七年级数学思维探究（八）情境应用题（含答案）

8 情境应用题 徐光启（ 1562 字子先 少时聪敏好学，活泼娇键，据传“章句、帖括、声律、书法均臻佳妙” 徐光启融会中西文化，在天文、数学、农学、军事等方面有突出成就 1607年徐光启与意大利传教士利玛窦共同翻译几何原本，引入欧几里得几何学，这是徐光启在数学方面的最大贡献 他在翻译中创造的点、线、面、平行线、直角、锐角等名词 一直沿用至今 解读课标 情境应用题是以一段生活实际情形、一个故事或一场趣味游戏，寓数学问题、数学思想和方法于情境中的应用题 趣味性、益智性是情境应用题的显著特点，情境应用题以其生动有趣的情节吸引人们，使人们产生强烈的探索和研究欲望 信息的冗余性和开放性是情境应用题的另一特点，了解相关常识、理解相关词语的含义、熟悉基本关系式是解这类问题的基础；解这类问题 的关键是：在阅读理解的基础上，根据需要取舍信息，从不同的思维角度提出问题、分析问题，恰当地应 用和理解数学知识，历经重要的有价值的数学思维活动过程 问题解决 例 1 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示 若小明把 100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 _ 试一试 100个纸杯整齐叠放在一起时的高度与哪些量相关？ 例 2 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者 将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局，已知甲、乙各比赛 了 4 局，丙当了 3 次裁判 问第二局的输者是 （ ） A 甲 B 乙 C 丙 D 不能确定 试一试 从求出总共赛的局数入手 例 3 有一个只允许单向通过的窄道口（如图），通常情况下，每分钟可以通过 9 人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能 3 个人通过道口，此时，自己前面还有 36 人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需 7 分钟到达学校 （ 1） 此时，若绕道而行，要 15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？ （ 2） 若在王老师等人维持秩序下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有 3 人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了 6 分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？ 试一试 对于 （ 2） 有不同的解法，可利用王老师通过道口的时间比较建立方程，亦可应用王老师前面的人数是个常量来布列方程 例 4 某商店 5 月 1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用 168元购买会员卡成为会员后 ，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的 8 折优惠；方案二：若不购买 会员卡 ，则购买商店内任何商品一律按商品价格的 优惠，已知小敏 5 月 1日前不是该商店的会员 （ 1） 若小敏不购买会员 卡 ，所购买商品的价格为 120元时，实际应支付多少元？ （ 2） 请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？ 试一试 对于 （ 2），先求出两种方案付款相等时的价格 物尽其用 9 自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶 3000要报废，安装在前 轮 上，则行驶 5000报废 为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路后才报废，在 自 行车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多 可 行驶多少千米？ 解法一 ： 列方程求解 设自行车行驶了 ，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废 因 此，前轮胎还可行驶 5000 ，后轮胎还可行驶 3000 当前后轮胎互换后，还可行驶，并有 355 0 0 0 3 0 0 053 解此方程，有 53 200035x，解得 1875 这就是说，当自行车行使 了 1875换前后轮胎，这样还可行驶 35 0 0 0 1 8 7 5 1 8 7 5 k ，所以最多可行驶 3750 解法二 类似工程问题解法 设安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶 根据题意，自行车每行驶 1前轮胎将磨损 15000，后轮胎将磨损 13000，当两个轮胎磨损之和为单位 “1 ”时，前后轮胎互换，当两个轮胎磨损之和为单位 “2 ”时，两个轮胎同时报废，即行驶路最多 由此可得方程： 25 0 0 0 3 0 0 0， 解 得 3750x 即自行车最多可行驶 3750 例 6 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称个税法草案），拟将现行个人所得税的起征点由每月 2000元提高到 3000元，并将 9 级超额累进税率修改为 7 级，两种征税方法的 1 5 级税率情况见下表： 税级 现行征税方法 草案征税方法 月应纳税额 x 税率 速算扣除数 月应纳税额 x 税率 速算扣除数 1 500x 5% 0 1500x 5% 0 2 500 2000x 10% 25 1500 4500x 10% 3 2000 5000x 15% 125 4500 9000x 20% 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0x 20% 375 9 0 0 0 3 5 0 0 0x 25% 