河南省2017届高三4月教学质量监测文科数学试题含答案

河南省 2017 届普通高中高三 4 月教学质量监测 文科数学试题 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2 0A x x， 1, 2, 3, 4, 5B ，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 z 的共轭复数为 z ，若 2 1 2 3 4z z i i （ i 为虚数单位），则在复平面内，复数 z 所对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 : 1, ， 2 16 8 则命题 p 的否定为（ ） A : 1, ， 2 16 8 B : 1, ， 2 16 8 C 0: 1, ， 20016 8D 0: 1, ， 20016 8足2 3 2 1 0lo g lo g 1，且368916a a a a ，则数列 ） A 2 B 4 C. 2 D 4 1, 2m ， 1,n 若 ，则 2与 m 的夹角为（ ） A 23B 34C. 3D4 22: 1 1 , 0a 的左焦点为 F ，第二象限的点 M 在双曲线 C 的渐近线上，且 OM a ，若直线 斜率为 则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A B 2 C. 3 D 4 3c o ，则 s i n c o s 263 =（ ） A 332B 332C. 316D 316正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 32 8 B 8323C. 8163D 16 8 9.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设 计了如图所示的程序框图，若输出 m 的值为 35，则输入 a 的值为（ ） A 4 B 5 C. 7 D 11 种产品，其中生产每吨 A 产品，需要甲染料 1吨，乙染料 4吨，丙染料 2吨，生产每吨 B 产品，需要甲染料 1吨，乙染料 0吨，丙染料 5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过 50吨， 160吨和 200吨，如果 A 产品的利润为 300元 /吨， B 产品的利润为 200元 /吨，则该颜料公司一天之内可获得最大利润 为（ ） A 14000元 B 16000元 D 20000元 2e，或对任意的 1x ， 2 1,2x 且 12时， 1 2 1 2 0f x f x x x 则实数 a 的取值范围是（ ） A 22,44B 22,22C. 22,33D 22, n 项和为1161 ， 1， 现有下列说法：2 5a ； 当 n 为奇数时， 33na n m ； 22 4 2 32na a a n n ） A 0 B 1 C. 2 D 3 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） s i n 0 , 02f x M x M 的部分图象如图所示，其中 2,3A（点 A 为图象的一个最高点） 5,02B，则函数 _. 知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形 正方形， G 为线段 中点，四边形四边形 是正方形，连接 则向多边形 投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 过点 0,1 ， 0,5 且圆心到直线 20 的距离为 22，则圆 C 的标准方程为 x 的方程 2 2 1xx x k k 在 1,2x 上有两个不相符的实数根，则实数 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 要的 文字说明 或推理 、验算 过程 .） 17. 在 中， 01B D m B C m ， 3， 7，3C . （ 1）求 的面积； （ 2）若 15，求 长度以及 的正弦值 . 18. 如图（ 1）所示，已知四 边形 由直角 直角梯形 接而成的，其中 90 为线段 中点， 21C， D 现将 行翻折，使得二面角 S C 的大小为 90 ，得到图形如图（ 2）所示，连接 点 , . （ 1）证明： F ； （ 2）若三棱锥 B 的体积为四棱锥 S 体积的 25，求点 E 到平面 距离 . 知名连接店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖 的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前 7天参加抽奖活动的人数进行统计， y 表示开业第 x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： 经过进一步的统计分析，发现 Y 与 X 具有线性相关关系 . （ 1）如从这 7天中随便机抽取两天，求至少有 1天参加抽奖人数超过 10 天的概率； （ 2）根据上表给出的数据，用最小 二乘法，求出 y 与 x 的线性回归方程 y bx a，并估计若该活动持续 10 天，共有多少名顾客参加抽奖 . 参考公式： 1221y n x n x， a y ， 721140， 71364. 22: 1 0a 的左、右焦点分别为12, 21, 2是椭圆 C 上的点，离心率为 22e. