中科大2014年秋季力学期末试题及参考答案.pdf

2014年秋季2014年秋季 力学期末考试参考答案力学期末考试参考答案 一、重量P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定在同一墙 上求杆绳的张力（10分） 解：解：参考D点受力点，参考D点受力点， CEBE F FDC DC F FDB DB DD 上，求：杆AD、绳DB，DC的张力。（10分） 00; DCDBix DC CE F DB BE FF BE CE DB DC 则则FF F F P P DD 3分 BE=CE,DB=DC, ,则则：FDB=FDC 00; DADCDBi DO F DO F DO FF F FDA DA 3分 00; DADCDBiy DA F DC F DB FF ;520,320DADB3分 020; DADBiz P DA AO F DB EO FF ,745N 3 5 DA PF DADB FDB=FDC=289N。 理论 力学 4分 二、如图，一个长度为l质量为m的细杆可绕端点O的水平轴 转动从水平位置自由释放在竖直位置与物体M相碰物转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物 体与地面摩擦系数为，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s 后停止。求碰后杆质心C离地面的最大高度，并说明杆向左 或向右摆的条件。(15分) 解：自由下落过程，能量守恒O l,mC 解自由下落过程，能量守恒 2 1 2 1 2 1 Imglmgl 其中 2 3 1 mlI M 3 解得： l g3 1 3分 杆物相撞，角动量守恒 22 11 mllMml 21 33 mllMml 物体被撞后，动能被摩擦力消耗，能量守恒 3分 gsMMgs2 2 1 2 3分 代入上式，得到： ml gsM l g ml gsMm 23323lg3 2 sM lm 2 2 2 6 0时，杆往左摆；反之往右摆 3分 碰后，杆摆动，能量守恒 mghmglml 2 2 2 2 1 3 1 2 1 l l s m M l s m M h 2 2 36 1 3分 lmlm 三、一音叉以2.5 ms-1的速率接近墙壁，观察者在音叉后面 听到拍音的频率为3Hz如果音叉速率变为25 ms-1 问观察听到拍音的频率为3Hz。如果音叉速率变为25 m s，问观察 者听到的拍音频率为多少。已知声速为340 ms-1。(15分) 解设音频率为f解：设音叉频率为： 0 f 音叉发出声音到达墙壁，音叉是波源，墙壁是观察者， 所以墙壁收到的声音频率为所以墙壁收到的声音频率为： 01 1 ff 其中，u为波源相当于介质的速度，指 01 1 f V u f 向观察者；介质中的声音速度为V 墙壁反射声音，音叉接收声音产生拍音，墙壁是波源， 3分 墙壁反射声音，音叉接收声音产生拍音，墙壁是波源， 音叉是观察者，所以音叉收到的声音频率为： 1f u f 其中，u为观察者相当于介质的速度， 12 1f V f 其中， 为观察者相当于介质的速度， 指向波源；介质中的声音速度为V 所以产生拍音的频率为： 20 fff 3分 音叉以新速率运动，重复相同分析： 求解得到，音叉的频率为： Hzf204 0 3分 Hf V u fffff32 1 1 1 6分 Hzf V u V f V u ffff32 1 1 1 0 1 020 6分 四、在光滑的水平地面上，质量分别为2m和m的小球B和C 用根劲度系数为k的均匀轻质弹簧链接开始时B和C静止用一根劲度系数为k的均匀轻质弹簧链接，开始时B和C静止， 弹簧处于自由长度状态。如图所示，使B具有朝着C的初速度 0在BC弹簧系统质心系中B和C相对于质心是否做0，在B，C，弹簧系统质心系中，B和C相对于质心是否做 简谐振动？为什么？如果是在做简谐振动，请确定振动角频 率和B相对于质心振动的振幅。(15分) 解：设初始时系统质心速率为 有 2 )2(02mmmm 有 00 3 )2(02mmmm 则两球在质心系中的速率分别是： B0 1 3 0C0 2 3 0 两球在水平方向上都只受弹簧弹力作用因此它们水平方向 3分 两球在水平方向上都只受弹簧弹力作用，因此它们水平方向 受的力始终大小相等，方向相反，有： FF aB F 2m aC F m 由以上可得：C 2BaC2aB 可以推出 xC2xB3分 所以，当球B在质心系中偏离平衡位置 xB时，弹簧长度的 改变量为x xBxC3xB改变 BCB 则弹性力为 F kx 3kxB3分 对于球B，由牛顿第二定律，有 0 3 3 2 22 B B B B x kxd kx xd m0 2 32 22 BB x mdt kx dt m 因此球B在质心系中做简谐振动，角频率为 B 3k 3分B 2m 对于球C，由牛顿第二定律，有 3分 0 2 3 2 3 2 2 2 2 C C C C x m k dt xd kx dt xd m 此球 在质心系中做简谐振动角频率为 3k 因此球C在质心系中做简谐振动，角频率为 C 3k 2m B 3分 A设球B在质心系中做简谐振动的振幅为AB 1 3kA2 1 2m 1 2 设球B在质心系中做简谐振动的振幅为 根据机械能守恒，有： 2 3k A B 2 2m 3 0 A 02m 解得： A B 33k 解得： 5分 五、有一根1.5m的质量可以忽略的细绳，横截面为2.4 mm2。