河北省唐山市2017届高三第三次模拟考试数学试题(理)含答案

唐山市 2016 2017 学年高三年级第三次模拟考试 理科数学 第卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 2 | 2 0 , | l g ( 1 ) A x x x x y x ，则 A (0, ) B (1,2) C (2, ) D ( ,0) 2、已知 i 为虚数单位， (2 1) 1z i i ，则复数 z 的共轭复数为 A 1355iB 1355iC 1355iD 1355i3、总体由编号为 0 1 , 0 2 , 0 3 , , 4 9 , 5 0的 50 各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则选出来的第 4 个个体的编号为 A 05 B 09 C 11 D 20 4、已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的一条渐近线方程为 20 ，则 C 的离心率为 A 52B 52或 5 C 2 D 5 5、执行右侧的程序框图，若输出 4y ，则输入的 x 为 A 3 或 2 或 1 B 2 C 2 或 1 D 1 6、数列 a，对于任意 ,m n N ，有 3n m na a m ， 则 项和5SA 121 B 25 C 31 D 35 7、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A 4 B 8 C 43D 838、函数 1( 1)（其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为 9、若 9 2 90 1 2 9(1 )x a a x a x a x ，则1 2 3 9a a a a A 1 B 513 C 512 D 511 10、函数 c o s ( ) ( 0 )6f x w x w 在 0, 内的值域为 3 1, 2，则 w 的取值范围是 A 35 , 23B 53,62C 5 , )6 D 55 , 6311、抛物线 2:4C y x 的焦点 F， N 为准线上一点， M 为轴上一点， 为直角，若线段 中点 E 在抛物线 C 上，则 的面积为 A 22B 2 C 322D 32 12、已知函数 32f x x a x b x 有两个极值点12,12若1 0 223x x x， 函数 0()g x f x f x，则 恰有一个零点 B 恰有两个零点 C 恰有三个零点 D 至多两个零点 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13、已知向量 ( 3 , 1 ) , ( 2 , 1 ) ，则 a 在 b 方向上的投影为 14、直角 顶的三个顶点都在球的球面 O 上，且 2C，若三棱锥 O 的体积 为 2，则该球的表面积为 15、已知变量 ,02 1 00y a ，目标函数 2z x y的最小值为 5 ， 则实数 a 16、数列 n 项和为214 ( )2a n N ，则、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 12 分） 在 中，角 ,对应的边分别为 , , , c o sa b c a b b C （ 1）求证： ； （ 2）若 2,为锐角，求 c 的取值范围 18、（本小题满分 12 分） 某学校简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟）进行调查，结果如下： 若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷” （ 1）将频率视为概率，估计该校 4000 名学生中“读书迷”有多少人？ （ 2）从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 位同学参加读书日宣传活动 求抽取的 4 为同学中有男同学又有女同学的概率； 记抽取的“读书迷”中男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 19、（本小题满分 12 分） 如图，在平行四边形 ， 02 4 , 6 0 , , ,B C A B A B C P A A D E F 分别为,E 的中点， 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 20、（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )xy 经过点 1( 3, )2E，离心率 32 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）直线 l 与圆 2 2 2:O x y b相切于点 M，且与椭圆 相较于不同的两点 , 求 最大值 21、（本小题满分 12 分） 已知函数 2l n ( 1 ) , ( 0 )f x x a x a （ 1）讨论函数 （ 2）若函数 1,0) 有唯一的零点0x，证明 210 1e x e 请考生在第 （ 22）、（ 23） 题 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22、（本小题满分 10 分） 选修 4坐标系与参数方程 点 P 是曲线 221 : ( 2 ) 4C x y 上的动点，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点 O 为中心，将点 P 逆时针旋转得到 点 Q ，设点 Q 的轨迹为曲线2C （ 1）求曲线1C，2 （ 2）射线 ( 0)3与曲线1C，2点 (2,0)M ，求 的面积 23、（本小题满分 10 