福建省泉州市2017届高三第二次质量检查数学理试题含答案

2017 年 泉州市普通高中毕业 第二次 质量检查 理 科 数 学 第 卷 一 、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1）已知集合 21， 2 5 6 0B x x x ，则（ A） (2,3) （ B） ( , 2 3 , ) （ C） (0, 2 3, ) （ D） 3, ) （ 2）已知复数 i( )z a a R z ，则 2在复平面内对应的点位于 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 （ 3） 公差为 2 的等差数列 n 项和 2S ，则3a（ A） 4 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 14 （ 4） 已知实数 ,2 2 0 , z x y，则满足 1z 的点 ( , )构成的区域面积等于 （ A） 14（ B） 12（ C） 34（ D） 1 （ 5） 榫卯（ 古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式， 凸出部分叫 做“ 榫头 ” 榫头 ” 的三视图 及其部分尺寸 如图所示，则 该“ 榫头 ”体积等于 （ A） 12 （ B） 13 （ C） 14 （ D） 15 （ 6）执行一次如图所示的程序框图，若输出 i 的值为 0，则下列关于框图中函数 ( )( )f x x 确的是 （ A） ()为减函数 （ B） ()为增函数 （ C） ()不为减函数 （ D） ()不为增函数 开 始( ) ,f x 函 数 正 数0 , ( ) , ( )i a f m b f m 否1是0?结 束10?是否（ 7）已知以 O 为中心的双曲线 C 的一个焦点为 F ， P 为 C 上一点， M 为 中点 为等腰直角三角形，则 C 的离心率 等于 （ A） 21 （ B） 21 （ C） 22 （ D） 512（ 8） 已知曲线 : s i n ( 2 ) ( )2C y x 的一条对称轴方程为 6x，曲线 C 向左平移 （ 0 ）个单位长度，得到的曲线 E 的一个对称中心为 ( ,0)6，则 的最小值是 （ A） 12（ B） 4（ C） 3（ D） 512（ 9）在梯形 ， D ， 1， 2， 23， 60，则 （ A） 2 （ B） 7 （ C） 19 （ D） 13 6 3 （ 10）某密码锁共 设 四 个 数 位 ，每个数位 的数字 都可 以是 1， 2， 3， 4 中的任一个 甲 所 设的 四个数 字 有且仅有三个相同； 乙 所 设 的四个数 字 有两个相同，另两个也相同 ；丙 所 设的 四个数 字 有且仅有两个相同； 丁 所 设的 四个数 字互 不相 同则上述四人所设密码最安全的是 （ A） 甲 （ B） 乙 （ C） 丙 （ D） 丁 （ 11 ） 已 知 直 线 ,别与半径为 1 的圆 O 相切于点 , 2，2 (1 )P M P A P B 在圆 O 的内部（不包括边界），则实数 的取值范围是 （ A） ( 1,1) （ B） 2(0, )3（ C） 1( ,1)3（ D） (0,1) （ 12）已知函数 ( ) ， 2()g x ax 线 ()y f x 上存在两点 关于直线 的对称 点在曲线 ()y g x 上，则实数 a 的取值范围是 （ A） (0,1) （ B） (1, ) （ C） (0, ) （ D） (0,1) (1, ) 第 卷 本卷包括必考题和选考题两个部分第（ 13）题第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（ 22） 、 （ 23）题为选考题，考生根据要求作答 二 、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 （ 13 ）已知椭圆 22:143的左顶点、上顶点、右焦点分别为 ,则F_. （ 14）已知曲线 2:2C y x x在点 (0,0) 处的切线为 l ，则由 ,x 围成的区域面积等于 _. （ 15） 在 平面直角坐标系 ，角 的终边经过点 ( ,1)( 1)P x x ，则 的取值范 围是 _. （ 16）已知在体积为 12 的圆柱中， ,别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥 A 的体积最大值等于 _. 