河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题（文）含答案

河北省衡水 2017 届高三下学期第二次摸底考试 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 N | 10 k N ， |2B x x n或 3,x n nN ，则 ） A 6,9 B 3,6,9 C 1,6,9,10 D 6,9,10 2. 若复数 z 满足 2z 1 2 i 1 3 i ( i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 p 一组数据的平均数一定比中位数小；命题: 1, 1, l o g 2 l o g 2 2a b b a ，则下列命题中为真命题的是 （ ） A B C. D 4. 设函数 4 , 12 , 1xx a ，若 2 43，则实数 a （ ） A 23B 43C. 43或 23D 2 或 23 5. 若实数 , 1 02 2 030 ，则 432z 的最大值为（ ） A 14B 4 C. 419D 4236. 运行如图所示 的程序框 图 ， 输出的 结果 S 等于 （ ） A 9 B 13 C. 15 D 25 7. 若以 2 为公比的等比数列 2 2 1l o g l o g 2 3b n n ， 则数列 ） A 12B 1 D 4 3个单位所得的奇函数 c o s 0 , 0 , 0f x A x A 的部分图象如图所示，且 是边长为1 的正三角形，则 （ ） A 53,22B 94,2C. 11,33D 11,269. 已知12, 22: 1 0 , 0a 的左、右焦点， , 的左、右支上关于 y 轴对称的两点，且12 22F F O N M N，则双曲线 C 的两条渐近线的斜率之积为（ ） A 4 B 4 2 3 C. 3 2 3 D 4 2 2 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画 出的 是某几 何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ） A 2 8 4 3 1 2 2 B 3 6 4 3 1 2 2 C. 3 6 4 2 1 2 3 D 44 12 2 222 1 0 1 的左焦点为 F ，上顶点 为 A ，右顶点为 B ，若 的外接圆圆心 ,P 直线 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ） A 2,12B 1,12C. 20,2D 10,212. 设函数 3(xg x e x a a R,e 为自然对数的底数），定义在 R 上的连续函数 2f x f x x ，且当 0x 时， f x x ，若存在 0 | 2 2 2x x f x f x x ，使得 00g g x x ，则实数 a 的取值范围为（ ） A 1,2e B ,2e C. 1,2e D ,2e 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样 的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n 人中 ， 抽取 90 人进行问卷调 查 6 ， 那么高 三 被抽取的人数为 ， , 4 , 5 , ( ,2A A B A C A M A B A C R)），若C ，则 15. 九章算术是我国古代一部重要的数学著作 ， 书中给出了如下问题 ：“ 今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里 零 三里 ， 日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢 ？” 其大意 :“ 现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离 是 1125 里 03里 ， 之后每天比前 一天 多走 13 里 7 里 ， 之后每天 比前一天少走 ， 立刻返 回 去迎驽马，多少天后两马相遇？ ” 在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为 里 . 是棱长为 32的正方体1 1 1 1A B C D A B C D的内切球 O 球面上的动点，点 N 为1112,N B N C D M B N，则动点 M 的轨迹的长度为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，内角 ,对边分别为 ,知 24 c o s 4 s i n s i n 32C . （ 1）求 A ； （ 2）若 224 3 c o s c o sb c A a B a b ，求 面积 . 18. 如 图是某市 2017 年 3 月 1 日至 16 日的空气质量 指数趋势 图，空气质量 指数 00 表示空气质量优良，空气质量 指数大于 200 表示空气重度污染 . （ 1） 若该 人随机选择 3 月 1 日至 3 月 14 日 中的某一天到达该市 ， 到达后停留 3 天 （ 到达当日算 1 天 )，求此人停留期间空气重 度污染的 天数为 1 天的 概率； （ 2） 若该人 随机选择 3 月 7日至 3 月 12日 中 的 2 天到达 该市， 求 这 2 天中 空气质量恰有 1天是重 度污染的概率 . 19. 如图，四棱锥 P 中，平面 平面 底面 梯形，/ / , 2 2 3 ,A B C D A B D C A C B D F ，且 与 均为正三角形， G 为的重心 . （ 1）求 证： /面 （ 2）求点 G 到平面 距离 . 20. 已知抛物线 2: 2 0C y p x p的焦点为 , 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线 l 交 C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D . （ 1）若当点 A 的横坐标为 3 ，且 为等腰三角形，求 C 的方程； （ 2）对于（ 1）中求出的抛物线 C ，若点 001,0 2D x x，记点 B 关于 x 轴的对称点为, x 轴于点 P ，且 P ，求证：点 P 的坐标为 0,0x ，并求点 P 到直线 d 的取值范围 . 21. 函数 21l n (2f x x x a x a R)， 232xg x e x. （ 1）讨论 （ 2）若 0,x f x g x . 求实数 a 的取值范围； 求证： 0x，不等式 2 12x ee x e 成立 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系中 ，曲线 C 的参数方程为 2 a t 为参数， 0a ） . 