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大学物理（上）大学物理（上） 总复习总复习 第一部分第一部分第一部分第一部分第一部分第一部分 力学力学力学力学 质点运动学质点运动学 质点运动质点运动 的类型的类型 描述质点运动描述质点运动 的物理量的物理量 运动描述的相对性运动描述的相对性 vvv 线量线量角量角量 的类型的类型的物理量的物理量 BCCABA vvv 对对对对对对 +=+= 已知已知：质点运动学方质点运动学方。)()(ttrr =、 vv 位 矢位 矢 线量线量角量角量 角位置角位置 ,rav vvv 已知已知：质点运动学方质点运动学方。 求：及轨迹方程等。 解法：求导。 求：及轨迹方程等。 解法：求导。 )()( 、 d v2 dd vv d d 速速 度度 位 移位 移角位移角位移 角速度角速度 t r v d d v v = = 2 2 d d d d t r t v a v = td d = = td d = = 已知已知：及初值条件及初值条件。 、a v 速速 度度 加速度加速度 角速度角速度 角加速度角加速度 已知已知：及初值条件及初值条件。 求： 解法：积分。 求： 解法：积分。 、a 等等。、)(trv vv +=+= 2 1 d)( 0 t t ttavv vvv +=+= 2 1 d)( 0 t t ttvrr vvv + += = 2 d)( t tt + + 2 d)( t tt + += = 1 d)( 0 t tt + += = 1 d)( 0 t tt 一般曲线运动的描述一般曲线运动的描述 角量描述角量描述角量描述角量描述 )(t = = 12 = td d = = td d = = 切向与法向加速度切向与法向加速度 v a d = v 2 v 角量与线量的关系角量与线量的关系 t a t d = R a n = = tn aaa n=+ R v a R v RaRv tn = d d 2 2 角量与线量的关系角量与线量的关系 tR tn d 质点动力学质点动力学 牛顿运动定律牛顿运动定律 牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第三定律牛顿第三定律 力的瞬时效应力的瞬时效应 冲量冲量 力对空间的积累力对空间的积累力对时间的积累力对时间的积累 角冲量角冲量 功功 冲量冲量 动动 动动 动量动量 角冲量角冲量 角角 角动角动 功功 功功机械机械 力力 力 矩力 矩 am t p F v v v = d d 动动 能 定 能 定 理理 动动 量 定 量 定 理理 动量动量 守恒守恒 定律定律 动 量 动 量 定定 角动角动 量守 恒定 量守 恒定 律律 功功 能 原 能 原 理理 机械机械 能守 恒定 能守 恒定 律律 t L FrM d d v v v v = 理理 理理 定律定律 定定 理理 律律理理律律 td 质点系质点系质点质点 质点系质点系质点质点 质点及质点系动力学质点及质点系动力学1 t 动量定理动量定理 PtFI t t vvv = 2 1 d = = 2 d t tML vv 角动量定理角动量定理 基基 本本 = = 1 d t tML =AE k 角动量定理角动量定理 动能定理动能定理 本本 原原 理理 非保内外非保内外 AAE+=+=功能原理功能原理 理理 质点及质点系动力学质点及质点系动力学2 条条件件内内容容 守守 恒恒 动量守恒：动量守恒：0 vv = = 合外合外 F 恒矢量=恒矢量=P v 条条件件内内容容 恒恒 定定 律律 角动量守恒：角动量守恒： 恒矢量恒矢量L v 0 vv = = 外外 M 0=+=+ 内非保内非保外外 AA量量恒恒= =E机械能守恒机械能守恒：律律 内非保内非保外外 量量恒恒机械能守恒机械能守恒： 质点运动学质点运动学平动平动 刚刚 动力学动力学 刚刚 体 力 体 力 学学 动力学动力学 瞬时效应瞬时效应力矩力矩定轴转动定律定轴转动定律 学学 瞬时效应瞬时效应 时间积时间积 角冲量角冲量 力矩力矩定轴转动定律定轴转动定律 角动量定理角动量定理 刚体定刚体定 轴转动轴转动 时间积时间积 累效应累效应 角冲量角冲量 角动量守恒 定律 角动量守恒 定律 轴转动轴转动 空间积 累效应 空间积 累效应 力矩的功力矩的功动能定理动能定理 角量描述角量描述运动学运动学 刚体定轴转动运动学刚体定轴转动运动学 角量描述角量描述)(t = = 12 = td d = = td d = = vd 角量与线量的关系角量与线量的关系 tdtd R t v aRv t = d d 匀变速圆周运动匀变速圆周运动 常量常量= = 2 0 1 tt t + += = +=+= 常量常量= = 0 2 tt + += = 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学 JM = = 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 刚体定轴转动角动量原理刚体定轴转动角动量原理 t L M z z d d = = = 2 1 d 1122 t t zzzz tMJJL 刚体定轴转动角动量守恒定律刚体定轴转动角动量守恒定律 常量常量。