2018年高等数学同济下册期末考试题及答案5套.pdfVIP

1 / 13 本习题集是汇集全国各大高校期末考试经常出现的题型本习题集是汇集全国各大高校期末考试经常出现的题型！ ！ 2018 年年 4 月月 24 日日 高等数学（下册）考试试卷（一）高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、z=)0( )(log 22 ayx a 的定义域为 D=。 2、二重积分 1| 22 )ln( yx dxdyyx的符号为。 3、由曲线xyln及直线1eyx，1y所围图形的面积用二重积分表示为，其值 为。 4、设曲线 L 的参数方程表示为),( )( )( x ty tx 则弧长元素ds。 5、设曲面为9 22 yx介于0z及3z间的部分的外侧，则 dsyx) 1 22 （。 6、微分方程 x y x y dx dy tan的通解为。 7、方程04 )4( yy的通解为。 8、级数 1 ) 1( 1 n nn 的和为。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、二元函数),(yxfz 在),( 00 yx处可微的充分条件是（） （A）),(yxf在),( 00 yx处连续； （B）),(yxfx，),(yxfy在),( 00 yx的某邻域内存在； （C）yyxfxyxfz yx ),(),( 0000 当0)()( 22 yx时，是无穷小； （D）0 )()( ),(),( lim 22 0000 0 0 yx yyxfxyxfz yx y x 。 2、设),()( x y xf y x yfu其中f具有二阶连续导数，则 2 2 2 2 y u y x u x 等于（） （A）yx ；（B）x；(C)y；(D)0 。 2 / 13 3、设：, 0, 1 222 zzyx则三重积分 zdVI等于（） （A）4 2 0 2 0 1 0 3 cossin drrdd； （B） 2 00 1 0 2 sin drrdd； （C） 2 0 2 0 1 0 3 cossindrrdd； （D） 2 00 1 0 3 cossindrrdd。 4、球面 2222 4azyx与柱面axyx2 22 所围成的立体体积 V=（） （A） 2 0 cos2 0 22 44 a drrad；（B） 2 0 cos2 0 22 44 a drrard； （C） 2 0 cos2 0 22 48 a drrard；（D） 2 2 cos2 0 22 4 a drrard。 5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数),(),(yxQyxP在 D 上具有一阶连续偏导数， 则 L QdyPdx)( （A） D dxdy x Q y P )(；（B） D dxdy x P y Q )(； （C） D dxdy y Q x P )(；（D） D dxdy y P x Q )(。 6、下列说法中错误的是（） （A）方程02 2 yxyyx是三阶微分方程； （B）方程xy dx dy x dx dy ysin是一阶微分方程； （C）方程0)3()2( 22232 dyyxydxxyx是全微分方程； （D）方程 x y x dx dy2 2 1 是伯努利方程。 7、已知曲线)(xyy 经过原点，且在原点处的切线与直线062 yx平行，而)(xy满足微分方程 052 yyy，则曲线的方程为y（） （A）xe x 2sin；（B）)2cos2(sinxxe x ； （C）)2sin2(cosxxe x ；（D）xe x 2sin。 3 / 13 8、设0lim n n nu, 则 1n n u（） （A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、 （7 分）设gf ,均为连续可微函数。)(),(xyxgvxyxfu， 求 y u x u ,。 2、 （8 分）设 tx tx dzzftxu)(),(，求 t u x u ,。 四、求解下列问题（共计 15 分） 。 1、计算I 2 0 2 2 x y dyedx。 （7 分） 2、计算 dVyxI)( 22 ，其中是由x21,2 22 zzzy及所围成的空间闭区域（8 分） 五、 （13 分）计算 L yx ydxxdy I 22 ，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0 , 0(O的封 闭曲线的逆时针方向。 六、 （9 分）设对任意)(,xfyx满足方程 )()(1 )()( )( yfxf yfxf yxf ，且)0( f 存在，求)(xf。 七、 （8 分）求级数 1 12 12 )2( ) 1( n n n n x 的收敛区间。 高等数学（下册）考试试卷（二）高等数学（下册）考试试卷（二） 1、设zyxzyx32)32sin(2，则 y z x z 。 2、 xy xy y x 93 lim 0 0 。 3、设 2 0 2 ),( x x dyyxfdxI，交换积分次序后，I。 