三 、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题满分 12 分） 在数列 4a， 21 ( 1 ) 2 2a n a n n . （ ） 求证：数列是等差数列； （ ） 求数列 1的前 n 项和（ 18）（本小题满分 12 分） 某测试团队为了研 究 “ 饮酒 ” 对 “ 驾车安全 ” 的影 响，随机选取 100 名驾驶员先 后在无酒状态、酒后状态下进行 “ 停车距离 ” 测试 . 测试的方案：电脑模拟驾 驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的 “ 停车距离 ” （ 驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离 ） 验数据 分别列于表 1 和表 2. 表 1 停车距离 d （米） 10,20 20,30 30,40 40,50 50,60 频数 26 a b 8 2 表 2 平均每毫升血液酒精含量 x 毫克 10 30 50 70 90 平均停车距离 y 米 30 50 60 70 90 已知表 1 数据的中位数估计值为 26 ，回答以下问题 . （ ）求 ,估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数； （ ）根据最小二乘法，由表 2 的数据计算 y 关于 x 的回归方程 y bx a； （ ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平 均 “ 停车距离 ” y 大于（ ）中无酒状态下的停车距离平均数的 3 倍， 则认定驾驶员是 “ 醉驾 ”. 请根据 （ ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时 为 “ 醉驾 ” ？ （附： 对于一组数据 1 1 2 2( , ) , ( , ) , , ( , )y x y x y，其回归直线 y bx a的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1221y n n x， a y .） （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 A 中，平面 平面 D ， 60，24C，点 E 在 ， 2C （ ） 求证 :E ； （）若 二面角 E 的余弦值为 155，求三棱锥 A 的体积 . （ 20） （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 ， 抛物线 2: 2 ( 0 )C x p y p的焦点为 F ，过 F 的直线 l 交C 于 , x 轴 于 点 D ， B 到 x 轴的距离比 1. （）求 C 的方程； （）若，求 l 的方程 . （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 x x kx k . （ ） 若 0有唯一解，求 实数 k 的 值； （ ）证明：当 1a 时， 2( ( ) ) e 1xx f x k x k a x . （ 附： ， ， 32e ， 2e ） 请考生在第（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线1 co s ,（ 为参数）；在以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ， 曲线2c o s s （） 求1 （） 若射线 l ： y ( 0)x 分别交1C，2 , 3k 时，求 B 的取值范围 （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f x x a x a . （）当 2a 时，解不等式 6； （）若关于 x 的不等式 2 1f x a有解，求实数 a 的取值范围 . 2017 年泉州市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 ： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （ 1） C （ 2） B （ 3） B （ 4） C （ 5） C （ 6） D （ 7） B （ 8） A （ 9） B （ 10） C （ 11） B （ 12） D （ 11） 解法一：以圆心 O 为原点 ， 方向为 x 轴 的正方向 建立 平面 直角坐标系 ，则有 2,0P ， 13( , )22A ， 13( , )22B . 设 00,M x y ，可解得 0 1 132x ， 0 3 312y ，因为 00,M x y 在圆内 ，所以 22131 3 3 1 144 ，整理，得3 1 1 ，解得 2(0, )3，故答案选（ B） . 