5 几种常见概率分布ppt课件

第五章 常见概率分布律 难度级： Today: * 第一节 二项分布 第二节 泊松分布 第三节 正态分布 第四节 其他概率分布律 内容提要 Today: * 教学重点： 1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用； 2. 正态分布标准化的方法 3. 正态分布表、t值表的用法 教学要求： 掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概 率计算方法及应用 Today: * 一、贝努利试验及其概率公式 （一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果 每次试验结果出现且只出现对立事件 与 之一; 在每次试验中出现A的概率是常数p（00,q0,p+q=1）,则称随机变量X服从参数 为n和p的二项分布，记为 Today: * （二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布， 由n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能 取正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何 数值。 二项分布具有概率分布的一切性质，即： （k=0,1,2,n） 二项分布的概率之和等于1，即： Today: * Today: * Today: * 四、二项分布的概率计算及其应用条件 （一）概率计算 直接利用二项概率公式 例6 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的各 种可能情况的概率。 这个问题属于贝努里模型(?)，其中 ，孵化6枚种蛋孵出的小鸡数x服从二项分布 .其中x的可能取值为0，1，2，3，4，5，6。 Today: * 思考：求 至少孵出3只小鸡的概率是多少？ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？ 其中： Today: * 【例4.10】 设设在家畜中感染某种疾病的概率为为 20，现现有两种疫苗，用疫苗A 注射了15头头家畜 后无一感染，用疫苗B 注射 15头头家畜后有1头头感 染。设设各头头家畜没有相互传传染疾病的可能，问问： 应该应该 如何评评价这这两种疫苗? 假设设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的 概率仍为为20，则则15 头头家畜中染病头头数x=0的概 率为为 Today: * 同理，如果疫苗B完全无效，则15头家畜中最 多有1头感染的概率为 由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。因 此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B疫 苗也是有效的。 Today: * （二）应用条件（三个） n个观察单位的观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如 阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类 资料。 已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其 对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是 从大量观察中获得的比较稳定的数值。 Today: * 要观察到这类事件，样本含量n必须很大 。在生 物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常 见的。 此外，由于泊松分布是描述小概率事件的， 因而二项分布中当p很小n很大时，可用泊松分布 Today: * 泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件 分布规律的函数。 在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量是 常见的。如， 一定种群中某种患病率很低的非传染性 疾病患病数或死亡数， 种群中遗传的畸形怪胎数， 每 升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数， 单位 空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分布的 。 第二节 第二节 泊松分布 泊松分布 Possion distributionPossion distribution Today: * 一、泊松分布的意义 （一）定义 若随机变量X(X=k)只取零和正整数值 ，且其概率分布为 则称X服从参数为的泊松分布，记为X P()。 （二）特征 =2= Today: * 【例4.13】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸形 数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布情况如 表4-3所示。试判断畸形仔猪数是否服从波松分 布。 Today: * 表4-3 畸形仔猪数统计统计 分布 样样本均数和方差S2计计算结结果如下： =fk/n =(1200+621 +152+23+14)/200 S2 =0.51 =0.51，S2=0.52,这两个数是相当接近的 ， 因此 可以认为畸形仔猪数服从波松分布。 Today: * 是波松分布所依赖赖的唯一参数。 值值愈小 分布愈偏倚，随着的增大 ，分 布趋趋于对对称。当 = 20时时分布接近于正态态分布；当=50时时， 可以 认认 为为波松分布呈正态态分布。 所以在实际实际 工作中 ，当 20时时就可以用正态态分布来近似地处处理波松 分布的问题问题 。 Today: * 二、波松分布的概率计计算 由(4-23)式可知，波松分布的概率计计算，依 赖赖于参数 的确定，只要参数确定了 ，把k=0，1 ，2， 代入(4-23)式即可求得各项项的概率。 但是 在大多数服从波松分布的实实例中，分布参数往往 是未知的，只能从所观观察的随机样样本中计计算出相 应应的样样本平均数作为为 的 估计值计值 ，将其代替(4- 23)式中的，计计算出 k = 0，1，2， 时时的各项项 概率。 