975 5 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0x 25% 1375 3 5 0 0 0 5 5 0 0 0x 30% 2725 注： “月应纳税额 ”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额 “速算扣除数 ”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数 例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年 3 月的应纳税额为 2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算： 方法一：按 1 3 级超额累进税率计算，即 5 0 0 5 % 1 5 0 0 1 0 % 6 0 0 1 5 % 2 6 5 （ 元 ）； 方法二：用 “月应纳税额 适用税率 速算扣除数 ”计算，即 2 6 0 0 1 5 % 1 2 5 2 6 5 （元） （ 1） 请把表中空缺的 “速算扣除数 ”填写完整 （ 2） 甲今年 3 月缴了个人所得税 1060元，若按 “个税法草案 ”计算，则他应缴税款多少元？ （ 3） 乙今年 3 月缴了个人所得税三千多元，若按 “个税法草案 ”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么，乙今年 3 月所缴税款的具体数额为多少元？ 分析与解 在读懂材料并理解题意的基础上，先分别求出甲、乙两人的月应纳税所得额 （ 1） 75 ； 525 （ 2） 设甲的月应纳税所得额为 x 元，由 2 0 % 3 7 5 1 0 6 0x ，得 7175x 若按个税法草案计算，则他应缴税款为 7 1 7 5 1 0 0 0 2 0 % 5 2 5 7 1 0 （元） （ 3） 设乙的月应纳税所得额为 x 元，由 2 0 % 3 7 5 2 5 % 1 0 0 0 9 7 5 ，得 17000x ，乙今年 3 月所缴税款为 1 7 0 0 0 2 0 % 3 7 5 3 0 2 5 （ 元） 数学冲浪 知识技能广场 1 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 13，另一根露出水面的长度是它的 15，两根铁棒长度之和为 55此时木桶中水的深度是 _ 2 王会计在结账时发现现金少了 ，查账后得知是一笔支出款的小数点看错了一位，王会计查出这笔看错了的支出款实际是 _元 3 乌鸦喝水新编 请根据图中信息，列出求大量筒水高 x 的方程 _ 4 有一旅客携带 30 千克行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定：旅客最多可免费携带 20 千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的 购行李票，已知该旅客现已购行李票 60 元 ，则他的飞机票价为 （ ） A 300元 B 400 元 C 600元 D 800元 5 如果将甲杯中水量 的 13倒入 乙杯（未满） 后， 甲杯中水量比乙杯中水量少 13， 那 么倒水前甲杯中水量 （ ） A 比乙杯中水量多 13B 比乙杯中水量多 12C 与乙杯中水量相等 D 可能少于乙杯中水量 6 有一列数 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， ， 1， 其中 1 5 2 1a ， 2 5 3 2a ， 3 5 4 3a ， 4 5 5 4a ，5 5 6 5a ， ，当 2009 时， n 的值等于 （ ） A 2010 B 2009 C 401 D 334 7 七年级 （ 2） 班的一个综合实践活动小组去 A 、 B 两个超市调查 2011年和 2012年 “五一 ”节期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况 根据他们的对话，请你分别求出 A 、 B 两个超市今年 “五一 ”节期间的销售额 老乌鸦 ： 我喝不到大量筒中的水 ！8 c 你飞到装有相同水量的小量筒上 ， 就可以喝到水了6 c mx c m 8 足球比赛的记分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1分，输一场得 0 分，一支足球队在某个赛季中共需比赛 14场，现已比赛了 8 场，输了 1场，得 17分 请问：（ 1）前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （ 2）这 支球队打满 14场比赛，最高能得多少分？ （ 3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满 14场比赛，得分不低于 29 分，就可达到预期的目标，请你分析一下，在后面的 6 场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？ 9 小华写信给老家的爷爷，问候 “八一 ”建军节 折叠长方形信纸装入标准信封 时发现：若将信纸如图 连续两次对 折 后，沿着信封口边线装入时，宽绰有 若将信纸如图 三等分折叠后，同样方法装入时；宽绰 试求信纸的纸长和信封的口宽 思维方法天地 10 今年 6 月 1日起，国家实施了中央财政补贴条例，支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买 一 台，客户可获财政补贴 200 元，若同样用 11万元所购买的此款空调台数 条例实施后比实 施 前多 10% ，则条例实施前此款空调的售价为 _元 11 甲、乙两个打字员，甲每页打 500字，乙每页打 600字，已知甲完成 8 页，乙恰能完成 7 页，若甲打完 2 页 后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相等时，乙打了 _页 12 水池有两个进水管 A 和 B 及一个排水管 C A ， B 两管单独将空水池注满水 分别需要 12小时、 10小时，现在水池中有点儿水，若 A 管单独进水，而 C 管同时 排水，则需 1小时将水池中的水放完；若 A ，B 两管一起进水， C 管同时排水，则 7 小时可将水池中的水放完 若不开进水管，只开排水管，则需_分钟可以将水池中的水放完 13 一 个有弹性的球从 A 点落下到地面，弹起后，到 B 点后又落到高 20 厘米的平台上，再弹起到 C 点，然后，又落到地面（如图） 每次弹起的高度都是落下高度的 80% ，已知 A 点离地面比 C 点离地面 高出 68 厘米，那么 A 点离地面的高度是 _厘米 两超市销售额去年共为150 万元 ， 今年共为 170万元5%0%宽绰 3 . 