4、设)(uf为可微函数，且, 0)0(f则 222 )( 1 lim 22 3 0 tyx t dyxf t 。 5、设 L 为取正向的圆周4 22 yx，则曲线积分 4 / 13 L xx dyxyedxyey)2() 1(。 6、设 kxyzjxzyiyzxA)()()( 222 ，则Adiv。 7、通解为 xx ececy 2 21 的微分方程是。 8、设 x x xf 0, 1 0, 1 )(，则它的 Fourier 展开式中的 n a。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 。 1、设函数 0, 0 0, ),( 22 22 42 2 yx yx yx xy yxf,则在点（0，0）处（） （A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。 2、设),(yxu在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 0 2 yx u 及 2 2 x u 0 2 2 y u ， 则（） （A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。 3、设平面区域 D：1) 1()2( 22 yx，若 D dyxI 2 1 )(， D dyxI 3 2 )( 则有（） （A） 21 II ；（B） 21 II ；（C） 21 II ；（D）不能比较。 4、设是由曲面1,xxyxyz及0z所围成的空间区域，则 dxdydzzxy 32 =（） （A） 361 1 ；（B） 362 1 ；（C） 363 1 ；（D） 364 1 。 5、设),(yxf在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 )( )( ty tx )( t，其中)(),(tt在 ,上具有一阶连续导数，且0)()( 22 tt， 则曲线积分 L dsyxf),(（） (A) dtttf)(),(；(B) dtttttf)()()(),( 22 ； (C) dtttttf)()()(),( 22 ；(D) dtttf)(),(。 5 / 13 6、设是取外侧的单位球面1 222 zyx，则曲面积分 zdxdyydzdxxdydz=（） (A) 0 ；(B)2；(C)；(D)4。 7、下列方程中，设 21, y y是它的解，可以推知 21 yy 也是它的解的方程是（） (A)0)()(xqyxpy；(B)0)()( yxqyxpy； (C)()()(xfyxqyxpy ；(D)0)()( xqyxpy。 8、设级数 1n n a为一交错级数，则（） (A)该级数必收敛；(B)该级数必发散； (C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0nan，则必收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、 （8 分）求函数)ln( 22 zyxu在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2，2） 的方向的方向导数。 2、 （7 分）求函数)4(),( 2 yxyxyxf在由直线0, 0, 6xyyx所围成的闭区域 D 上的最大 值和最小值。 四、求解下列问题（共计 15 分） 1、 （7 分）计算 3 )1 (zyx dv I，其中是由0, 0, 0zyx及1zyx所围成的立体 域。 2、 （8 分）设)(xf为连续函数，定义 dvyxfztF)()( 222 ， 其中 222 ,0| ),(tyxhzzyx，求 dt dF 。 五、求解下列问题（15 分） 1、 （8 分）求 L xx dymyedxmyyeI)cos()sin(，其中 L 是从 A（a，0）经 2 xaxy到 O （0，0）的弧。 2、 （7 分）计算 dxdyzdzdxydydzxI 222 ，其中是)0( 222 azzyx的外侧。 六、 （15 分）设函数)(x具有连续的二阶导数，并使曲线积分 L x dyxydxxexx)()(2)(3 2 与路径无关，求函数)(x。 6 / 13 高等数学（下册）考试试卷（三）高等数学（下册）考试试卷（三） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设 yz xz t dteu 2 ， 则 z u 。 2、函数)2sin(),(yxxyyxf在点（0，0）处沿)2 , 1 (l的方向导数 )0, 0( l f =。 3、设为曲面0,1 22 zyxz所围成的立体，如果将三重积分 dvzyxfI),(化为先对z再对 y最后对x三次积分，则 I=。 4、设),(yxf为连续函数，则I D t dyxf t ),( 1 lim 2 0 ，其中 222 :tyxD。 5、 L dsyx)( 22 ，其中 222 :ayxL。 