，则则若若 JLM0常量常量。，则则若若= JLM zz 0 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 2 0 2 2 1 2 1 dJJEMA k = 解题指导解导 1、动力学部分习题一般分为1、动力学部分习题一般分为四大类四大类： 第一类是牛顿第二定律的应用第一类是牛顿第二定律的应用，主要是求解质点系中任一主要是求解质点系中任一 第一类是牛顿第二定律的应用第一类是牛顿第二定律的应用，主要是求解质点系中任一主要是求解质点系中任一 个质点所受的力和加速度个质点所受的力和加速度 第二类问题是冲量和动量关系式的应用第二类问题是冲量和动量关系式的应用，主要用来求解质 点系中任一个质点的速度、位移、冲量、动量增量。 ，主要用来求解质 点系中任一个质点的速度、位移、冲量、动量增量。 第三类是功能关系式的应用第三类是功能关系式的应用，主要用来求解质点系中任一，主要用来求解质点系中任一 质点的速率质点的速率、外力对质点系所作的功外力对质点系所作的功、非保守内力对质点非保守内力对质点质点的速率质点的速率、外力对质点系所作的功外力对质点系所作的功、非保守内力对质点非保守内力对质点 系的功、质点系势能表达式中的未知量等。系的功、质点系势能表达式中的未知量等。 第四类是角动量分量守恒定律的应用第四类是角动量分量守恒定律的应用。主要求质点系中任主要求质点系中任 第四类是角动量分量守恒定律的应用第四类是角动量分量守恒定律的应用。主要求质点系中任主要求质点系中任 一质点的速度。一质点的速度。 第一类是牛顿第二定律的应用第一类是牛顿第二定律的应用其解题步骤为其解题步骤为：第一类是牛顿第二定律的应用第一类是牛顿第二定律的应用其解题步骤为其解题步骤为： (1)隔离物体，使每个隔离物体可以视为质点。(1)隔离物体，使每个隔离物体可以视为质点。 ( (2 2) )受力分析受力分析。 ( (2 2) )受力分析受力分析。 (3)选择坐标系。(3)选择坐标系。 (4)列运动方程，求解。(4)列运动方程，求解。 第二类问题是冲量和动量关系式的应用第二类问题是冲量和动量关系式的应用解题步骤是解题步骤是： 第二类问题是冲量和动量关系式的应用第二类问题是冲量和动量关系式的应用解题步骤是解题步骤是： (1)选择所研究的质点系。(1)选择所研究的质点系。 (2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。(2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。 ( (3 3) )根据过程中外力和所满足的条件确定所用的冲量和动根据过程中外力和所满足的条件确定所用的冲量和动( (3 3) )根据过程中外力和所满足的条件确定所用的冲量和动根据过程中外力和所满足的条件确定所用的冲量和动 量关系式。量关系式。 ( (4 4) )列方程列方程，求解求解。 ( (4 4) )列方程列方程，求解求解。 第三类是功能关系式的应用第三类是功能关系式的应用具体的解题步骤为：具体的解题步骤为： ( (1 1) )选择所研究的质点系选择所研究的质点系。 ( (1 1) )选择所研究的质点系选择所研究的质点系。 (2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。(2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。 (3)根据过程中外力的功和非保守内力的功代数和所服从的 条件确定所用的功能关系式。 (3)根据过程中外力的功和非保守内力的功代数和所服从的 条件确定所用的功能关系式。 (4)列方程，求解。(4)列方程，求解。 第四类是角动量分量守恒定律的应用第四类是角动量分量守恒定律的应用具体的求解方法是：具体的求解方法是： (1) 、（2）同上。(1) 、（2）同上。 ( (3 3) )判断过程中对某点判断过程中对某点（或某轴或某轴）合外力矩是否为零合外力矩是否为零，或者或者( (3 3) )判断过程中对某点判断过程中对某点（或某轴或某轴）合外力矩是否为零合外力矩是否为零，或者或者 角动量守恒条件是否成立。角动量守恒条件是否成立。 ( (4 4) )若守恒条件成立若守恒条件成立，确定正方向确定正方向，列方程列方程，求解求解( (4 4) )若守恒条件成立若守恒条件成立，确定正方向确定正方向，列方程列方程，求解求解 分解综合法：对于较为复杂问题，不是只用一个定理、定律分解综合法：对于较为复杂问题，不是只用一个定理、定律 就能解决就能解决，要将整个过程分解成几个子过程要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程对每一子过程就能解决就能解决，要将整个过程分解成几个子过程要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程对每一子过程 应用上述方法。