2004-2013年浙江11市中考数学专题15：几何三大变换问题之旋转.doc

2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题15：几何三大变换问题之旋转一、选择题1.（2006年浙江宁波课标卷3分）如图，直角梯形abcd中，adbc，abbc，ad=3，bc=5，将腰dc绕点d逆时针方向旋转90至de，连接ae，则ade的面积是【 】a1 b2 c3 d4【答案】c。【考点】旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】过点d作dg垂直于bc于g，过e作ef垂直于ad交ad的延长线于f，edf+cdf=90，cdf+cdg=90，edf=cdg。又efd=cgd=90，de=dc，edfcdg（aas）。ef=cg。ad=3，bg=bc=5，cg=bcbg=53=2。ef=2。 故选c。2.（2007年浙江丽水4分）如图，直线与轴、轴分别交于a、b两点，把aob绕点a顺时针旋转90后得到，则点的坐标是【 】a. （3，4） b. （4，5） c. （7，4） d. （7，3）【答案】d。【考点】旋转的性质，直线上点的坐标与方程的关系【分析】旋转不改变图形的大小和性质，所得图形与原图形全等，根据全等三角形的性质，即可得到相应线段的长：分别令x=0，y=0可得直线与x轴，y轴分别交于a（3，0），b（0，4）两点。旋转前后三角形全等，由图易知点b的纵坐标为oa长3，横坐标为oa+ob= oa+ob=3+4=7。故选d。3.（2008年浙江湖州3分）已知点a的坐标为（a，b），o为坐标原点，连接oa，将线段oa绕点o按逆时针方向旋转90得oa1，则点a1的坐标为【 】a（a，b）b（a，b）c（b， a）d（ b， a）【答案】c。【考点】旋转的性质，点的坐标，全等三角形的判定和性质。【分析】如图，在坐标平面第一象限内作点a（a，b），逆时针方向旋转90后a1应与a分别位于y轴的两侧，在x轴的同侧，横坐标符号相反，纵坐标符号相同作amx轴于m，anx轴于n点，在rtoam和rta1on中，oa=oa1，aom=a1on，oama1on（aas）。a1n=om= a，on=am= b。a1的坐标为（b，a）。同样可考虑第二、三、四象限的情形，得到同样结论。故选c。二、填空题1.（2004年浙江温州、台州5分）已知矩形abcd的长ab=4，宽ad=3，按如图放置在直线ap上，然后不滑动地转动，当它转动一周时(aa)，顶点a所经过的路线长等于 。【答案】。【考点】旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，扇形弧长。【分析】如图，根据题意，顶点a所经过的路线长三条弧长的和： 以点b为圆心，ab=4长为半径，角度为900的弧，弧长为； 以点g为圆心，eg=5长为半径，角度为900的弧，弧长为；以点h为圆心，hf=3长为半径，角度为900的弧，弧长为。 顶点a所经过的路线长等于。2.（2007年浙江衢州5分）一幅三角板按下图所示叠放在一起，若固定aob，将acd绕着公共顶点a，按顺时针方向旋转度（00时，用含t的代数式表示点c的坐标及abc的面积；（3）是否存在点b,使abd为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点b的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）当t=4时，b(4，0)，设直线ab的解析式为y= kx+b ，把 a(0，6)，b(4，0) 代入得：, 解得：。 直线ab的解析式为：。（2）过点c作cex轴于点e，aob=ceb=90，abo=bce，aobbec。点c的坐标为。，。（3）存在，理由如下：当t0时，.若adbd，bdy轴，oab=abd，bad=abd。oab=bad。又aob=abc，aboacb。t=3，即b(3，0)。.若abad，如图，延长ab与ce交于点g，bdcg，agac。过点a作ahcg于h，chhgcg。由aobgeb得，ge= 。又heao，ce，。，解得：。 t0，即b(，0)。.由已知条件可知，当0t12时，adb为钝角，故bd ab。 当t12时，bdcebcab，当t0时，不存在bdab的情况。当3t0时，如图，dab是钝角。设ad=ab，过点c分别作cex轴，cfy轴于点e，点f，可求得点c的坐标为，cf=oe=t+3，af=6。由bdy轴，ab=ad得，bao=abd，fac=bda，abd=adb，bao=fac。又aob=afc=90，aobafc。，。解得：。3t0，即b (，0)。当t3时，如图，abd是钝角。设ab=bd，过点c分别作cex轴，cfy轴于点e，点f，可求得点c的坐标为，cf=(t+3)，af=6。ab=bd，d=bad。又bdy轴，d=caf。bac=caf。又abc=afc=90，ac=ac。abcafc（aas）。afab，cf=bc。af=2cf，即，解得：t=8，即b(8，0)。综上所述，存在点b使abd为等腰三角形，此时点b坐标为：b1 (3，0)，b2 (，0)，b3 (，0)，b4(8，0)。