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),(zyxP， ),(zyxQ，),(zyxR在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系 式：， 该关系式称为公式。 7、微分方程9696 2 xxyyy的特解可设为 * y。 8、若级数 1 1 ) 1( n p n n 发散，则p。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、设),(bafx存在，则 x bxafbaxf x ),(),( lim 0 =（） （A）),(bafx； （B）0； （C）2),(bafx； （D） 2 1 ),(bafx。 2、设 2 y xz ，结论正确的是（） （A）0 22 xy z yx z ；（B）0 22 xy z yx z ； （C）0 22 xy z yx z ；（D）0 22 xy z yx z 。 3、若),(yxf为关于x的奇函数，积分域 D 关于y轴对称，对称部分记为 21,D D，),(yxf在 D 上连续，则 7 / 13 D dyxf),(（） （A）0； （B）2 1 ),( D dyxf； （C）4 1 ),( D dyxf； (D)2 2 ),( D dyxf。 4、设： 2222 Rzyx，则 dxdydzyx)( 22 =（） （A） 5 3 8 R；（B） 5 3 4 R；（C） 5 15 8 R；（D） 5 15 16 R。 5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线 L，在点),(yx处的线密度为),(yx，则曲线弧的重心的x坐标x 为（） （）x= L dsyxx M ),( 1 ； （B）x= L dxyxx M ),( 1 ； （C）x= L dsyxx),(；（D）x= L xds M 1 ,其中 M 为曲线弧的质量。 、设为柱面1 22 yx和1, 0, 0zyx在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分 ydxdzxxzdydzzdxdyy 22 （） （A）0；（B） 4 ；（C） 24 5 ；（D） 4 。 、方程)(2xfyy 的特解可设为（） （A）A，若1)(xf；（B） x Ae，若 x exf)(； （C）EDxCxBxAx 234 ，若xxxf2)( 2 ； （D）)5cos5sin(xBxAx，若xxf5sin)(。 、设 x x xf 01 0, 1 )(，则它的 Fourier 展开式中的 n a等于（） （A）) 1(1 2 n n ；（B）0；（C） n 1 ；（D） n 4 。 三、 （分）设ttxfy),(为由方程0),(tyxF确定的yx,的函数，其中Ff ,具有一阶连续偏导 数，求 dx dy 。 四、 （分）在椭圆44 22 yx上求一点，使其到直线0632 yx的距离最短。 五、 （分）求圆柱面yyx2 22 被锥面 22 yxz和平面0z割下部分的面积。 六、 （分）计算 xyzdxdyI，其中为球面1 222 zyx的0, 0yx部分 8 / 13 的外侧。 七、 （10 分）设x xd xdf 2 sin1 )(cos )(cos ，求)(xf。 八、 （10 分）将函数)1ln()( 32 xxxxf展开成x的幂级数。 高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案 一、1、当10 a时，10 22 yx；当1a时，1 22 yx； 2、负号；3、 2 3 ; 11 0 D ye ey dxdyd；4、dttt)()( 22 ； 5、180；6、Cx x y sin； 7、 xx eCeCxCxCy 2 4 2 321 2sin2cos ；8、1； 二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、 21 f yf x u ；)(xyxgx y u ； 2、)()(txftxf x u ；)()(txftxf t u ； 四、1、)1 ( 2 1 4 2 0 2 00 22 0 222 edyyedxedydyedx y y y x y ； 2、 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 1 3 2 2 3 3 14 2 r dzrdrddzrdrdI 柱面坐标 ； 五、令 2222 , yx x Q yx y P 则 x Q yx xy y P 222 22 )( ，)0 , 0(),(yx； 于是当 L 所围成的区域 D 中不含 O（0，0）时， x Q y P ,在 D 内连续。