应用上述方法。 2、刚体的静力学问题2、刚体的静力学问题 = = 0 i F v 刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件 刚体受合外力等于零 刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件 刚体受合外力等于零 = = 0 i M v 整个刚体受合外力矩等于零整个刚体受合外力矩等于零 3、定轴转动的动力学问题3、定轴转动的动力学问题 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。 其解题基本步骤归纳为其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩首先分析各物体所受力和力矩其解题基本步骤归纳为其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩首先分析各物体所受力和力矩 情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规 律律，最后列方程求解最后列方程求解。律律，最后列方程求解最后列方程求解。 第一类：第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度求刚体转动某瞬间的角加速度，一般，一般应用应用应用应用转动转动转动转动 定律定律定律定律求解求解求解求解。如质点和刚体组成的系统如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运对质点列牛顿运定律定律定律定律求解求解求解求解。如质点和刚体组成的系统如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运对质点列牛顿运 动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关 联方程联方程，并联立求解并联立求解。联方程联方程，并联立求解并联立求解。 第二类：第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它们选作一。把它们选作一 个系统时个系统时，系统所受合外力矩常常等于零系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动所以系统角动个系统时个系统时，系统所受合外力矩常常等于零系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动所以系统角动 量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项 的正负。对的正负。对在有心力场作用下绕在有心力场作用下绕力心转动力心转动的质点问题的质点问题，可 直接 ，可 直接用用用用角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律。 第三类：第三类：在刚体所受的在刚体所受的合外力矩不等于零时合外力矩不等于零时，比如木杆摆，比如木杆摆 动动，受重力矩作用受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动求最大摆角等一般应用刚体的转动动动动动动动，受重力矩作用受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动求最大摆角等一般应用刚体的转动动动动动 能定理能定理能定理能定理求解求解求解求解。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也 可用可用机械能守恒定律机械能守恒定律求解求解。可用可用机械能守恒定律机械能守恒定律求解求解。 ?另外：另外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶 段进行分析段进行分析，分别列出方程分别列出方程，进行求解进行求解。段进行分析段进行分析，分别列出方程分别列出方程，进行求解进行求解。 r v 注意区分：注意区分： 与与 1 r v o 、 r rr与| v rr v与 2 r v o t aa v 与 t aa v 与 1、 t 与 t v t v a d d | d d | vr v = t t v a d d v v = t v a t d d = ttddtdtd 例：质点在运动过程中：例：质点在运动过程中： y 1）是否变化？1）是否变化？ t v d d vd v 0 v v 变化变化 不变不变 2）是否变化？2）是否变化？ t v d d o x 3 3）的运动是什么运动的运动是什么运动？ 0| d | v v 不变不变 匀速直线运动匀速直线运动 3 3）的运动是什么运动的运动是什么运动？ 的运动是什么运动？