Today: * 如【例4.13】中已判断畸形仔猪数服从波 松分布，并已算出样样本平均数=0.51。将0.51代 替公式（4-23）中的得： (k=0,1,2,) 因为为e-0.51=1.6653，所以畸形仔猪数各项项的 概率为为： P(x=0)=0.510(0!1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511(1!1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512(2!1.6653)=0.0781 P(x=3)=0.513(3!1.6653)=0.0133 P(x=4)=0.514(4!1.6653)=0.0017 把上面各项项概率乘以总观总观 察窝窝数(n=200)即得 各项项按波松分布的理论窝论窝 数。 波松分布与相应应的 频频率分布列于表4-4中。 Today: * 表4-4 畸形仔猪数的波松分布 将实际计实际计 算得的频频率与根据=0.51的泊松分 布计计算的概率相比较较 ，发现发现 畸形仔猪的频频率 分布与 =0.51 的 波松分布是吻合得很好的 。 这进这进 一步说说明了畸形仔猪数是服从波松分布 的。 【例4.14】 为监测饮为监测饮 用水的污污染情况， 现检验现检验 某社区每毫升饮饮用水中细细菌数 ， 共得400个记录记录 如 下： 试试分析饮饮用水中细细菌数的分布是否服从波松分布 。若服从，按波松分布计计算每毫升水中细细菌数的概 率及理论论次数并将頻率分布与波松分布作直观观比较较 。 Today: * 经计经计 算得每毫升水中平均细细菌数 =0.500, 方差S2=0.496。两者很接近， 故可认为认为 每毫升 水中细细菌数服从波松分布。以 =0.500代替（ 4-23）式中的，得 (k=0,1,2) 计计算结结果如表45所示。 表45 细菌数的波松分布 可见细菌数的频率分布与=0.5的波松分布是相 当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积( 或面积)中细菌数的分布是适宜的。 Today: * 注意，二项项分布的应应用条件也是波松分布 的应应用条件。比如二项项分布要求n 次试验试验 是相互 独立的，这这也是波松分布的要求。然而一些具有 传传染性的罕见见疾病的发发病数，因为为首例发发生之 后可成为传为传 染源，会影响到后续续病例的发发生，所 以不符合波松分布的应应用条件。对对于在单单位时时 间间、单单位面积积或单单位容积积内，所观观察的事物由 于某些原因分布不随机时时，如细细菌在牛奶中成集 落存在时时，亦不呈波松分布。 Today: * 一、正态分布的定义及其特征 （一）定义 若连续性随机变量X的概率分布密度 函数为： 其中，为平均数，2 为方差，则称随机变 量服从正态分布,记为(,2).相应的概率 分布函数为 第三节 第三节 正态分布 正态分布 normal distributionnormal distribution Today: * （二）特征 正态分布密度曲线是以= 为对称轴的单峰、对称的悬 钟形； f(x)在=处达到极大值, 极大值为 f(x)是非负数，以x轴为渐 进线； 正态分布 密度函数曲线 Today: * 正态分布有两个参数，即平 均数和标准差。是位置参 数，是变异度参数。 分布密度曲线与横轴所夹的 面积为1，即： 正态分布 密度函数曲线 特征特征 Today: * 相同而不同的三个正态总体 相同而不同的三个正态总体 特征特征 Today: * （一）定义 称=0, 2=1的正态分布为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下： 若随机变量服从标准正态分布，记作 (0, 1) 二、标准正态分布standard normal distribution Today: * （二）标准化的方法 对于任何一个服从正态分布(,2)的随 机变量 ，都可以通过标准化变换：u=(- )/ 即减平均数后再除以标准差，将其变换 为服从标准正态分布的随机变量。 对不同的及P(U164cm的概率；（3）X在152 162cm的概率。 解：（1）根据P(X164)= -(164-156.2)/4.82= (-1.62) =0.05262 = 1- (164-156.2)/4.82=1-0.94738 =0.05262 (3)P(152X162)= (162-156.2)/4.82- (152-156.2)/4.82 =0.69278 Today: * 有有 时时时时 会会 遇遇 到到 给给给给 定定 (u u) ) 值值值值 ， 例例 如如 (u u)=0.284)=0.284， 反反过过过过来来查查查查u u值值值值。这这这这只要在附表只要在附表1 1中中 找到与找到与 0.284 0.284 最接近的最接近的值值值值0.28430.2843，对应对应对应对应 行的第一行的第一 列数列数 -0.5-0.5， 对应对应对应对应 列的第一行数列的第一行数 值值值值 0.07 0.07 ，即相，即相 应应应应的的u u值为值为值为值为 u u = - 0.57= - 0.57，即，即 (-0.57)=0.284(-0.57)=0.284 Today: * （三）双侧（两尾）概率与单侧（一尾）概率 随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之 外的概率称为双侧概率（两尾概率），记作 对应于双侧概率可以求得随机变量x小于-k或 大于+k的概率，称为单侧概率（一尾概率）， 记作/2 如x落在(-1.96,+1.96) 之外的双侧概 率为0.05，而单侧概率为0.025。即 Today: * 标准正态双侧分位数的查法：附表3 标准正态分布 正态分布 密度函数曲线 Today: * 前面讨论讨论 的三个重要的概率分布中，前两个 属离散型随机变变量的概率分布，后一个属连续连续 型 随机变变量的概率分布 。 三 者间间的关系如下： 对对于二项项分布，在n,p0， 且 n p =(较较 小常数)情况下 ，二项项分布 趋趋于 波 松布。在这这种 场场合，波松分布中的参数 用二项项分布的n p代之 ；在n, p0.5时时 ， 二项项分布趋趋于正态态分布。 在这这种场场合 ，正态态分布中的 、2用二项项分布的 n p、n p q代之。在实际计实际计 算中，当p0.1且n 很 大时时 ， 二项项分布可由波松分布近似；当p0