解法二：如图，在线段 延长线上取点 Q ，使得 Q Q ，交 圆 O 于 C 0B O P A O P A O Q ，故 ,点共线 Q ，所以 2 (1 ) (1 )P M P A P B P Q P B ，故 Q 在圆 O 的内部（不包括边界），所以 2(0, )3，答案选（ B） . （ 12） 解法一：可以看出， (1,0) 是曲线 ( 1)y ax x与 曲线 的一个公共点，且当1a 时，两曲线在点 (1,0) 处的切线方程均为 1知当 01a或 1a 时，曲线 ( 1)y ax x与直线 1交于两点，必与曲线 交于两点，故答案为（ D） . 解法 二：方程 2 ax x 显然 有 一个根 1x . 若满足 在去心邻域 (1 ,1 )存在非 1 的根则符 合题意 1 ,1 )（其中 为任意充分小正数 ）， 1 （ 表示等价无穷小 ），故去心邻域(1 ,1 )中 ， 方程等价为 1， 所以 a 取遍去心 邻域 11( , )，所以排除选项（ A）（ B）（ C），答案为（ D） . 解法三： 2 ax x 有两个不同根 ， 由于两者都是连续函数 ，令特殊值 1a ， 不合题意 ； 令特殊值 2a ，符合 题意 ；令特殊值 12a，符合 题意 D） . 解法四：依题意，可知 x 有两个不同 实 根 ln 则 21 x . 当 (0,1)x 时， 当 (1, )x 时， ； 当 1a 时 ， 1F x a x恒成立 ，当且仅当 1x 取到等 号 ， 即只有一个根 ，与题意不合 . 当 1a 时，显然符合题意 . 当 1a 时 ，可以 发现 0x 时 ， 1F x a x；（或者 111F a a a） 21x a 当 时 ， 21 1F x a a（证明后补） 0,1) 必有一根 . 故两图象有两个公共点 .故 a 的取值范围是 (0,1) (1, ) . 补证 ：21x a 时 ， 1F x a x， 即证 2221l n 1a a a a， 即证 221a ， 这是显然的 22， 而 1 0解法五：方程 2 ax x 显然有一个实根 1x ，故当 1x 时方程 xa 还有 另一 个实 根 ， 当 0x 时 ， ；当 x 时 ， 1； 且 21 1 1 1 11l n l n l n 1l i m l i m l i m l i m l i m 11 2 1 21 1 x x x x xx x x x xx x x x ， 21 1 1 1 11l n l n l n 1l i m l i m l i m l i m l i m 11 2 1 21 1 x x x x xx x x x xx x x x ； 显然， 0a ， 且 1a 都是符合题意 . 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （ 13） 6 （ 14） 13（ 15） (1, 2 （ 16） 8 解析： （ 15） 解 法一： 依题意，可知 (0, 4，所以 ( , 4 4 2 ，故 2s i n ( ) ( , 1 42 ，所以 c o s s i n 2 s i n ( ) ( 1 , 2 4 ，故答案为 (1, 2 . 解 法二：由三角函数定义 ， 得2c o s 1 ，21s x ， 所 以2222 2 21 1 1 2 2 2c o s s i n 1 11111 1 1x x x x x x ， 因为 1在 1, ) 单调递增，所以 2, )y ， 所以 2(0,11，从而 (1, 2 ， 故答案为 (1, 2 . （ 16） 解： 设上 、 下底面圆的圆心 分别为1,的半径为 r ， 由已知 21 12 V r O O 圆 柱，所以 21 12r ， 则A B C D C O A B D O A V ， 因为 O 是 点， 所以 C 到平面 距离与 D 到平面 距离相等， 故C O A B D O A ，从而 2A B C D C O A 的高为 h ，则 ， 112 2 1 22 3 3 2 3A B C D D O A B O A S h A B O O h r O O h 122 1 2 833r O O ， 故 三棱锥 A 的体积最大值等于 8. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题满分 12 分） 解 法一 ：（ ） 21 ( 1 ) 2 2a n a n n 的两边同时除以 ( 1)， 得 *1 2 ( )1n N， 3 分 所以数列是首项为 4，公差为 2 的等差数列 . 