【考点】一次函数综合题，线动旋转问题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，分类思想的应用。【分析】（1）当t=4时，b（4，0），设直线ab的解析式为y=kx+b把a（0，6），b（4，0）代入解析式即可求出未知数的值，从而求出其解析式。（2）过点c作cex轴于点e，由aob=ceb=90，abo=bce，得aobbec，即，故点c的坐标为。 根据求出。（3）分t0，3t0和t0)，则根据勾股定理得， 解得 (舍去)。点b的横坐标是。（2）当时，抛物线为：， 即。抛物线的对称轴为。以下分两种情况讨论：情况1：设点c在第一象限(如图1)，则点c的横坐标为，点c的横坐标为。点c的坐标为。如图，过点a 作adx轴于点d，过点c 作cey轴于点e，则由adoceo得：，即。点a的坐标为。a，b两点关于原点对称，点b的坐标为。将点a的横坐标代入右边，计算得，即等于点a的纵坐标；将点b的横坐标代入右边，计算得，即等于点b的纵坐标。在这种情况下，a，b两点都在抛物线上。情况2：设点c在第四象限(如图2)，则点c的坐标为，点a的坐标为，点b的坐标为，经计算，a，b两点都不在这条抛物线上。存在。m的值是1或1。【考点】二次函数综合题，旋转问题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】（1）根据勾股定理即可求得点b的横坐标。（2）分点c在第一象限和点c在第四象限两种情况讨论即可。 b=2am，抛物线为：。 oc=1，1点c的横坐标1。又这条抛物线的对称轴经过点c，1m1。当m=1时，点c在x轴上，此时a，b两点都在y轴上，当m=1时，a，b两点不可能同时在这条抛物线上。13.（2010年浙江台州12分）如图1，rtabcrtedf，acb=f=90，a=e=30edf绕着边ab的中点d旋转， de，df分别交线段ac于点m，k（1）观察： 如图2、图3，当cdf=0 或60时，am+ck mk(填“”，“”或“”)（2）猜想：如图1，当0cdf60时，am+ck mk，证明你所得到的结论（3）如果，请直接写出cdf的度数和的值【答案】解：（1）=。 。（2）。证明如下：作点c关于fd的对称点g，连接gk，gm，gd，则cd=gd，gk=ck，gdk=cdk。d是ab的中点，ad=cd=gd。a=30，cda=120。edf=60，gdm+gdk=60。adm+cdk=60。adm=gdm。dm=dm， ，admgdm，（sas）。gm=am。gm+gkmk，am+ckmk。（3）15；。【考点】旋转问题，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系，轴对称的应用（最短线段问题），勾股定理和逆定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）先证明cda是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明am+ck=mk；在mkd中，am+ckmk（两边之和大于第三边）：在rtabc中，d是ab的中点，ad=bd=cd=ab，b=bdc=60。又a=30，acd=6030=30。又cde=60，或cdf=60时，ckd=90。在cda中，am（k）=cm（k），即am（k）=km（c）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合）。ck=0，或am=0，am+ck=mk。由，得acd=30，cdb=60。又a=30，cdf=30，edf=60，adm=30。am=md，ck=kd。am+ck=md+kd。在mkd中，am+ckmk（两边之和大于第三边）。（2）作点c关于fd的对称点g，连接gk，gm，gd证明admgdm后，根据全等三角形的性质，gm=am，gm+gkmk，am+ckmk。（3）由（2），得gm=am，gk=ck，。gkm=90。又点c关于fd的对称点g，ckg=90，fkc=ckg=45。又由（1），得a=acd=30，fkc=cdf+acd。cdf=fkcacd=15。在rtgkm中，mgk=dgk+mgd=a+acd=60，gmk=30，。 。14.（2011年浙江金华、丽水10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形oabc，相邻两边oa和oc分别落在轴和轴的正半轴上，设抛物线过矩形顶点b、c（1）当n=1时，如果=1，试求的值；（2）当n=2时，如图2，在矩形oabc上方作一边长为1的正方形efmn，使ef在线段cb上，如果m，n两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形oabc绕点o顺时针旋转，使得点b落到轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点o试求当n=3时的值；直接写出关于n的关系式【答案】解：（1）由题意可知，当n=1时，点c的坐标为（0，1）抛物线对称轴为直线=，=1，得=1。答：的值是1。（2）解：设所求抛物线解析式为由对称性可知抛物线经过点b（2，1）和点m（，2），代入得，解得。所求抛物线解析式为。