材料力学扭转

Chapter 3 TorsionChapter 3 Torsion (Torsion)(Torsion) 第三章第三章 扭扭 转转 (Torsion) (Torsion) 3-13-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 (Concepts and example problem of torsion)(Concepts and example problem of torsion) 3-23-2 扭转内力的计算扭转内力的计算 (Calculating internal force of torsion)(Calculating internal force of torsion) 3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 (Torsion in thinwall circular tube)(Torsion in thinwall circular tube) 3-43-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件圆轴扭转的应力分析及强度条件 (Analyzing stress of circular bars ;用垂直于杆轴线的用垂直于杆轴线的 坐标坐标 T T 表示横截面上的扭矩表示横截面上的扭矩, ,正的正的 扭矩画在扭矩画在 x x 轴上方轴上方, ,负的扭矩画在负的扭矩画在 x x 轴下方轴下方. . T T x x + + _ _ (Torsion)(Torsion) MMe4 e4 A A B B C C D D MMe1 e1 MMe2 e2 MMe3 e3 n n 例题例题1 1 一传动轴如图所示一传动轴如图所示, ,其转速其转速 n n = 300 r/min , = 300 r/min ,主动轮主动轮A A输入的输入的 功率为功率为P P 1 1 = 500 kW . = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率若不计轴承摩擦所耗的功率, ,三个从动轮输三个从动轮输 出的功率分别为出的功率分别为P P 2 2 = 150 kW ,= 150 kW ,P P 3 3 = 150 kW , = 150 kW , P P 4 4 = 200 kW. = 200 kW. 试做扭矩图试做扭矩图. . (Torsion)(Torsion) 解解: : 计算外力偶矩计算外力偶矩 MMe4 e4 A A B B C C D D MMe1 e1 MMe2 e2 MMe3 e3 n n (Torsion)(Torsion) 计算计算 CACA 段内任横一截面段内任横一截面 2-2 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩. .假设假设 T T 2 2 为正值为正值. . 结果为负号结果为负号, ,说明说明T T 2 2 应是负值扭矩应是负值扭矩 由平衡方程由平衡方程 A A B B C C D D MMe1 e1MMe3 e3 MMe2 e2 2 2 2 2 同理同理, ,在在 BCBC 段内段内 B B C C x Me2Me3 T2 MMe4 e4 Me2 x x (Torsion)(Torsion) A A B B C C D D 同理同理, ,在在 BCBC 段内段内 在在 ADAD 段内段内 1 1 1 3 3 注意：若假设扭矩为正值注意：若假设扭矩为正值, , 则扭矩的实际符号与计算符号相同则扭矩的实际符号与计算符号相同. . Me4Me1 Me3 Me2 Me2 MMe4 e4 T T1 1 T T3 3 作出扭矩图作出扭矩图 4774.5 Nm4774.5 Nm 9549 Nm9549 Nm 6366 N6366 N mm + + _ _ 从图可见从图可见, ,最大扭矩在最大扭矩在 CACA段内段内. . (Torsion)(Torsion) 3-33-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels) 1.1.实验前实验前 （1 1）画纵向线）画纵向线, ,圆周线圆周线; ; （2 2）施加一对外力偶）施加一对外力偶. . 一、应力分析一、应力分析 (Analysis of stress)(Analysis of stress) 薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（ （r r 0 0 圆筒的圆筒的平均半径）平均半径） dx x Me Me 2.2.实验后实验后 （1 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动； （2 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3 3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形. . (Torsion)(Torsion) 3.3.推论推论(Inference)(Inference) （1 1）横截面上无正应力，只）横截面上无正应力，只 有切应力；有切应力； （2 2）切应力方向垂直半径或）切应力方向垂直半径或 与圆周相切与圆周相切. . dx 圆周各点处切应力的方向于圆周相切圆周各点处切应力的方向于圆周相切, , 且数值相等且数值相等, ,近似的认为沿壁厚方向各点处近似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化切应力的数值无变化. . MM e e MM e e A B D C (Torsion)(Torsion) 此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. . 4.4.推导公式推导公式 (Derivation of formula)(Derivation of formula) 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布, ,与半径垂直与半径垂直, , 指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致. . T T (Torsion)(Torsion) x x d dy y d dz z d dx x y y z z 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)(Shearing Stress Theorem) 1. 