8 绰 1 .4 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民 “一户一表 ”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元 /吨 单价：元 /吨 17吨及以下 a 超过 17吨但不超过 30 吨的部分 b 超过 30 吨的部分 说明： 每户产生的污水量等于该户自来水用水量； 水费 自来水费用 污水处理费 已知小王家 2012年 4 月份用水 20 吨，交水费 66 元； 5 月份用水 25 吨，交水费 91元 （ 1） 求 a ， b 的值； （ 2） 随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王计划把 6 月份的水费控制在不超过家庭收入的 2% 若小王的月收入为 9200元，则小王家 6 月份最多能用水多少吨 ？ 15 2008年 5 月 12日，四川汶川发生了里氏 大地震，给当地人民造成了巨大的损失， “一方有难，八方支援 ”，我市锦华中学全体师生枳极捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表： 吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700元； 信息二： （ 2 ） 班的捐款金额比 （ 3 ） 班的捐款金额多 300元； 信息三： （ 1） 班学生平均每人捐款的金额 大于 48 元， 小于 51元 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题： （ 1） 求出 （ 2 ） 班与 （ 3 ） 班的捐款金额各是多少元； （ 2） 求出 （ 1）班的学生人数 应用探究乐园 16 如图，一个 55 的方格网，按如下规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻其左格中的数的差是定值，同一列中上格中的数与紧邻其下格中的数的差也是定值 请根据图中已填好的数，按这个规律将第三行填满 17 密码的使用对现代社会是极其重要的 有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与 26 个自然数 1， 2 ， 3 ， ， 25 ， 26 对应（见下表），设明文的任一字母对应的自然数为 x ，通过某种规定的对应运算把 x 转化成对应的自然数 x ， x 对应的字母为密文， Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 例如，有一种译码方法按照以下变换实现： ，其中 x 是 32x 被 26 除所得的余数与 1之和 1 26x 则 1x 时， 6x ，即明文 Q 译为密文 Y ； 10x 时， 7x ，即明文 P 译为密文 U 20003( )班2( )班1( )班金额 元( )班级010318674现有某种变换，将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 : x x x ， x 为 3 被26 除所得余数与 1之和 （ 1 26x ， 1 26m ） 已知运用此变换，明文 H 译为密文 T ，则密文 “启 ”的汉语拼音）的明文是字母 _ 8 情境应用题 问题解决 例 1 106 设叠放时每增加一个纸杯高度增加 由 9 3 1 1 4 8 1x x 得 1x ，从而 7 1 1 0 0 1 1 0 6 c m 例 2 C 提示：设总共赛了 x 局，则有 4 4 3x x x ，则 5x ，说明甲、乙、丙三人总共赛了 5局，而丙当了 3 次裁判，说明丙赛了两局，则丙和甲，丙和乙各赛一局，那么甲和乙同时赛了 3 局 甲和乙同赛不可能出现在任何相邻的两局中，则甲、乙两人同时比赛在第 1、 3 、 5 局中，第 3 局丙当裁判，则第 2 局中丙输了 例 3 （ 1） 36 7 1 9 1 53 ， 王老师应选择绕道而行去学校 （ 2）设维持秩序时间为 t ，则 3 6 3 6 3 639 ，解得 3t （分） 例 4 （ 1） 114元 （ 2）当所购商品的价格高于 1120时，选方案一更合算 数学冲浪 1 20 2 171 3 2286 522 4 B 5 B 6 D 7 设去年 A 超市销售额为 x 万元，则 B 超市销售 150 x 万元，由题意得： 1 1 5 % 1 1 0 % 1 5 0 1 7 0 ，解得 100x ， 150 50x 则今年 A 超市销售额为 1 5 % 1 1 5x万元， B 超市为 55 万元 8 （ 1）设这伞球队胜 x 场，则平了 81x 场，由题意得： 3 8 1 1 7 ，解得 5x （ 2）打满 14场比赛最高能得 1 7 1 4 8 3 3 5 （分 ） （ 3）由题意知，以后的 6 场比赛中，只要得分不低于 12分即可，故胜不少于 4 场，一定能达到预期目标，而胜 3 场、平 3 场，正好达到预期目标，即在以后的比赛中这个球队至少要胜 3 场 9 1110 2200 设条例实施前空调的售价为 x 元 则 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 01 1 0 %200 11 乙每打 7 页比甲多打 200 字，乙打 7 页相当于甲打 425页，乙比甲快 25页，设当甲、乙打的字数相同时，乙打了 x 页，由 85 0 0 2 5 0 0 6 0 07 ，得 35x 12 35 设