6 分 （ ）由（ ），得 22na ， 7 分 所以 222na n n，故21 1 1 ( 1 ) 1 1 1()2 2 2 ( 1 ) 2 1n n n n n n ， 8 分 所以 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1nS ， 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) 2 2 3 2 3 1 ， 11(1 )2 1 2 ( 1 ) . 12 分 解法二：依题意，可得1 ( 1 ) 22nn ， 1 分 所以 1 ( 1 ) 22 2211nn n n n na a a a n n n n n ， 即 *1 2 ( )1n N， 3 分 所以数列是首项为 4，公差为 2 的等差数列 . 6 分 （ ） 同解法一 . 12 分 （ 18）（本小题满分 12 分） 本 小 题 主要考查 频率分布直方图、数学期望等基础知识 ；考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查统计与概率思想、分类与整合 思想 . 解： （ ） 依题意 ， 得 6 5 0 2 610 a ， 解 得 40a ， 1 分 又 3 6 1 0 0 ，解得 24b ； 2 分 故 停车距离的平均数 为 2 6 4 0 2 4 8 21 5 2 5 3 5 4 5 5 5 2 71 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 . 4 分 （ ） 依题意，可知 50, 60， 5 分 2 2 2 2 2 21 0 3 0 3 0 5 0 5 0 6 0 7 0 7 0 9 0 9 0 5 5 0 6 0 1 0 3 0 5 0 7 0 9 0 5 5 0b ， 6 分 710， 7 分 7 6 0 5 0 2 510a ， 所以回归直线为 5. 8 分 （ ） 由（ I）知 当 81y 时 认定驾驶员是 “ 醉驾 ” . 9 分 令 81y ，得 5 81x ，解 得 80x ， 11 分 当每毫升血液酒精含量大于 80 毫克时认定为 “ 醉驾 ” . 12 分 （ 19） （本小题满分 12 分） 解法一 :（ ） 取 中点 O ， 连结 ,O 因为 D ， D ，所以 D ， 1 分 又平面 平面 平面 面 D ， 平面 所以 平面 2 分 又 平面 所以 E . 在 中， 2C ， 2C ，所以 2C， 由角平分线定理 ， 得 C ， 3 分 又 2O，所以 O ， 4 分 又因为 O O ， 平面 平面 所以 平面 5 分 又 平面 所以 E . 6 分 （ ）在 中， 24C， 60， 由余弦定理得 23，所以 2 2 2B C C D B D，即 90， 所以 30E B D E D B ， E ，所以 D ， 7 分 结合（ ）知， ,D 两垂直 为原点， 分别以 向量 ,D 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O （如图），设( 0)AO t t， 则 0,0, 0, 2,0B ， 23( , 0, 0)3E， 所以 0, 2,BA t ， 23( , 2 , 0 )3， 8 分 设 ,x y zn 是平面 一个 法向量， 则 0,0, 0 ,23 2 0 ,3y ，整理，得 3,2 , 令 1y ，得 2( 3 , 1, )tn. 9 分 因为 平面 所以 (1, 0, 0)m 是 平面 一个法向量 . 10 分 又因为二面角 E 的余弦值为 155 ，所以23 1 5c o s ,5431t 解得 2t 或 2t （舍去）， 11 分 又 平面 所以 三棱锥 A 的高， 故 1 1 1 4 32 2 2 33 3 2 3A B C D B C O S . 12 分 解法二： （ ） 取 点 O ， 连结 ,C 因为 D ， O ，所以 D ， 1 分 又因为平面 平面 平面 面 D ， 平面 所以 平面 2 分 在平面 ， 过 O 作 D （如图），则 以 O 为原点， 分别以 向量 ,D 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间 直角坐标系 O （如图），设 0AO t t， 3 分 在 中， 24C， 60，由余弦定理得 23， 因为 2 2 2B C C D B D， 所以 90， 故 30， 4 分 则 有 0,0, 0, 2,0B ， ( 3, 1, 0)C ， 23( , 0, 0)3E， 5 分 所以 ( 3 , 1, )A C t ， 23( , 2 , 0 )3， 所以 233 1 2 0 03A C B E t ， 所以 E . 7 分 （ ）由（ ）可得 0, 2,BA t . 