的运动是什么运动？ 0| d |= t 0 d = v v 匀速直线运动匀速直线运动 匀速率运动匀速率运动 d t 匀速率运动匀速率运动 2、质点的动量与动能质点的动量与动能： h h 动量不同动量不同；动能相同动能相同。 3、质点的动量与角动量质点的动量与角动量： 动量不同动量不同；动能相同动能相同。 作匀速直线运动的质点角动量是否一定为零？一定守恒？ 作匀速圆周运动的质点角动量是否一定守恒？ 作匀速直线运动的质点角动量是否一定为零？一定守恒？ 作匀速圆周运动的质点角动量是否一定守恒？ 若把电子视为经典粒子，电子绕核作圆周运动时，电子的 若把电子视为经典粒子，电子绕核作圆周运动时，电子的 不一定为零；一定守恒； 只对圆心角动量守恒。不一定为零；一定守恒； 只对圆心角动量守恒。 动量是否守恒？对圆心的角动量是否守恒？动量是否守恒？对圆心的角动量是否守恒？ 动量不守恒；对圆心的角动量守恒。动量不守恒；对圆心的角动量守恒。 例光滑水平桌面上有质量为的三角状物体，其左侧面例光滑水平桌面上有质量为的三角状物体，其左侧面 的坡度为的坡度为，上面压着质量为上面压着质量为、表面光滑的物块表面光滑的物块；右侧右侧 1 m m m的坡度为的坡度为，上面压着质量为上面压着质量为、表面光滑的物块表面光滑的物块；右侧右侧 与水平的轻绳相连，该绳在粗糙的圆弧面（大于半圆）上，与水平的轻绳相连，该绳在粗糙的圆弧面（大于半圆）上， 右端吊着质量为右端吊着质量为的滑轮的滑轮，绳与弧面之间的摩擦系数为绳与弧面之间的摩擦系数为； 2 m 1 m 3 m 右端吊着质量为右端吊着质量为的滑轮的滑轮，绳与弧面之间的摩擦系数为绳与弧面之间的摩擦系数为； 滑轮上也跨有一轻绳，该绳的两端分别吊着质量为和 的物体，绳与滑轮的边缘之间无摩擦。试问：水平绳中的张 滑轮上也跨有一轻绳，该绳的两端分别吊着质量为和 的物体，绳与滑轮的边缘之间无摩擦。试问：水平绳中的张 力和桌面向力和桌面向提供的支持力分别为多少提供的支持力分别为多少？ 3 4 m 5 m 力和桌面向力和桌面向提供的支持力分别为多少提供的支持力分别为多少？1 m 2 m 1 m 3 m 17 4 m 5 m 系统系统1：建立如图坐标系建立如图坐标系 2 m 12 N r F r 系统系统1： y m1的运动方程：的运动方程： iTN+ 建立如图坐标系建立如图坐标系 2 m 1 m 2 m g r 1 T r y 1 1112 sin x m aTN=+ 1 1121 cos y m aFNm g= 的运动方程的运动方程： 1 m 1 T r 2g 21 N r 1 m g r Ox m2的运动方程的运动方程： 2212 sin x m aN= 22122 cosm aNm g= 22122 cos y m aNm g m1受到水平桌面的约束，在竖直方向上无运动，约束方程为：受到水平桌面的约束，在竖直方向上无运动，约束方程为： 1 0v= 1 0 y a= 1 0 y v 1y m2受到受到m1的约束，约束方程为：的约束，约束方程为： 21yy vv 21yy aa 21 21 tan yy xx vv = 21 21 tan yy xx aa = 18 m N r F r sinm aTN=+ 1 m 2 m 12 N F y 1 1112 sin x m aTN=+ 1 1121 cos y m aFNm g= 1 2 m g r N r 1 T r 2212 sin x m aN= 22122 cosm aNm g= 21 N 1 m g r Ox 22122 cos y m aNm g 1 0 y a= 21 21 tan yy aa aa = 由以上六式可得：由以上六式可得： 2 iF（ ） 21xx aa 2 1221 cossincos x Fm gm gm a=+ 2 12121 sincos(sin) x Tm gmm ga= + （1） （2） 19 12121 () x gg （2） TdT+ rr N r f r 系统系统2 在绳上取一任意的线元在绳上取一任意的线元，使之对应使之对应 d N f 在绳上取一任意的线元在绳上取一任意的线元，使之对应使之对应 于，受力分析如图所示。于，受力分析如图所示。d+ 径向运动方程：径向运动方程： d T r sin()sin0 22 dd NTTdT += 横向运动方程横向运动方程：横向运动方程横向运动方程： ()coscos0 22 dd TdTTf += 22 忽略高阶无限小量，得：忽略高阶无限小量，得： 0NTd0dTffN0NTd=0dTf=fN= 以上三式联立得：以上三式联立得： 0 dT d = T 利用初始条件，积分得：利用初始条件，积分得： 1 TTe = 20 所以所以 2 21 TTe = （3） 2 T r 系统系统3 3 m 受力分析如图，并建立如图坐标系。受力分析如图，并建立如图坐标系。 