分） 选修 4不等式选讲 已知函数 21f x x a x （ 1）若 1a ，解不等式 5； （ 2）当 0a 时， 1()g a 求满足 4的 a 的取值范围 唐山市 2016 2017 学年度高三年级第三次模拟考试 理科 数学 参考答案 一 选择题： A 卷： B 卷： 填空题 ： （ 13） 5 （ 14） 44 （ 15） 3 （ 16） 1 三解答题 ： （ 17） 解： （ ） 由 a b 根据 正弦定理得 ， 即 C) ， ， ， 得 6 分 （ ） 由余弦定理得 2 4b 4 (b 2)2 8， 8 分 由 a b 知 b 21 ， 由 C 为锐角 ， 得 0 1， 所以 1 b 2 10 分 从而有 1 8 所以 c 的 取值范围是 (1， 2 2) 12 分 （ 18） 解： （）设 该校 4000 名学生中“读书迷”有 x 人，则 8100 得 x 320. 所以 该校 4000 名学生中“读书迷”有 320 人 3 分 （） （）抽取的 4 名同学既有男同学，又有女同学的概率 P 1 3 14 6 分 （） X 可取 0， 1， 2， 3 P(X 0) 48 1 14， P(X 1)48 3 7 ， P(X 2) 48 3 7 ， P(X 3)48 1 14， 10 分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 E(X) 0 1 14 1 3 7 2 3 7 3 1 14 3 2 12 分 （ 19） 解： （）连接 为 面 平面 以 在 平行四边形 ， 24， 60， 所以 2， 2 3， 从而有 所以 3 分 又因为 A， 所以 面 平面 从而有 又因为 D， 所以 平面 6 分 （）以 E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0， 2， 0)， D(2 3， 0， 0)， B( 3， 1， 0) 因为 面 以 又因为 F 为 点，所以 2 所以 P(0， 2， 2)， F(0， 1， 1)， (0， 1， 1)， (2 3， 2， 0)， ( 3， 0， 1) 8 分 设平面 法向量为 n (x， y， z)， 由 n 0， n 0 得， y z 0，2 3x 2y 0， 令 x 1，得 n (1， 3， 3) 10 分 设直线 平面 成的角为 ，则 |， n| | n| |n| 2 32 7 217 ， 即 直线 平面 成角的正弦值为 217 12 分 （ 20） 解 ： （） 由已知 可得 3141， 32 ， 解得 a 2， b 1， 所以 椭圆 的方程为 1 4 分 （ ）当直线 l 垂直于 x 轴时，由直线 l 与圆 O： 1 相切， 可知直线 l 的方程为 x 1，易求 | 3 5 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 y m， 由直线 l 与圆 O： 1 相切，得 |m|1 1，即 1， 6 分 将 y m 代入 1，整理得 (1 4k2)844 0， A F P B E C D x y z 设 A( B(则 84441 4 8 分 | 1 k2| 1 4 1 84 16161 4 4 1 44 又因为 1， 所以 | 4 3|k| 11 42(31)1 4 2， 当且仅当 3|k| 1，即 k 22 时等号成立 综上所述， |最大值 为 2 12 分 （ 21）解： （ ） f(x) 1 x 1 2221x 1 ， x 1 令 g (x) 221， 48a 4a(a 2) 若 0，即 0 a 2， 则 g (x) 0， 当 x ( 1， )时， f(x) 0， f (x)单调递 增 若 0，即 a 2， 则 g (x) 0，仅当 x 1 2 时，等号成立， 当 x ( 1， )时， f(x) 0， f (x)单调递 增 若 0，即 a 2， 则 g (x)有两个零点 a a(a 2)2a ， a a(a 2)2a 由 g ( 1) g (0) 1 0， g ( 1 2 ) 0 得 1 1 2 0 当 x ( 1， ， g (x) 0， f(x) 0， f (x)单调递 增； 当 x (， g (x) 0， f(x) 0， f (x)单调递 减； 当 x ( )时， g (x) 0， f(x) 0， f (x)单调递 增 综上所述， 当 0 a 2 时， f (x)在 ( 1， )上单调递增； 当 a 2 时， f (x)在 ( 1， a a(a 2)2a )和 ( a a(a 2)2a ， )上单调递增， 在 ( a a(a 2)2a ， a a(a 2)2a )上单调递减 6 分 （ ）由 （ ）及 f (0) 0 可知：仅当极大值等于零，即 f ( 0 时，符合要求 此时， 是 函数 f (x)在区间 ( 1， 0)的唯一零点 所 以 221 0，从而有 a 12x0(1) 又因为 f ( ln(1) 0，所以 ln(1) 1) 0 令 1 t，则 ln t t 12t 0 设 h (t) ln t 12t 1 2 ， 则 h(t) 2t 12 再由 （ ）知： 0 t 1 2 ， h(t) 0， h (t)单调递减 又因为 h (e 2) 52 0， h (e 1) e 32 0， 所以 e 2 t e 1，即 e 2 1 e 1 12 分 （ 22） 解： （ ） 曲线 4 设 Q(， )，则 P(， 2 )，则有 4 2 ) 4 所以， 曲线 4 5 分 （） M 到射线 3 的距离为 d 2 3 3， | B A 4( 3 3 ) 2( 3 1)， 则 S 1 2 | d 3 3 10 分 （ 23） 解： （ ） f (x) |x 2| |x 1|,所以 f (x)表示数轴上的点 x 到 2 和 1 的距离之和， 因为 x 3 或 2 时 f (x) 5， 依据绝对值的几何意义可得 f (x)