五、有根的质量可以忽略的细绳，横截面为。 如果将细绳垂直悬挂，下端挂一个10kg的重物，那么细绳伸长 0.32mm。请计算绳子上端上受到的应力、应变和细绳的杨氏 模量如果细绳的质量为且密度均匀分布那么杨氏模模量。如果细绳的质量为1.5kg且密度均匀分布，那么杨氏模 量不变的情况下，细绳的伸长为多少？(15分) 解：绳子上受到的应力为： 27 2 1014 8 . 910 N smkgMgF 3分 27 2 101 . 4 4 . 2 mN mm g S g S 绳子的应变为： 4 1012 32. 0mmL 3分 3分 绳子的应变为 4 101 . 2 5 . 1 32. 0 m mm L L 3分 绳子的杨氏模量为 211 10911NY 3分 绳子的杨氏模量为： 211 1091. 1 mNY 3分 51 k 绳子的线密度为： 1 1 5 . 1 5 . 1 mkg m kg L m x处绳子上受到的应力为： xLgMg 0 S x处的dx绳子的伸长量为： xLgMgdl x YSYdx 对x从0到L积分可以得到总的伸长量 M L 对x从0到L积分，可以得到总的伸长量： gLMgL dx xLgMg dll L 2 M mmmmmm YSYS dx YS dll 344. 0024. 032. 0 2 0 6分 六、高铁站台上有黄色警戒线，用于提醒乘客不要太靠近高 铁。请分析原因。 (10分) 解伯努利方程气流速度快的侧低在高铁解：根据伯努利方程，气流速度快的一侧压强低，在高铁经 过乘客时，使得乘客靠近高铁的一侧压强降低，乘客两侧 的压强差导致乘客被推向高铁很危险10分的压强差导致乘客被推向高铁，很危险。10分 七、坐标系相对坐标系K以一定速度运动。当两个坐标系 的原点相遇时两个坐标系上的时钟设为0在K系事件1 K 的原点相遇时，两个坐标系上的时钟设为0。在K系，事件1、 2发生的时空坐标分别为：，ytycxyt50. 0;0 . 1,00. 1 211 ycx0 . 2 2 在系中事件12是同时发生的 K ycx0 . 2 2 请计算：（1）系相对于K系的速度。（2）系什么时刻， 两个事件同时发生？(10分) 。在系中，事件1、2是同时发生的。K K K 解：（1）设在系中，事件1、2发生在同一时刻： () K 21 tt 代入洛伦兹变换得到：代入洛伦兹变换，得到： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 t x c tx c t t 22 11 cc 求得：c5 . 0 即坐标系相对坐标系K以0 5c的速度沿-x方向运动 K 5分 （2）得到： 即坐标系相对坐标系K以0.5c的速度沿x方向运动。K y x c t tt713 1 2 1 分 （ ）得到 y c tt7 . 13 1 2 2 21 5分 八、飞船上有一个观察者A，用一把激光枪对如图放置在飞 船上一面镜子的发射激光枪与镜子的距离为D=15光分飞船上面镜子的发射激光，枪与镜子的距离为D=15光分，飞 船相对于坐标系S是静止的，并且相对于S系中静止的一个很 长的平台运动，S、S相对运动的速率为。平台上 c80. 0 动，动为 有2个校准的钟，一个位于平台x1处，另一个位于平台x2 。当 发射激光时，激光枪经过x1正上方，当激光从镜子返回激光 枪时激光枪经过 的正上方请在SS系中求（1）枪时，激光枪经过x2的正上方。请在S、S系中，求：（1） 两个事件的时间间隔（发射激光和收到激光这两个事件）； （2）在S系中之间xx相距多远(15分) 镜子镜子 （2）在S系中之间，x1 、x2相距多远。 (15分) D S系 D S系 系 x1 S系 x2 v x1 S系 x2 v 解：（1）发射时， 0 1 t S系中时空坐标为： 0 1 t 发射时，两个 ? , 0 2 1 t x ? , 0 2 1 t x 发射时，两个 坐标系原点都 位于x1处，且 对钟清零 ? 2 2 x ? 2 2 x 对钟清零 接收时S系中激光发射再返回共行走了2个15光分共用接收时，S系中，激光发射再返回共行走了2个15光分，共用 时30分钟，此时飞船的钟到了x2处，所以。0min,30 22 xt S系中这一过程共用时t对应的： txtt 22 , S系中时空坐标为：S系中时