设 ,x y zn 是平面 法向量， 则 0,0, 0 ,232 0 ,3y 整理，得 3,2, 令 1y ，得 2( 3 , 1, )tn. 9 分 因为 平面 所以 (1, 0, 0)m 是 平面 一个法向量 . 10 分 又因为二面角 E 的余弦值为 155， 所以23 1 5c o s ,5431t 解得 2t 或 2 （不合，舍去）， 11 分 又 平面 所以 三棱锥 A 的高， 故 1 1 1 4 32 2 2 33 3 2 3A B C D B C O S . 12 分 解法三 :（ ）同解法一 . 6 分 （ ）过点 O 作 B 于点 F ，连结 在 中， 24C， 60，由余弦定理可得 23. 因为 2 2 2B C C D B D， 所以 90， 故 30E B D E D B ， E ，所以 D ， 7 分 又平面 平面 平面 面 D ， 平面 所以 平面 又 平面 所以 B ， 8 分 又因为 F O ，所以 平面 又 平面 所以 F ，所以 为二面角 E 的平面角， 9 分 所以 15c o ，所以2363t a F O ，解得 2， 10 分 设 0AO t t，则 222 2 2 ，解得 2t 或 2 （不合，舍去）， 11 分 又 平面 所以 三棱锥 A 的高， 所以 1 1 1 4 32 2 2 33 3 2 3A B C D B C O S . 12 分 （ 20） （本小题满分 12 分） 解法一：（ ） C 的准线方程为2， 1 分 由抛物线的定义 ，可知 于点 B 到 C 的 准线的距离 . 2 分 又因为点 B 到 x 轴的距离比 1， 所以点 B 到 x 轴的距离比点 B 到抛物线准线的距离小 1， 3 分 故 12p， 解得 2p ， 所以 C 的方程为 2 4. 4 分 （ ）由（ ）得 C 的焦点为 (0,1)F ， 设直线 l 的方程为 10y kx k ，11( , )A x y,22( , )B x ( ,0) 5 分 联立方程组 2 4,1,消去 y ， 得 2 4 4 0x . 6 分 22( 4 ) 4 1 ( 4 ) 1 6 1 6 0 ， 由韦达定理 ， 得1 2 1 24 , 4x x k x x . 7 分 设点 O 到直线 l 的距离为 d ，则 12B O FS d B F , 12A O DS d A D . 又， 所以 D . 8 分 又 , , ,A B D F 在同一直线上 ,所以121() ， 即211， 9 分 因为 2 2 22 1 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 )x x x x x x k ， 10 分 所以 221( 4 ) 4 ( 4 ) ( ) ，整理，得 421 6 1 6 1 0 ， 故 2 524k ，解得 522k ， 11 分 所以 l 的方程为 52 12 . 12 分 解法二：（ ） C 的焦点为 (0, )2 1 分 将2入 2 2x ，得 或 ，故2 因为点 B 到 x 轴的距离比 1， 12，即 12， 2 分 解得 2p ，所以 C 的方程为 2 4， 3 分 经检验，抛物线的方程 2 4满足题意 . 4 分 （ ）同解法一 . 12 分 （ 21） （本小题满分 12 分） 解法一： （ ） 函数 ()0, ) . 要使 0有唯一解， 只需满足 ，且 的解唯一， 1 分 1 x ， 2 分 当 0k 时， 0 ， 0, ) 上单调递增，且 10f ， 所以 0的解 集 为 1, ) ，不符合题意； 4 分 当 0k 时，且 1(0, ， 0 ， 当 ,)( 1时， 0 ， 以 ()f k ， 令 1( ) l n 1 0f k ，得 1k ，此时 1f ，且 10f ，故 0的解集是 1 ，符合 题意； 综上 ， 可得 1k . 6 分 （ ）要证当 1a 时， 2( ( ) ) e 1xx f x k x k a x ， 即证当 1a 时， 2e l n 1 0x a x x x ， 即证 2e l n 1 0x x x x . 7 分 由（ ）得，当 1k 时， ( ) 0，即 ，从而 1)x x x x， 故只需证 2e 2 1 0x ， 当 0x 时成立； 8 分 令 2( ) e 2 1 ( 0 )xh x x x x ， 则 ( ) e 4 1xh x x ， 9 分 令 ( ) ( )F x h x ， 则 () ，令 ( ) 0 ， 得 2. 因为 ()单调递增， 所以 当 0, 2 x 时， 0 ， ()单调递减，当 2 ,x 时， 0 ， ()单调递增， 所以 ( l n 4 ) 5 8 l n 2 0h ， (0) 2 0h ， 2( 2 ) e 8 1 0h ， 由 零 点 存 在 定 理 ， 可知1 ( 0 , 2 )x，2 ( 2 , 2