所以由 Green 公式得：I=0；当 L 所围成的区域 D 中含 O（0，0）时， x Q y P ,在 D 内除 O（0，0）外都连续，此时作曲线 l为 ) 10( 222 yx，逆时针方向，并假设 * D为 L及 l所围成区域，则 9 / 13 2)( 222* yxD llLllL dxdy y P x Q GreenI公式 六、由所给条件易得： 0)0( )0(1 )0(2 )0( 2 f f f f 又 x xfxxf xf x )()( lim)( 0 = x xf xfxf xfxf x )( )()(1 )()( lim 0 x fxf xfxf xf x )0()( )()(1 )(1 lim 2 0 )(1)0( 2 xff 即)0( )(1 )( 2 f xf xf cxfxf)0()(arctan即)0(tan)(cxfxf 又0)0(f即Zkkc,)0(tan()(xfxf 七、令tx 2，考虑级数 1 12 12 ) 1( n n n n t 2 12 32 12 32 limt n t n t n n n 当1 2 t即1t时，亦即31 x时所给级数绝对收敛； 当1t即3x或1x时，原级数发散； 当1t即1x时，级数 1 1 12 1 ) 1( n n n 收敛； 当1t即3x时，级数 1 12 1 ) 1( n n n 收敛； 级数的半径为 R=1，收敛区间为1，3。 10 / 13 高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案 一、1、1；2、-1/6； 3、 2 02/ 4 2 2 2/ ),(),( y yy dxyxfdydxyxfdy； 4、)0( 3 2 f ； 5、8；6、)(2zyx； 7、02 yyy；8、0； 二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C； 三、1、函数)ln( 22 zyxu在点 A（1，0，1）处可微，且 )1 , 0, 1( 22 1 zyx x u A 2/1； 0 1 )1 , 0, 1( 2222 zy y zyx y u A ； 2/1 1 )1 , 0, 1( 2222 zy z zyx z u A 而),1 , 2, 2( ABl所以) 3 1 , 3 2 , 3 2 ( l,故在 A 点沿ABl 方向导数为： A l u A x u cos+ A y u cos+ A z u cos . 2/1 3 1 2 1 ) 3 2 (0 3 2 2 1 2、由 0)24( 0) 1()4(2 2 yxxf xyyxxyf y x 得 D 内的驻点为),1 , 2( 0 M且4) 1 , 2(f， 又0)0 ,(, 0), 0(xfyf 而当0, 0, 6yxyx时，)60(122),( 23 xxxyxf 令0)122( 23 xx得4, 0 21 xx 于是相应2, 6 21 yy且.64)2 , 4(, 0)6 , 0(ff ),(yxf在 D 上的最大值为4) 1 , 2(f，最小值为.64)2 , 4(f 四、1、的联立不等式组为 yxz xy x 10 10 10 : 所以 1 0 1 0 1 0 3 )1 ( xyx zyx dz dydxI 11 / 13 x dy yx dx 1 0 2 1 0 4 1 )1 ( 1 2 1 1 0 16 5 2ln 2 1 ) 4 3 1 1 ( 2 1 dx x x 2、在柱面坐标系中 2 000 22 )()( th rdzrfzdrdtF t drrhrrhf 0 32 3 1 )(2 所以 3 1 )(2 32 thtthf dt dF 3 1 )(2 22 htfht 五、1、连接 OA，由Green公式得： OAOAL I OAOAL 0, 22 0)coscos( yaxyx xx Green dxdymyeye 公式 2 8 1 am 2、作辅助曲面 222 1: ayx az ，上侧，则由 Gauss 公式得： I+ 1 1 = 11 = azzyxayx dxdyadxdydzzyx 0, 2 222222 )(2 = a zyx azdxdydz 0 4 222 2 4 0 43 2 1 2aadzz a 六、由题意得：)()(2)(3 2 xxexx x 即 x xexxx 2 )(2)(3)( 特征方程023 2 rr，特征根2, 1 21 rr 对应齐次方程的通解为： xx ececy 2 21 又因为2是特征根。故其特解可设为： x eBAxxy 2* )( 12 / 13 代入方程并整理得：1, 2 1 BA 即 x exxy 2* )2( 2 1 故所求函数为： xxx exxececx 22 21 )2( 2 1 )( 高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案 一、1、 2222 zxzy xeye； 2、5； 3、 1 1 1 1 1 0 2 2 22 ),( x x yx dzzyxfdydx； 4、 3 25);0 , 0(af、；6、 RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P )(， Gauss公式；7、CBxAx 2 8、0P。 二、1、C；2、B；3、A ；4、C ；5、A ；6、D ；7、B ；8、B 三、由于dttxfdxtxfdy tx ),(),(，0