 n 项和为)14(34 （ ）求数列 （ ）求数列 nn 的前 n 项和18 （ 12 分） 为了研究一种昆虫的产卵数 y 和温度 x 是否有关，现收集了 7 组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分 布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模 型 ： 212y C x C与模型 ： 34C x 作为产卵数 y 和温度 x 的 回归方程来建立两个变量之间的 关系 . 温度 / 20 22 24 26 28 30 32 产卵数 y /个 6 10 21 24 64 113 322 2 400 484 576 676 784 900 1024 考数据： 26x ， 692t ， 80y ， ， 717 211 1 5 7 . 5 4x y ， 717 210 . 4 3t y ， 717 210 . 3 2z x ， 717 210 . 0 0 0 1 2z t 其中 2 11 ， 11 ， 附：对于一组数据 1 1 2 2, , , , , ,v u v u v，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 121u v ， . （ ） 在答题卡中分别画出 y 关于 t 的散点图、 z 关于 x 的散点图，根据散点图判断哪一个模 型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） . （ ）根据表中数据，分别建立两个模型下建立 y 关于 x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为 30C 时的产卵数 .（1 2 3 4, , ,C C C 参考数据： ， ， ） （ ）若模型 、 的相关指数分别为 21 ， 22 ，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好 . 19 （ 12 分） 如图 ,在四棱锥 P 中，底面 正方形， 底面 B ， ,中点 . （ ）在图中画出过点 , ，使得 / 平面 须说明画法，并给予证明）； （ ）若过点 , 平面 截四棱锥 P 所得截面的面积为322 ，求四棱锥 P 的体积 . 20 （ 12 分） 如图，抛物线 E ： 2 2 ( 0 )y px p与圆 O ： 228相交于 A ， B 两点，且点 A 的横坐标为 2 B 上动点 00,P x 的切线交抛物线 E 于 C ， D 两点，分别以 C ， D 为切点作抛物线 E 的切线 1l ， 2l ， 1l 与 2l 相交于点 M .（注：抛物线 E 上异于原点的某点 ),( 的切线方程为： )( ） （ ）求 p 的值； （ ）求动点 M 的轨迹方程 . 21 （ 12 分） 已知函数 l n 1f x x a x ，其中 . ( ) 当 a 1 时，求证： 0； ( ) 对任意 ，存在 0x ， ，使 l n ( 1 ) 0t t t f x a 成立，求 a 的取值范围 . （其中 e 是自然对数的底数， e ） 22 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，直线 l 的方程为 40，曲线 C 的参数方程为 3 （ 为参数） （ ）已知在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 ( 2, )4，判断点 P 与曲线 C 的位置关系； （ ）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 23 选修 4等式选讲 已知函数 2294 , 0 ,s i n c o s 2f x ，且 f x t 恒成立 . （ ）求实数 t 的最大值； （ ）当 t 取最大时，求不等式 2 1 65 的解集 . 第一次 适应性考试数学（文）参考答案 14 23,38 15 16 16 （ 0， 4） （ 6， + ） 17 （ ） 12 ； .（ 6 分 ） （ 2049 56 1 nn .（ 12 分） 18 （ ）画出 y 关于 t 的散点图，如图 18 1 ： z 关于 x 的散点图，如图 18 2 根据散点图可判断模型 更适宜作为回归方程类型 .（ 4 分） （ 于模型 ：设 2，则 21 2 1 2y C x C C t C ， 其中 711 7210 . 4 3t y ， 21 8 0 0 . 4 3 6 9 2 2 1 7 . 5 6C y C t ， 所以 20 . 4 3 2 1 7 . 5 6， 当 30x 时，估计温度为 21 0 . 4 3 3 0 2 1 7 . 5 6 1 6 9 . 4 4y . 对于模型 ： 34C x 34z ln y C x C ， 其中 713 710 . 3 2z x ， 43 3 . 5 7 0 . 3 2 2 6 4 . 7 5C z C x 所以 ， .（ 9 分） 当 30x 时，估计温度为 0 . 3 2 3 0 4 . 7 5 4 . 8 52 1 2 7 . 7 4y e e （ ）因为 2212所以模型 的拟合效果更好 .（ 12 分） 19 （ ）如图所示，分别取 ,C 的中点 ,接 , , ,E F E H H G F G，因为/B ， /G ，所以 /G ，即 , , ,E F G H 四点共面，则平面 所求平面 ，因为 /D ， 面 面 所以 / 同理可得： / 且 H H，所以 / 面 .（ 6 分） （ 2PA a ，则 EF a ， 2GH a ，由（ 1）知截面 面积为梯形 面积， 面 面 ， , 又 , ， 面 ，又 面 ， ，所以梯形 直角梯形 中， ， ，又， 3222E F G G H E 梯 形 ， 1a ， 31833P A B C D A B C A S 正 方 形. .（ 12 分） 20 （ ）由点 A 的横坐标为 2 ，可得点 A 的坐标为 2,2 ， 代入 2 2y ，解得 1p .（ 2 分） （ 设点 ),( 11 ),( 22 ,M x y ；所以切线 程为：)(1 111 ， )(1 222 联立可得点 ,M x y 坐标满足222121 圆 O 相切于点 ),(00 以 程为008x x y y，其中0x， 0， 0 2, 2 2x ， 联 立 直 线 抛物线 E ，8200201620002 以0210021162 ,M x y 坐标 满足 0008 ，所以0088 ， 代入 22008得 2 2 18x y， 又0 2, 2 2x ， 所以 4 , 2 2x 动点 M 的轨迹方程为 2 2 18x y， 4 , 2 2x .（ 12 分） 21 （ ）当 a 1 时， f x x x （ x 0）， 则 111 ，令 0 ，得 1x 当 01x时， 0 ， 当 1x 时， 0 ， 故当 1x 时，函数 为最大值，所以 m a x 10f x f， 所以， 0，得证 .（ 3 分） （ 题即对任意 ，存在 0,x ，使 f x 成立， 只需 m i nm i f x 设 t ，则 21 t ，令 1 t t t ，则 1110 对于 恒成立，所以 1 t t t 为 e,+ ) 上的增函数， 于是 1 l n e e 2 0u t t t u ，即 21 l n 01t对于 恒成立， 所以 t 为 e )， 上的增函数， 则 m i n m i nl n e 1t .（ 7 分） 令 p x f x a ，则 l n 1 l np x x a x a x a x ， 当 a 0 时， x x 为 0, 的减函数，且其值域为 R，符合题意 当 a 0 时， 1p x ，由 0 得 1 0 ， 由 0 得 1，则 p(x)在 1 ,a 上为增函数；由 0 得 10 ，则 p(x)在 10,a上为减函数，所以 m i n1 l n 1p x p ， 从而由 ，解得 1 .（ 11 分） 综上所述， a 的取值范围是 1 ，. .（ 12 分） 22.（ ） 把极坐标系下的点 ( 2, )4P 化为直角坐标，得 (1,1)P ，曲线 C 的普通方程为22132，把 P 代入得 11132，所以 P 在曲线 C 内 .（ 4 分） （ 因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ( 3 c o s , 2 s i n )， 从而点 Q 到直线 l 的距离为 | 3 c o s 2 s i n 4 |2d | 5 c o s ( ) 4 |2 （其中 6 ）， 由此得 c o s ( ) 1 时， d 取得最小值，且最小值为 4 2 102 .（ 10 分） 23 （ ）因为 2294 , 0 , 2f x xs i n x c o s x ，且 f x t 恒成立， 所 以 只 需 f x， 又 因 为 2 2 2 29 4 9 4fx s i n x