1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, , 其方向于其方向于 y y 轴平行轴平行. . 两侧面的内力元素两侧面的内力元素 d dy y d dz z 大小相等大小相等, ,方向相反方向相反, ,将组成将组成 一个力偶一个力偶. . 由平衡方程由平衡方程 其矩为其矩为( ( d dy y d dz z) d) dx x (Torsion)(Torsion) x x y y d dy y d dz z z z d dx x 2 2. 要满足平衡方程要满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为 此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩 数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得 ( ( d dy y d dz z) d) dx x 3. 3.切应力互等定理切应力互等定理 (Shearing stress theorem)(Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在, ,且大小相等且大小相等, , 都指相（或背离）该两平面的交线都指相（或背离）该两平面的交线. . 4. 4.纯剪切单元体纯剪切单元体 (Element in pure shear)(Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力单元体平面上只有切应力而无正应力, ,则称为纯剪切单元体则称为纯剪切单元体. . (Torsion)(Torsion) MM e e MM e e l 式中式中, , r r 为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经. . 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 (Hookes law for shear)(Hookes law for shear) 由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到 薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现, ,当外力偶当外力偶 MM e e 在某一范围内时在某一范围内时, ,与与 MM e e （在数值上等于（在数值上等于 T T ）成正比）成正比. . (Torsion)(Torsion) 三个弹性常数的关系三个弹性常数的关系 T O 从从 T T 与与 之间的线性关系之间的线性关系, ,可推出可推出 与与 间间 的线性关系的线性关系. . 该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律 (Hookes law for shear)(Hookes law for shear) G G 剪切弹性模量剪切弹性模量 O O (Torsion)(Torsion) 思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变 2 2 切应变为切应变为切应变为切应变为 0 0 (Torsion)(Torsion) 变形几何关系 物理关系静力关系 观察变形 提出假设 变形的分布规律 应力的分布规律 建立公式 deformation geometric relation Distribution regularity of deformation Distribution regularity of stress Establish the formula Examine the deformation then propose the hypothesis physical relation static relation 3-43-4 圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析 强度条件强度条件 (Analyzing stress of circular bars ; 又扭又扭 转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等， 设为设为 T T . . 已知：已知： d d2 D2 (Torsion)(Torsion) 因此因此 解得解得 两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同, ,故两轴的重量比等于两轴的横截面面故两轴的重量比等于两轴的横截面面 积之比积之比 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻, ,即节省材料即节省材料. . (Torsion)(Torsion) 1.1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的 3-53-5 杆在扭转时的变形杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 (Torsional deformation of circular bars ; （2 2）扭转角）扭转角 CACA a a a a 2 2a a MM e e 2 2MM e e 3 3MM e e A A B B C C D + Me 2Me 3Me 解：画扭矩图解：画扭矩图 计算外力偶矩计算外力偶矩MM e e DBDB= = CBCB+ + DCDC=1 =1 T T maxmax= 3 = 3MM e e (Torsion)(Torsion) （1 1）ADAD杆的最大杆的最大切切应力应力 （2 2）扭转角）扭转角 CACA a a a a 2 2a a MM e e 2 2MM e e 3 3MM e e A A B B C C D + Me 2Me 3Me (Torsion)(Torsion) 例题例题6 6 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用 40 40 号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成, ,钢管钢管 外径外径D D=76mm,=76mm,壁厚壁厚 d d =2.5=2.5mm,mm,轴传递的转矩轴传递的转矩MM e e =1.98kNm,=1.98kNm, 材料的许用切应力材料的许用切应力 = 100MPa, = 100MPa,切变模量为切变模量为 G G = 80GPa, = 80GPa, 轴的轴的许可许可扭角扭角 = 2 = 2 / /mm . . 