3323 m aTTTm g = T T 3 m g r y 3323y m aTTTm g 444y m aTm g= 4 m T rO 555y m aTm g= 由于绳与动滑轮之间无摩擦由于绳与动滑轮之间无摩擦，有有 5 m 4 m g r 5 m g r O 由于绳与动滑轮之间无摩擦由于绳与动滑轮之间无摩擦，有有 TT= 由相对运动可知：由相对运动可知： 4353 () yyyy aaaa= 由以上五式可得由以上五式可得：由以上五式可得由以上五式可得： 45 32y mm aTg m mm mm m + = + （4） 21 343545 m mm mm m+ 2 1221 cossincos x Fm gm gm a=+（1） 1221x gg 2 12121 sincos(sin) x Tm gmm ga= + （ ） （2） 2 21 TTe= （3） 45 32 mm aTg + =（4） 最后，最后，m1 1和和m3 3是通过一根不可伸长的绳子相互制约，因而有：是通过一根不可伸长的绳子相互制约，因而有： 32 343545 4 y aTg m mm mm m+ （4） 13xy aa= （5） 由（1）（5）联立可得： ） 由（1）（5）联立可得： ()() () 1 2 45122 2 1122 343545 sin 1sinsincos 4 mmmm Temmgm g m mm mm m + =+ + 343545 2 45 2 1221 cossincos 4 mm Fm gm gmgTe + =+ + 22 343545 4m mm mm m + 例例 质量为质量为M，长为，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平 轴轴O无摩擦地转动。现有一质量为无摩擦地转动。现有一质量为m 的子弹以速度水平射 入 杆中。 求：子弹与杆一起运动时的角速度 的子弹以速度水平射 入 杆中。 求：子弹与杆一起运动时的角速度及转过的最大角度及转过的最大角度？ v v o v v m 解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。 在在碰碰 撞过程中撞过程中，合外力不为零合外力不为零，而合外力矩而合外力矩 N v o 在在碰碰 撞过程中撞过程中，合外力不为零合外力不为零，而合外力矩而合外力矩 为零。系统相对于为零。系统相对于O 轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。 F v v v m Jlvmmvl+= lv=gM v vlv= 第二阶段第二阶段：系统绕系统绕 O 轴转动过程中轴转动过程中，合外力不为零合外力不为零，且且 gM 第二阶段第二阶段：系统绕系统绕轴转动过程中轴转动过程中，合外力不为零合外力不为零，且且 合外力矩也不为零，但只有重力作功，则系统的机械能 守恒。 合外力矩也不为零，但只有重力作功，则系统的机械能 守恒。 )cos1 ()cos1 ( 2 )( 2 1 2 1 22 +=+mgl l MglmJ 222 解得： 子弹与杆一起运动时的角速度 解得： 子弹与杆一起运动时的角速度： lMm mv l M mv )3( 3 )( + = lMm l M m )3( ) 3 ( + + 子弹随杆转过的最大角度子弹随杆转过的最大角度：子弹随杆转过的最大角度子弹随杆转过的最大角度： 22 + = glMm M m vm )2)( 3 ( 1cos 22 1 g)( 3 ( 讨论讨论：当系统的合外力不为零时当系统的合外力不为零时，该系统的合外力矩却可以该系统的合外力矩却可以讨论讨论：当系统的合外力不为零时当系统的合外力不为零时，该系统的合外力矩却可以该系统的合外力矩却可以 为零，即系统的动量不守恒。而系统的角动量守恒。为零，即系统的动量不守恒。而系统的角动量守恒。 例例 一长为一长为l、重、重W的均匀梯子，靠墙放置如图，梯子下端连一的均匀梯子，靠墙放置如图，梯子下端连一 倔强系数为倔强系数为 k 的弹簧的弹簧。当梯子靠墙竖直放置时当梯子靠墙竖直放置时，弹簧处于自然弹簧处于自然倔强系数为倔强系数为 k 的弹簧的弹簧。当梯子靠墙竖直放置时当梯子靠墙竖直放置时，弹簧处于自然弹簧处于自然 长度，墙和地面都是长度，墙和地面都是光滑光滑的。当梯子依墙而与地面成的。当梯子依墙而与地面成角且处 于平衡状态时， 角且处 于平衡状态时， BN (1)地面对梯子的作用力大小为地面对梯子的作用力大小为。 (2)墙对梯子的作用力大小为墙对梯子的作用力大小为。 (3)W、k、l、满足的关系式满足的关系式。 BNB cos kl W sin2 klW (3)W、k、l、满足的关系式满足的关系式。 解解： 刚体平衡的条件刚体平衡的条件 l sin2 klW = = 解解： 刚体平衡的条件刚体平衡的条件 l 0= = i i F v 0= = M vW NA WN A = = fN coskl A 0= = i i M f fN B = = coskl= = 1 0cossincos 2 1 =+=+ lNlflW A sin2 klW = =sin2 klW 例例 质量为质量为m m的小圆环套在一长为的小圆环套在一长为 质量为质量为例例 质量为质量为m m的小圆环套在一长为的小圆环套在一长为 质量为质量为M M M M的光滑均匀杆的光滑均匀杆ABAB上上, ,的光滑均匀杆的光滑均匀杆ABAB上上, , 杆可以绕过其杆可以绕过其杆可以绕过其杆可以绕过其A A A A端的固定轴在水平面上自由旋转端的固定轴在水平面上自由旋转端的固定轴在水平面上自由旋转端的固定轴在水平面上自由旋转。