（3）解：当n=3时，oc=1，bc=3，设所求抛物线解析式为，过c作cdob于点d，则rtocdrtcbd。设od=t，则cd=3t，od2+cd2=oc2，（3t）2+t2=12，。c（，）。又由勾股定理，得b（，0），把b、c坐标代入抛物线解析式，得，解得，。答：的值是。答：关于n的关系式是。【考点】二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，；勾股定理；正方形的性质，相似三角形的判定和性质，分类归纳。【分析】（1）根据已知得到抛物线对称轴为直线=，代入即可求出。（2）设所求抛物线为，由对称性可知抛物线经过点b（2，1）和点m（，2），把b、m的坐标代入得到方程组，求出、的值即可得到抛物线解析式；（3）当n=3时，oc=1，bc=3，设所求抛物线解析式为，过c作cdob于点d，则rtocdrtcbd，得出，设od=t，则cd=3t，根据勾股定理od2+cd2=oc2，求出t，得出c的坐标，把b、c坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出即可。根据（1）、（2）总结得到答案。15.（2011年浙江衢州12分）已知两直线l1，l2分别经过点a（1，0），点b（3，0），并且当两直线同时相交于正半轴的点c时，恰好有l1l2，经过点a、b、c的抛物线的对称轴与直线l2交于点k，如图所示（1）求点c的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点c旋转时，与抛物线的另一个交点为m，请找出使mck为等腰三角形的点m，简述理由，并写出点m的坐标【答案】解：（1）由题意易知：boccoa，即，。点c的坐标是（0，）。由题意，可设抛物线的函数解析式为，把a（1，0），b（3，0）的坐标分别代入，得，解得。抛物线的函数解析式为。（2）截得三条线段的数量关系为kd=de=ef。理由如下：可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，抛物线的函数解析式可化为，抛物线的对称轴为直线=1，顶点d的坐标为（1，）；把=1代入即可求得点k的坐标为（1，）；把=1代入即可求得点e的坐标为（1，）；又点f的坐标为（1，0），kd=，de=，ef=。kd=de=ef。（3）当点m的坐标分别为（2，），（1，）时，mck为等腰三角形理由如下：（i）连接bk，交抛物线于点g，连接cg，易知点g的坐标为（2，），又点c的坐标为（0，），gcab。可求得ab=bk=4，且abk=60，即abk为正三角形，cgk为正三角形。当l2与抛物线交于点g，即l2ab时，符合题意，此时点m1的坐标为（2，）。（ii）连接cd，由kd=，ck=cg=2，ckd=30，易知kdc为等腰三角形。当l2过抛物线顶点d时，符合题意，此时点m2坐标为（1，）。（iii）当点m在抛物线对称轴右边时，只有点m与点a重合时，满足cm=ck，但点a、c、k在同一直线上，不能构成三角形。综上所述，当点m的坐标分别为（2，），（1，）时，mck为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的判定。【分析】（1）利用boccoa，得出c点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，从而得出d，e，f点的坐标即可得出三条线段数量关系。（3）利用等边三角形的判定方法得出abk为正三角形，以及易知kdc为等腰三角形，从而得出mck为等腰三角形时m点坐标。16.（ 2012年浙江湖州12分）如图1，已知菱形abcd的边长为，点a在x轴负半轴上，点b在坐标原点点d的坐标为（- ，3），抛物线y=ax2+b（a0）经过ab、cd两边的中点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形abcd以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点b作becd于点e，交抛物线于点f，连接df、af设菱形abcd平移的时间为t秒（0t 3 ）是否存在这样的t，使adf与def相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；连接fc，以点f为旋转中心，将fec按顺时针方向旋转180，得fec，当fec落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围（写出答案即可）【答案】解：（1）由题意得ab的中点坐标为（3 ，0），cd的中点坐标为（0，3）， 分别代入y=ax2+b，得，解得， 。这条抛物线的函数解析式为y=x23。 （2）存在。如图2所示，在rtbce中，bec=90，be=3，bc= ， 。c=60，cbe=30。ec=bc=，de=。 又adbc，adc+c=180。adc=180-60=120要使adf与def相似，则adf中必有一个角为直角。（i）若adf=90，edf=12090=30。在rtdef中，de=，得ef=1，df=2。又e（t，3），f（t，t2+3），ef=3（t23）=t2。t2=1。t0，t=1 。 此时，。又adf=