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）点 0 0 0,0A x y y 在椭圆上 C 上，若点 N 与点 A 关于原点的对称，连接2延长与椭圆 C 的另一个交点为 M ，连接 求 面积的最大值 . 21. 已知函数 xf x x x e ， （ 1）求函数 1, 1f 处的切线方程； （ 2）证明： x x 在 0, 上恒成立 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按 照 所做的第一题记分 用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑 . 22. 已知直线 l 的参数方程为 1233 （ t 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 2s i n 3 c o s 0p . （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的极坐标方程； （ 2）求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 0 , 0 2p . 等式选讲 已知函数 31f x x x 的最小值为 m ，且 f a m （ 1）求 m 的值以及实数 a 的取值集合； （ 2）若实数 , 2 22p q r m ，证明 2q p r. 试卷答案 一、选择题 解析】依题意， 2| 6 8 0 | 2 4A x x x x x ，阴影部分表示集合 2, 3, 4. 解析】依题意， 3 4 1 2 1 1 22 1 2 1 2 5 5z i ，设 ,z a b i a b R ，故1 1 23 55a bi i ，故 115a ， 25b 故在复平面内，复数 z 所对应的点为 11 2,55，位于第四象限 . 解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为 0: 1, ， 20016 8. 析】依题意，2 3 2 1 0lo g lo g 1故 2 3 1 0lo g 1，故3 1 0 2故 2 23 10 16a a q ，解得 2 4q ，注意到该数列中3a、10 2q . 解析】依题意， 0 ，即 1 2 0 解得 12，故 2 1 , 2 2 ,1 1 , 3 ，则 2与 m 的 夹角的余弦值 52c o 5 ，故4. 解析】设 ,0，依题意，联立 22,x y 解得 2,a ，故20ab ，解得 ，故所求渐近线方程为 . 解析】 2 3 3 3c o s s i n s i n s i 4 6 4 6 4a a a a ，故c o s 2 13 a 22 a18，故 3 1 3s i n c o s 26 3 4 8 3 2 . 解析】由三视图可知，该几何体是由一个圆锥和一个长方体构成的组合体，故其体积 188 4 4 2 3 233V . 解析】起始阶段有 23， 1i ，第一次循环后， 2 3 3 4 9m a a ， 2i ；第二次循环后， 2 4 9 3 8 2 1m a a ， 3i ；第三次循环后， 2 8 2 1 3 1 6 4 5m a a ， 4i ；接着计算 2 1 6 4 5 3 3 2 9 3m a a ，跳出循环，输出 32 932 93 35a ，得 4a . 解析】依题意，将题中数据统计如下表所示： 设该公司一天内安排生产 A 产品 x 吨， B 产品 y 吨，所获利润为 z 元 00 200z x y，约束条件为5 0 ,4 1 6 0 ,2 5 2 0 0 ,x 0 , y 0 , 欲求目标函数 3 0 0 2 0 0 1 0 0 3 2z x y x y 的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点 40,0A ， 40,10B ，50 100,33C， 0,40D ， 作直线 3 2 0，当移动该直线过点 40,10B 时， 32取得最大值，则 300 200z x y也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较 大小求得） a x 3 0 0 4 0 2 0 0 1 0 1 4 0 0 0z ，所以工厂每天生产 A 产品 40吨， B 产品 10吨时，才可获得最大利润，为 14000元 . 解析】因为 1 2 1 2 0f x f x x x ，故函数 y f x 在 1,2 上单调递增；易知，当 0a 时， 1,2 上是增函数， 0，解得 202；当 0a 时， f x f x ，令 2x ，解得 ，由 对勾函数性质可知，函数 ,a ，故 1a，得 2 02e a ，综上所述，实数 a 的取值范围为22,22. 解析】因为1161 ，故1161 ，即 11 1 6n n na a S n ；当 1a 时， 1 1 6 1n n na a S ，故 5； 当 2n 时， 111 1 6 1a S n ，所以 111n 1 1 6 6 1nn n na a S n S n ，即 111 6 1n n n na a a a ，又 0 ，所以116，所以 1 6 1 6 6na m k k m ，所以当 m 为奇数时， 33na n m ； 2 5 6 1 6 1na n n ， 所以 22 3 2 32na a a n n ；综上 所述，都正确 . 二、填空题 13. 3 【解析】依题意， 3 5 9324 2 2 ，故 6T ，故 23T ，将点 2,3A 代入可得 2232 k x k Z ，故 26 kx k Z ，因为2，故 3 s i n 36f x x. 14. 