试校核轴的试校核轴的强度和刚度强度和刚度. . Dd d MeMe (Torsion)(Torsion) 解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩 轴的内、外径之比轴的内、外径之比 由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件 Dd d MeMe (Torsion)(Torsion) 将空心轴改为同一材料的实心轴将空心轴改为同一材料的实心轴, ,仍使仍使 maxmax=96.1MPa =96.1MPa d d=47.2mm=47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为 两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同, ,故两轴重量比等于两轴的横截面积比故两轴重量比等于两轴的横截面积比， 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻, ,即节省材料即节省材料. . 其截面面积为其截面面积为 空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为 (Torsion)(Torsion) 例题例题7 7 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆ABAB, ,在截面在截面C C处受一个扭转力偶矩处受一个扭转力偶矩MM e e 的作用的作用, ,如图所示如图所示. .已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度 GIGI p p , ,试求杆两端的支反力偶试求杆两端的支反力偶 矩矩. . C Me ab AB l (Torsion)(Torsion) 解解: :去掉约束去掉约束, ,代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩 这是一次超静定问题这是一次超静定问题, , 须建立一个须建立一个补充方程补充方程 ACB MeMeAMeB C C截面相对于两固定端截面相对于两固定端 A A和和B B的相对扭转角相等的相对扭转角相等. . 杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是 C Me ab AB l (Torsion)(Torsion) C Me ab AB l （1 1）变形几何方程）变形几何方程 （2 2）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程 解得解得 ACB MeMeAMeB ACAC= = BCBC (Torsion)(Torsion) 例题例题8 8 图图 示一长为示一长为 l l 的组合杆的组合杆, ,由不同材料的实心圆截面杆和空由不同材料的实心圆截面杆和空 心圆截面杆组成心圆截面杆组成, ,内外两杆均在线弹性范围内工作内外两杆均在线弹性范围内工作, ,其抗扭刚度其抗扭刚度 G Ga a I I p pa a 、 G Gb b I I p pb b . . 当此组合杆的两端各自固定在刚性板上 当此组合杆的两端各自固定在刚性板上, ,并在刚性板并在刚性板 处受一对矩为处受一对矩为 MM e e 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上 的扭转偶矩的扭转偶矩. . MeMe l A B (Torsion)(Torsion) 解：列平衡方程解：列平衡方程 这是一次超静定问题这是一次超静定问题. . 变形相容条件是内、外杆变形相容条件是内、外杆 的扭转变形应相同的扭转变形应相同. . 变形几何方程是变形几何方程是 物理关系是物理关系是 Me Me Me l A B MaMb (Torsion)(Torsion) 代入变形几何方程代入变形几何方程, ,得补充方程得补充方程 Mb MaMe Me Me l A B (Torsion)(Torsion) 弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角 5,5,且且D Dd d, , 这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧. . 推导这推导这 种弹簧的应力与变形的计算公式种弹簧的应力与变形的计算公式. . 3-6 3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形 (Calculation of the stress and deformation in (Calculation of the stress and deformation in close-coiled helical springs) close-coiled helical springs) 一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力 1.1.内力的计算内力的计算 (Calculation of internal force)(Calculation of internal force) F (Calculation of the stress on (Calculation of the stress on spring wire cross section)spring wire cross section) (Torsion)(Torsion) 簧丝的横截面上有两个簧丝的横截面上有两个 内力分量即内力分量即 FS T FP F 作为近似计算作为近似计算, ,通常可略去与剪力通常可略去与剪力 F F S S 相应的相应的 , ,且且 D D/ /d d 很大时很大时, , 还可略去还可略去簧圈曲率的影响簧圈曲率的影响, ,所以簧杆横截面上最大切应力为所以簧杆横截面上最大切应力为 2.2.