开始时杆旋转开始时杆旋转开始时杆旋转开始时杆旋转 l 杆可以绕过其杆可以绕过其杆可以绕过其杆可以绕过其A A A A端的固定轴在水平面上自由旋转端的固定轴在水平面上自由旋转端的固定轴在水平面上自由旋转端的固定轴在水平面上自由旋转。开始时杆旋转开始时杆旋转开始时杆旋转开始时杆旋转 的角速度为的角速度为的角速度为的角速度为0 0 0 0而小环位于而小环位于A A处处，当小环受到一微小扰动后当小环受到一微小扰动后，即即而小环位于而小环位于A A处处，当小环受到一微小扰动后当小环受到一微小扰动后，即即 沿杆向外滑行沿杆向外滑行沿杆向外滑行沿杆向外滑行，求求：小环脱离杆时环的速度大小和方向小环脱离杆时环的速度大小和方向求求：小环脱离杆时环的速度大小和方向小环脱离杆时环的速度大小和方向？ l v r 沿杆向外滑行沿杆向外滑行沿杆向外滑行沿杆向外滑行，求求：小环脱离杆时环的速度大小和方向小环脱离杆时环的速度大小和方向求求：小环脱离杆时环的速度大小和方向小环脱离杆时环的速度大小和方向？ A Ml 分析：对于环和杆所组成的系统，仅受到重力和轴力的作分析：对于环和杆所组成的系统，仅受到重力和轴力的作 用用，所以系统对所以系统对A A点的角动量守恒点的角动量守恒。而且这些外力不做功而且这些外力不做功，用用，所以系统对所以系统对A A点的角动量守恒点的角动量守恒。而且这些外力不做功而且这些外力不做功， 所以系统的机械能守恒。由这两个定律就可以求出杆的旋 转角速度和环的运动速度。 所以系统的机械能守恒。由这两个定律就可以求出杆的旋 转角速度和环的运动速度。 解：解：角动量守恒，角动量守恒，机械能守恒守恒解：解：角动量守恒，角动量守恒，机械能守恒守恒。+相对运动相对运动 00 JJ= 222 00 111 JJmv=+ 22 000 2 0 2 111 () 1 Jmv JMlJ=+= 00 222 JJmv+ lv = 注意注意！ 0000 () 2223 Jmv JMlJ+ lv lv = =sin 注意注意！ 小环脱离杆时的速度是由环沿杆的速度和小环脱离杆时的速度是由环沿杆的速度和 杆旋转时环沿圆周运动的切向速度合成的杆旋转时环沿圆周运动的切向速度合成的 v r 牵牵 v 杆旋转时环沿圆周运动的切向速度合成的杆旋转时环沿圆周运动的切向速度合成的 结果，所以环脱离杆的速度与杆之间有一 个夹角。 结果，所以环脱离杆的速度与杆之间有一 个夹角。 2 0 1 3 JM l= v 相对相对 v 22 3 1 3 JM lm l=+ 3 先得到的表达式：先得到的表达式： 0 3 M Mm = + 进而得到：进而得到： 222 ()Mll 00 () (23 ) 33 Mll vMMm mMm =+ + 所以，所以，v的方向与杆的夹角为：的方向与杆的夹角为： lM sinarcsin (23) lM arc vMMm = + 第二部分第二部分第二部分第二部分第二部分第二部分 电磁学电磁学电磁学电磁学 电荷电荷 运动状态运动状态 稳恒电流稳恒电流电荷电荷 运动状态运动状态 稳恒电流稳恒电流 稳恒磁场稳恒磁场 对电流的作用对电流的作用 物质磁性物质磁性 静静止止 稳恒磁场稳恒磁场物质磁性物质磁性 止止状状态态 静静电电 导导体体 静电场静电场 电电场中场中的的 体体与介与介质质 电磁感应电磁感应 感应磁场感应磁场位移电流位移电流 的的 质质 动生电动势动生电动势 感生电动势感生电动势 感生电场感生电场 感生电动势感生电动势 感生电场感生电场 电磁场电磁场电磁场电磁场 电磁波电磁波电磁波电磁波 电荷电荷电荷守恒定律电荷守恒定律电场电场 库仑定律库仑定律 电场力做功电场力做功 12 2 0 1 4 r q q Fe r = rd b ab a AqEl= vv 带电粒子在电场中的运动带电粒子在电场中的运动电场力电场力 环路定理环路定理 0 4r Fq E= vv () kb Eq UU= d0El= vv 电场电场 强度强度 E和U的关系E和U的关系 电势能电势能 电势电势 0 Fq E= () kab Eq UU F E = v v v “0“ p d a a E UEl= vv “0“ p0 d a a EqEl= vv 强度强度 电势电势 电势差电势差 0 q EU= 0 a a q d b ab a UUEl= vv 电场线（电场形象表示）电场线（电场形象表示） 电通量电通量 等势面（电势形象表示）等势面（电势形象表示） d= rv ES 正交正交 电通量电通量 高斯定理高斯定理 静电场性质：静电场性质： 有源有源、保守场保守场 d= e S ES 1 dd SV ESV = vv 高斯定理高斯定理 有源有源、保守场保守场 0 SV 静电场静电场 