13【解析】设 2，则 1， 5，故多边形 面积15 5 2 2 2 1 22S ；阴影部分为两个对称的三角形，其中 90E A B G A B ，故阴影部分的面积1 1 1 2 52 s i n 2 c o s 2 2 5 42 2 2 5S A E A B E A B A E A B G A B ，故所求概率 13P. 15. 22 29 或 228 2 7 3 【解析】依题意，设圆 C 的方程为 22 220x a y r r ，则229,4 2 2 ,2 ，解得 0a ， 3r 或 8a ， 73r ，故圆 C 的方程为 22 29 或 2282 73 . 16. 9 1,10 5 【解析】因为 2 2 1xx x k k ，分离参数可得 2 2x x xk x ，故问题转化为关于 x 的方程 2 2x x xk x 在 1,2x 上有两个不相等的实数根；令函数 2 2x x x ， 1 ,2x ，则 2 23 2 l n 42x x x ；令函数 2 3 2 l n 4p x x x x ， 1 ,2x ，则 2 1 2x 在 1 ,2x 上有 0 ，故 ,2x 上 单调递增， 10p ，当 1,12x 时，有 0，即 0 ， 1,x 时，有 0，即 0 ， 12h9 ， 11h ，注意到 6 6 2 4 8 10h ， 1 5 7 2 6 l n 2 5 7 2 6802 1 0 1 0 ，故实数 k 的取值范围为 9 1,10 5 . 三、解答题 17.【解析】（）在 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 23 7 1c o 3 2A C C D A D C C C D C D ，解得 1或 2 ； 故 的面积 1 3 3s i C C D C 或 334. （）因为3C ，所以 3，在 中，由正弦定理，得. 即 63, 1 1 1 5 3 3 5 1s i n s i 4 2 8B A C B C . 18.【解析】 （）证明：因为二面角 S 的大小为 90 ，则 D ， 又 B ，故 平面 又 平面 所以 D ； 在直角梯形 ， 90B A D A D C ， 21D， 2， 所以 1t a n t a D C A D ,又 90D A C B A C ， 所以 90A B D B A C ，即 D ；又 A A ，故 平面 因为 平面 故 F . （）设点 E 到平面 距离为 h ，因为B ，且 25E ， 故5 11 2 153 211 22132A B C B C B C s h h ， 故 12h，做点 E 到平面 距离为 12. 19.【解析】（）这 7 天中参加抽奖的人数没有超过 10的为第 1， 2， 3， 4天，超过 10 的为第 5， 6， 7天，从这 7天中任取两 天的情况有 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 1,6 ， 1,7 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 2,6 ， 2,7 ， 3,4 ， 3,5 ， 3,6 ， 3,7 ， 4,5 ， 4,6 ， 4,7 ， 5,6 ， 5,7 ， 6,7 ，共 21种，其中至少有 1天参加抽奖人数超过 10的有 15种，所以 57p . （）依题意： 1 1 2 3 4 5 6 7 47x . 1 5 8 8 1 0 1 4 1 5 1 7 1 17y ， 7 21140 ， 71364 ， 717 2217 3 6 4 7 4 1 1 21 4 0 7 1 67y x ， 1 1 2 4 3a y b x ， 则 y 关于 x 的线性回归方程为 23， 预测 8x 时 19y ， 9x 时， 21y ， 10x 时 23y ， 则此次活动参加抽奖的人数约为 5 8 8 1 0 1 4 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 1 4 0 人 . 20.【解析】（）依题意，221112， 22 2 2 2a b c，解得 2a ， 1 ， 故椭圆 C 的方程为 22 12x y. （）当直线 斜率不存在时，不妨取 21, 2A， 21, 2M ， 21, 2N ， 故 1 2 2 22A M ； 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 1x k x， 0k ， 联立方程 22112y k xx y 化简得 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k ， 设 11,A x y， 22,M x y，则 212 2421k ， 212 22221k ， 22 2 22221 2 1 2 2 2 24 2 2 11 4 1 4 2 22 1 2 1 2 1k k k x x x x k k k k 点 O 到直线 距离2211， 因为 O 是线段 中点，所以点 N 到直线 距离为2221， 22222 22 2121 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 4211 4 2 1A M M dk kk k ， 综上， 积的最大值为 2 . 21.【解析】（）依题意， 11 xf x n x e ，又 11 ， 11 ， 故所求切线方程为 1 1 1y e e x ，即 1y e x ， （）依题意，要证： x x ，即证 s x e x ， 即证： ln s xx x e x ； 当 01x时， 0 ， ， 故 ln s xx x e x ，即 x x ； 当 1x 时，令