九年级数学2.5 一元二次方程的应用 第2课时 面积问题导学案湘教版

1 第第 2 2 课时课时 面积问题面积问题 1会列一元二次方程解决一些有关面积的实际问题，并注意对方程的根的合理性进行检验 2进一步熟练用方程模型解应用题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力 3通过解决实际问题，进一步感受一元二次方程在几何中的应用价值并领悟转化的数学思想 自学指导自学指导 阅读教材第 51 至 52 页，完成以下内容. 知识探究知识探究 如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要 使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的 宽度？(精确到 0.1 cm) 分析分析：封面的长宽之比是 2721=97，中央的长方形的长宽之比也应是 97，若设中央的长方形的长和宽分 别是 9a cm 和 7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27-9a)(21-7a). 怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试. 自学反馈自学反馈 要为一幅长 29 cm，宽 22 cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四 分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？ 解：设镜框边的宽度为 x cm，则有(29+2x)(22+2x)=(14+1)(2922)，即 4x2+102x-159.5=0， 解得 x1=1.48，x2=-26.98(舍去). 答：镜框边的宽度应是 1.48cm. 本题和上题一样，利用矩形的面积公式作为相等关系列方程. 活动活动 1 1 小组讨论小组讨论 例例 如图，某小区规划在一个长为 40 米、宽为 26 米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是 144 m2，求马路的宽. 解：假设三条马路修在如图所示位置. 设马路宽为 x，则有(40-2x)(26-x)=1446，化简，得:x2-46x+88 =0，解得：x1=2，x2=44，由题意：40- 2x0，26-x0，则 x20.故 x2=44 不合题意，应舍去，x=2. 答：马路 的宽为 2 m. 这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形. 活动活动 2 2 跟踪训练跟踪训练 1.如图，要设计一幅宽 20 cm、长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比 为 32，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(精确到 0.1 cm). 2 解：设横彩条的宽度为 3x cm，则竖彩条的宽度为 2x cm.根据题意， 得(30-4x)(20-6x)=（1- 1 4 ）2030.解得 x10.6，x210.2(不合题意，舍去). 故 3x=1.8，2x=1.2. 答：横彩条宽为 1.8 cm，竖彩条宽为 1.2 cm. 2.用一根长 40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为 75 cm2. (1)求此长方形的宽是多少？ (2)能围成一个面积为 101 cm2的长方形吗？如能，说明围法. (3)若设围成一个长方形的面积为 S(cm2)，长方形的宽为 x(cm)，求 S 与 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时， S 的值最大？最大面积为多少？ 解 ：(1)设此长方形的宽为 x cm，则长为(20-x)cm. 根据题意，得 x(20-x)=75. 解得：x1=5，x2=15(舍去). 答：此长方形的宽是 5 cm. (2)不能.由 x(20-x)=101，即 x2-20x+101=0，知 =202-4101=-40，方程无解，故不能围成一个面积为 101 cm2的长方形. (3)S=x(20-x)=-x2+20x. 由 S=-x2+20x=-(x-10)2+100 知当 x=10 时，S 的值最大，最大面积为 100 cm2. 怎样解决(2)中的能与不能的问题；用配方法解决第(