电容电容 导体导体 电介质电介质 电容电容 电介质极化电介质极化 导体静电平衡条件导体静电平衡条件 电介质中场强电介质中场强 孤立导孤立导 体电容体电容 介质电容介质电容 器电容器电容 电位移电位移 E内 内=0 E 表面表面 静电平衡性质静电平衡性质 电介质中场强电介质中场强 体电容体电容器电容器电容 电位移电位移 E 表面表面 Q C U = 00 0 CC Q C U = = 0 EE E =+ rrr Q C U = 静电平衡性质静电平衡性质 等势体 表面 等势体 表面E= /0 电荷分布在表面上电荷分布在表面上 储能公式储能公式 介质中静电场的高斯定理介质中静电场的高斯定理 0 U 2 2 Q W C = dd SV DSV= rv 电荷分布在表面上电荷分布在表面上 与表面曲率有关与表面曲率有关 电场能量密度电场能量密度 2 1 2 wE= SV 电场能量电场能量 2 V WwdV= V 稳恒电流稳恒电流 稳恒磁场稳恒磁场 电流激发磁场的基 本规律 （1）毕-萨-拉定律 电流激发磁场的基 本规律 （1）毕-萨-拉定律 描述磁场性质的基本定律描述磁场性质的基本定律磁场的描述磁场的描述 磁场的高斯磁场的高斯磁场的安培磁场的安培 （2）磁场叠加原理（2）磁场叠加原理 磁感应线磁感应线磁感应强度磁感应强度 磁场的高斯磁场的高斯 定理定理 磁场的安培磁场的安培 环路定理环路定理 r B 0 2 4 = r r Idlr dB r d0 S BS= rv 0 d i i BlI= rv 磁场的性质：无源涡旋场磁场的性质：无源涡旋场 磁通量磁通量 几种典型电流的磁场几种典型电流的磁场 d rr BS 几种典型电流的磁场几种典型电流的磁场 无限长直电流的磁场：无限长直电流的磁场： 圆形电流中心的磁场圆形电流中心的磁场： d= m S BS 2 = I B x = I B 圆形电流中心的磁场圆形电流中心的磁场： 载流长螺线管轴线上的磁场：载流长螺线管轴线上的磁场： 2R r B 磁场磁场 对电流的元的作用（安培力）对电流的元的作用（安培力）对运动电荷的作用（洛伦兹力）对运动电荷的作用（洛伦兹力） dFIdlB= rrr fqvB= rr r 对载流线圈的作用对载流线圈的作用 带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动 对载流导线的作用对载流导线的作用 匀速直线运动 匀速圆周运动 匀速直线运动 匀速圆周运动 与与成成角角螺旋线运动螺旋线运动 L FdF= rr m MPB= rrr 0 /vB r r 0 vB r r v r B r 与与成成角角螺旋线运动螺旋线运动 0 vB 磁 介 磁 介 抗磁质抗磁质1 r 略 分分 类类 磁介质的磁化磁介质的磁化 磁场强度磁场强度 铁磁质铁磁质 1 r 磁介质中的磁场磁介质中的磁场 磁场强度磁场强度 0 BB B =+ rrr B H = r r 介质中安培环路定理介质中安培环路定理 rv d i L i HlI= 电磁感应现象电磁感应现象 楞次定律楞次定律法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 m d dt = 自感自感 L dI L= 感生电动势感生电动势 自感自感 自感系数自感系数 L L dt m N L I = dI 动生电动势动生电动势 感生电场感生电场 互感互感 1 21 dI M dt = 2 12 dI M dt = d m L d El dt = rv () d L vBl= vv v 互感系数互感系数 关于电磁场理论的基本概念关于电磁场理论的基本概念： dt 22111 2 12 NN M II = dt 通电线圈的磁场能量通电线圈的磁场能量 关于电磁场理论的基本概念关于电磁场理论的基本概念： （1）变化的磁场产生电场； （2）变化的电场产生磁场 （1）变化的磁场产生电场； （2）变化的电场产生磁场 2 1 2 m WL I= 磁能密度磁能密度 2 11 22 m B wB H = 电磁波电磁波 22 第第4 4、5 5章章： 1 1）的计算的计算 E v 叠加法叠加法 高斯定理高斯定理（三种对称情况三种对称情况） EEq vv dd（分量积分）（分量积分） 第第 、 章章 1 1）的计算的计算 E高斯定理高斯定理 （三种对称情况三种对称情况） 电势梯度电势梯度UE= = v r 2） U 的计算的计算 叠加法叠加法 UUqdd 零零零 d= rv e S ES 2） U 的计算的计算 场强积分场强积分 = 零 P P lEU vv d 零势点选取零势点选取；分段积分分段积分零势点选取零势点选取；分段积分分段积分 3） C 的计算的计算 CUEq v Q 2 4） We的计算的计算UQ C Q UCWe= 2 1 2 2 1 2 2 1 dWED V= d 2 e V WED V= 第第6 67 7章章： 叠加法叠加法 vvr 第第6 6、7 7章章： ）的计算的计算 v 叠加法叠加法 BBI vv dd BBl vvr dId 1）的计算的计算B 安培环路定理安培环路定理（ （对称性对称性） 2 ddqI = = 安培环路定理安培环路定理（ （对称性对称性） d= rv m S BS 2 2）磁矩磁矩的计算的计算： v 2 2）磁矩磁矩的计算的计算： m P v dd;d mmm PS InPP= rvv 3）磁力、磁力矩3）磁力、磁力矩 L fqvB= vv v L fqvB ddd mmm FI lBFF= rvvvv MPB vvv m MPB= 第第6 67 7章章： 叠加法叠加法 vvr 第第6 6、7 7章章： ）的计算的计算 v 叠加法叠加法 BBI vv dd BBl vvr dId 1）的计算的计算B 安培环路定理安培环路定理（ （对称性对称性） 2 ddqI = = 安培环路定理安培环路定理（ （对称性对称性） d= rv m S BS 2 2）磁矩磁矩的计算的计算： v 2 2）磁矩磁矩的计算的计算： m P v dd;d mmm PS InPP= rvv 3）磁力、磁力矩3）磁力、磁力矩 L fqvB= vv v L fqvB ddd mmm FI lBFF= rvvvv MPB vvv m MPB= 第第8 8章章第第8 8章章 1. 感应电动势的计算感应电动势的计算 () vv d d = m t () d= v v v L vBl B 动 动 I t I L L d d d 2 = = d d d = m t N t d = r s B S t 感 感 I M t I M d d d 1 2 12 = = = = t M d 21 = = 2. L 、M 的计算的计算 3.3.磁场能磁场能 2 1 WLI3.3. 磁场能磁场能 2 2 2 1 dd = m WLI B WBH VVdd 22 = m V WBH VV 4.4. 位移电流位移电流 dd = v v D DD D Ij 4.4. 位移电流位移电流 dd DD j tt 例例 半径为半径为R的带电细圆环的带电细圆环，其电荷线密度为其电荷线密度为 = 0cos ，式中式中例例 半径为半径为R的带电细圆环的带电细圆环，其电荷线密度为其电荷线密度为 0cos ，式中式中 0为一常数，为一常数， 为半径为半径R与与x轴所成的夹角，如图所示试求 环心 轴所成的夹角，如图所示试求 环心O处的电场强度处的电场强度 qd y d R O x Ed Ed x O y Ed 解解：在任意角在任意角 处取微小电量处取微小电量dq = dl， y 解解：在任意角在任意角 处取微小电量处取微小电量dq dl， 它在它在O点产生的场强为：点产生的场强为： qd d Rlq E 0 dscodd d = d Ed x O RRR E 0 2 0 2 0 444 d = = = 它沿它沿x、y轴上的二个分量为轴上的二个分量为： x Ed y Ed Ed 它沿它沿 、y轴上的二个分量为轴上的二个分量为： dEx=dEcos , dEy=dEsin 对各分量分别求和对各分量分别求和 y 对各分量分别求和对各分量分别求和 = 2 0 2 0 0 dsco 4 R Ex R 0 0 4 =0)d(sinsin 4 2 0 0 0 = = R E y 0 0 0 故故O点的场强为：点的场强为： 0 4 x EE ii R = v 0 4R 43 例例 如如图所示图所示，一厚度为一厚度为b的的“无限大无限大”带电平板带电平板，其电荷体密其电荷体密例例 如如图所示图所示，一厚度为一厚度为 的的“无限大无限大”带电平板带电平板，其电荷体密其电荷体密 度分布为度分布为 = kx（0 x b），式中），式中k为一常数，求：为一常数，求： （1）平板外两侧平板外两侧任任一点一点P1和和P2处的电场强度处的电场强度；（ ）平板外两侧平板外两侧任任一点一点 1 和 和 2处的电场强度 处的电场强度； （2）平板内）平板内任任一点一点P处的电场强度； （ 处的电场强度； （3）场强为零的点在何处？）场强为零的点在何处？ 分析：平板外两侧电场分布分析：平板外两侧电场分布 x 0 P P2P1 在带电平板中取一在带电平板中取一平面，电 荷面密度 平面，电 荷面密度 (x) x 0 x 0 2 )( x E = 两侧均匀场,方两侧均匀场,方 向与平面垂直向与平面垂直 b 0向与平面垂直向与平面垂直 可知：平板外两侧电场仍为均匀电场， 方向与板面垂直！ 可知：平板外两侧电场仍为均匀电场， 方向与板面垂直！ 44 解解：（1）平板外两侧平板外两侧任任一点一点P 和和P 处处 P PP 解解：（1）平板外两侧平板外两侧任任一点一点P1 和和P2处处 的电场强度的电场强度E bb x 0 P P2P1 x s 0000 dd 1 2 xx Sk xSSE bb = 0 2 2 kSb = 0 2 4 kb E = b （2）平板内）平板内任任一点一点P处的电场强度处的电场强度E 0 2 00 2 d)( kSx xx kS SEE x =+ ) 2 ( 2 2 2 0 b x k E= 00 （3）场强为零的点在何处？）场强为零的点在何处？ 0 2 2 2 = b x )0( , 2 bx b