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系， 已知直线 l 的极坐标方程为c o s 2 24 . （ 1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 23a 时，求点 P 到直线 l 的距离的最大值； （ 2）若曲线 C 上所有的点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围 . 等式选讲 已知定义在 R 上的函数 2,f x x m x m N ，且 4恒成立 . （ 1）求实数 m 的值； （ 2）若 0 , 1 , 0 , 1 , 3 ，求证： 4118. 河北省衡水中学 2017 届高三下学期第二次摸底考试数学 （文）试题 参考答案 一、选择题 1 6 11、填空题 13. 24 14. 251615. 855 05 三、解答题 17. 解：(1) 1 c o s i n s i n 2 2 c o s c o s 2 s i n s i n 2 2 c o C B C B C B C B C 12 2 c o s 3 , c o s 2 , 20, 3 . (2) 2 2 2 2 2 2 224322b c a a c bb c a c a bb c a c ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 22432 2 2b c a b c a a c b , 2 2 22 2 2 2 2 224 3 0 , , 023b c ab c a A b c ,4 3 1 1 3 31 0 , 2 3 , s i n 2 32 2 2 2 2c S b c . 18. 解： (1)设人于 3 月 i 日到达该市” 1, 2, .,1 4i ， 114，且 i j . 设 B 为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为 1 天” ，则3 5 6 7 1 0B A A A A A，所以 3 5 6 7 1 0 514P B P A P A P A P A P A，即此人停留期间空气重度污染的天数为 1 天的概率为 514. (2) 记 3 月 7日至 3 月 12 日 中 重 度污染 的 2 天 为 ,外 4 天记为 , , ,a b c d ，则 6 天中选 2 天到达 的基本事件如下： , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a E a F b c b d b E b F c d c E c F， , , , , ,d E d F E 5 种，其中 2 天 恰有 1 天 是 空 气 质 量 重 度 污 染 包含 , , , , , , , , , , , , , , ,a E a F b E b F c E c F d E d 个基本事件，故所求事件 的概率 为 815. 19. 解： (1)连接 延长交 H ，连接 由梯形 , / /A B C D A B C C ，知 21又 G 为 的重心， 21，在 中，21 ，故 /C C 平面 ,F 平面 , / /F 平面 (2)连接 延长交 E ，连接 因为平面 平面 ,与均为正三角形， E 为 中点， ,P E A D B E A D P E 平面 且 31）知 /面 1,3G P C D F P C D P C D F C D C V V V P E S / /A B C D A B C D，且 2 2 3A B D C，知 12333D F B D为正三角形，得 136 0 , s i F A B D S C D D F B D C ，得1332P C D F C D E S ， 所以三棱锥 G 的体积为 , 3 , 3 23C D D E C D E C E P C P E E C 中， 3 1 2 1 8 1 1 5 1 1 5 3 1 5c o s , s i n , 3 2 32 2 3 4 4 2 4 4P D C P D C S ，故点 G 到平面 距离为333 4 2 52253 1 5 1 54 . 20. 解： (1) 由题知 , 0 , 322 A ，则 3 , 0 ,D p F D 的中点坐标为33,024p，则 33324p，解得 2p ，故 C 的方程为 2 4. (2) 依题可设直线 方程为 0 1 1 2 20 , , , ,x m y x m A x y B x y ，则 22,E x y ，由 204my x 消去 x ，得0 0 014 4 0 , . 1 6 1 6 02y m y x x m x ，1 2 1 2 04 , 4y y m y y x ，设 P 的坐标为 ,0 2 2 1 1, , , x x y P A x x y ，由题知 /A ，所以 2 1 2 1 0x y y x x ，即 22 1 2 1 22 1 1 22 1 2 1 1 2 44P y y y yy y y yx y y x y y x ，显然 1240y y m ，所以12 04P ，即证 0,0，由题知 为等腰直角三角形，所以 1 ，即12121 ，也即 122212114，所以 21 2 1 2 1 24 , 4 1 6y y y y y y ，即220 0 01 6 1 6 1 6 , 1 , 1m x m x x ，又因为0 12x ，所以00 00022 0221 1,2 211xx ，令 22006 2 2 42 1 , , 2 , 22tx t x t d ，易知 4 2f t 在 61,2 上是减函数，所以 6 ,23d . 21. 解： (1) 1 , 0 , 2 ,f x x a x f x . 当 20a ，即 2,a 时， 0对 0x恒成立， 0, 上单调递增， 当 20a ，即 ,2a 时，方程 2 10x 有两个不等正数解12, 2 1211 x x x xx a xf x x a xx x x ，不妨设120 ，则当 10,， 0 ,f x f x 递增，当 12,x x x时， 0 ,f x f x 递减，当 2 , 时， 0 ,f x f x 递增，所以 12, 综上所述，当 2,a 时， 极值点，当 ,2a 时， (2) （ i） 2x g x e x x a x ,由 0x ，即 2 x 对于 0x恒成立，设 22212 l 0 ) , e x x e x xe x x xx x 21 l n 1 1xe x x x ， 0,x当 0,x 时， 0 , 递减，当 1,x 时， 0 , 递增， 1 1 , 1x e a e . （ （ i）知，当 1 时，有 f x g x ，即 2 2 231l n 1 1 l x x x e x e x e x x ， 当且仅当 1x时取等号 . 以下证明 ，设 221l n , e e x ex x xx x x x ，所