应力的计算应力的计算 (Calculation of stress)(Calculation of stress) 为便于分析为便于分析, ,将杆的斜度将杆的斜度 视为视为0 0 截面法截面法 (Torsion)(Torsion) 公式修正的原因公式修正的原因: :（1 1）当）当D D/ /d d 较小较小, ,会引起很大的误差会引起很大的误差; ; （2 2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的）假定剪切引起的切应力是均匀分布的. . 式中式中 c c为弹簧指数为弹簧指数, ,k k为曲度系数为曲度系数, ,可查教材中的表可查教材中的表3.13.1 3.3.强度条件强度条件(Strength condition)(Strength condition) (Torsion)(Torsion) FS T FP F 若只考虑簧杆扭转的影响若只考虑簧杆扭转的影响 ，可得簧杆内的应变能为，可得簧杆内的应变能为 二、弹簧的变形二、弹簧的变形 (Deformation of the (Deformation of the spring)spring) 1. 1. 应变能的计算应变能的计算 (C(Calculation of strain energy)alculation of strain energy) (Torsion)(Torsion) 3. 3.功能原理功能原理 V V = = W W (Work-energy principle)(Work-energy principle) 当弹簧的变形为当弹簧的变形为 l l 时，外力所做的功为时，外力所做的功为 F F F F O l l 2. 2.外力做的功外力做的功(Work of the external force)(Work of the external force) c c 弹簧刚度弹簧刚度 (Torsion)(Torsion) 例题例题9 9 某柴油机的气阀弹簧某柴油机的气阀弹簧, ,簧圈平均半经簧圈平均半经R R=59.5 mm,=59.5 mm,簧丝横截簧丝横截 面直径面直径d d=14mm,=14mm,有效圈数有效圈数n n=5. =5. 材料的材料的 = 350MPa = 350MPa , ,G G=80GPa, =80GPa, 弹弹 簧工作时总压缩变形（包括预压簧工作时总压缩变形（包括预压变形）变形）为为 l l =55mm =55mm 试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度. . 解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力 F F 为为 由由R R及及d d求出求出 查表查表3.13.1查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数k k=1.17=1.17 弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求. . (Torsion)(Torsion) 3-73-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 (Torsion of noncircular prismatic (Torsion of noncircular prismatic bars)bars) 非圆杆非圆杆, ,如矩形截面杆扭转后横截面将发生如矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲翘曲(warping)(warping) 而不再是平面而不再是平面. . 一、基本概念一、基本概念(Basic concepts)(Basic concepts) (Torsion)(Torsion) （2 2）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截 面的翘曲程度不同面的翘曲程度不同, ,这将在横截面上引起附加的正应力这将在横截面上引起附加的正应力. . 这一情况这一情况 称为称为 约束扭转约束扭转(constraint torsion)(constraint torsion). （1 1）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生 翘曲翘曲(warping)(warping)，但当等直杆在两端受外力偶但当等直杆在两端受外力偶 作用作用，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横且端面可以自由翘曲时，其相邻两横 截面的翘曲程度完全相同截面的翘曲程度完全相同. . 横截面上仍然只有横截面上仍然只有 切应力而没有正应力切应力而没有正应力. . 这一情况称为这一情况称为纯扭转纯扭转 (pure torsion)(pure torsion)，或或自由扭转自由扭转(free torsion).(free torsion). (Torsion)(Torsion) b h T 矩形截面扭转时矩形截面扭转时, ,横截面切应力横截面切应力 如图所示如图所示, ,边缘上各点的切应力形成边缘上各点的切应力形成 与边界相切的顺流与边界相切的顺流. . 整个横截面上的最大切应力发生在整个横截面上的最大切应力发生在 长边的中点长边的中点. . 二、矩形截面二、矩形截面(Rectangular cross section)(Rectangular cross section) 短边中点的切应力短边中点的切应力 是短边上的是短边上的 最大切应力最大切应力, ,且且 (Torsion)(Torsion) h h 切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其 数值除在靠近顶点处以外均相等数值除在靠近顶点处以外均相等. . 三、狭长矩形三、狭长矩形（L Long narrow ong narrow rectangle)rectangle) 狭长矩形截面的狭长矩形截面的 I I t t 和和 WW t t 狭长矩形截面上切应力的分布情况见图狭长矩形截面上切应力的分布情况见图 表表3-1 3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数矩形截面杆在纯扭转时的系数 h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.