高等数学微积分习题册上册答案.pdf

学院 姓名 学号 日期 1.2 数列的极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 1 一、根据数列极限的定义证明下列极限： （1）0 ) 1( lim 2 = n n n ； 证明：对任意，解不等式 22 ( 1)11 |0| n n nn = = 取 1 N = =，当 nN 时 2 ( 1) |0| n n + = + 取 1 N = =，当 nN 时 232 | 515 n n + += + 取 2 1 N = =，当 nN 时|10|nn + 取 1 N = =，当 nN 时 sin |0| n n 0, 当 nN 时| n xa 0, 当 kN1时 21 | k xa 0, 当 kN2时 2 | k xa N 时| n xa 0，解不等式 |5212| 5|2|2| 5 xxx + +=0，(|2| 1x0， 解不等式 2 4 |4| |2| 2 x x x + +=+0，解不等式 22 111 |0|x xx = 学院 姓名 学号 日期 1.3 函数的极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 4 取 1 X = =，当|xX , 2 1 |0| x 0，解不等式 2 cos11 |0| x x xx 取 2 1 X = =，当xX , cos |0| x x 0，解不等式 2 222 1111 | 2122(21) x x xxx = + = + 取 1 X = =，当|xX , 2 2 1 | 212 x x 时，就有01. 0| 1 1 |0 (x2) ，解不等式 2 111 |1| 11 x x xxx = = 取 2 1 X = =，当xX ,|1| 1 x x 0，存在10,20XX， 当1xX 或2xX ,|( )|f xA 当 0 0 |xx 0，存在 12 0,0 ，当 10 0xx += kxfkkx kk 2)(),0( , 2 2，xxxfsin)(=在)0(+，内无界； 取0)(),0( ,2= kk xfkkx，当+x时，)(xf不是无穷大. 四、判断下列命题的正确性： （1）两个无穷小的和也是无穷小. （ ） （2）两个无穷大的和也是无穷大. （ ） （3）无穷小与无穷大的和一定是无穷大. （ ） （4）无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （ ） （5）无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （ ） （6）无穷大与无穷大的积也是无穷大. （ ） 五、举例说明： （1）两个无穷小的商不一定是无穷小； （2）无限个无穷小的和不一定是无穷小. 解： （1）当0x时，1 sin x x ；0 2 x x （2）当n时，1 2 1 . 1 2 1 0,根据不等式 0,根据不等式 )0( ln 1 ln 1 | )(| 1 = x x exf x ，任取0， 当0, 根 据 不 等 式 ln 1 ln 1 |0)(| 1 0，当Mx ,分别求函数)(xf在1=x与1=x的左极限、右极限和极限. 解： 2 1 1111 lim( )lim (5)4, lim( )lim ( )1,lim( ) x xxxx f xxf xxf x + = = 不存在 2 1 1111 lim( )lim(5)4,lim( )lim( )1,lim( ) x xxxx f xxf xxf x + = =不存在 八、设 1 1 lim)( 2 2 + = n n n x x xf，试求)(xf的表达式. 解：当|x|1, 22 22 111/ ( )limlim1 111/ nn nn nn xx f x xx = + = + 当 x=1, 2 2 1 ( )lim0 1 n n n x f x x = + = + 所以 1 | | 1 ( )1| | 1 01 x f xx x = 学院 姓名 学号 日期 1.6 极限存在准则两个重要极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 12 一、利用夹逼定理求下列极限： （1） 222 111 lim(.) 12 n nnnn + + ； 解：因为 22222 111 . 121 nn nnnnnnn =， 证明 12 lim. nnn n m n aaaa +=. 证明：因为 12 . nnnn n m aaaaa ma，证明0lim= n n a n . 证明：设 a=1+h,h0, 2 2 (1) (1)10 (1) 2 1 2 nn n n nnn ahh n n a h =+=成立; (2) 假设 1nn xx =； 1 22 nnnn nn xyyy yy + + + + + = = + + = 1, 52 1, 3 )( xx xx xf的间断点和连续区间，并确定间断点的类型. 解: 连续区间: (,1),(1,)+, x=1 跳跃间断点 五、设函数 = = 4, 4, 4 16 )( 2 xa x x x xf在),(+内连续，求a的值. 解: 2 44 16 limlim(4)8 4 xx x ax x =+= =+= 六、利用初等函数的连续性计算下列极限： （1） x x x e sin 0 lim ； 学院 姓名 学号 日期 1.8-1.9 连续性与间断点 四川大学数学学院高等数学教研室编 20 解: 0 sinsin lim 0 lim x xx xx x eee = （2） 11 11 lim 3 0 + + x x x ； 解: 23 3 3 00 (1)11113 limlim 21111 xx xxxx xxx + = + + = + （3）)11(lim 22 + + xx x . 解: 22 22 22 112 lim(11)limlim0 1 11 xxx xx xx xx + + += + + += + 七、判断下列命题的正确性，并对错误的命题举出反例： 设)(xf和)(xg在),(+内有定义, （1）若)(xf和)(xg为连续函数，则)(xgf也为连续函数.（ ） （2）若)(xf为连续函数，)(xg有间断点，则)(xgf必有间断点.（ ） （3）若)(xf有间断点，)(xg为连续函数，则)(xgf必有间断点.（ ） 八、讨论函数 + = xf， 试 证 明 ： 存 在0， 使 )(0)( 00 +xxxxf. 证明：根据)(xf在点 0 x连续且0)( 0 xf，取 00 1 ()0 2 f x = = ，存在0，当 00 xxx 十 一 、 设)(xf和)(xg是 连 续 函 数 ， 试 证 明)()(max)(xgxfx，=和 )()(min)(xgxfx，=也是连续函数. 证明： ( )( ) |( )( )| ( )max ( )( ) 2 f xg xf xg x xf xg x + = + = +- ， +- ， ( )( ) |( )( )| ( )min ( )( ) 2 f xg xf xg x xf xg x = = +- ， +- ， 十二、 （1）在点 0 x处)(xf连续,)(xg不连续,则( )( )f xg x+和( ) ( )f x g x在点 0 x是否不 连续？ （2）设)(xf和)(xg在点 0 x不连续，则( )( )f xg x+和( ) ( )f x g x是否在点 0 x不连续？ 解： （1）( )( )f xg x+不连续(反证)；( ) ( )f x g x不一定连续：)(xf=0，)(xg=sgn(x)(x=0) （2）( )( )f xg x+和( ) ( )f x g x不一定连续: 1010 ( ), ( ),( )( )0,( ) ( )1 1010 xx f xg xf xg xf x g x xx =+= = = ，在开区间(0,1)上连续，没有有最大值和最小值，无界函 数，不满足介值性. 二、证明方程2sin2+=xx至少有一个小于3 2的正根. 证明：令( )2sin2F xxx=， 333 (0)20,( )3sin21sin0 222 FF= = 所以方程2sin2+=xx至少有一个小于3 2的正根. 三、证明方程sinxaxb=+(00)ab，至少有一个不超过ba+的正根. 证明：令( )sinF xxaxb=， (0)0,()sin()1sin()0FbF ababaabbaab= ，至少有一个不超过ba+的正根. 四、三次方程0396 23 =+xxx有多少个实根？并指出实根所在区间. 解：令 32 ( )693F xxxx=+=+， 2 ( )31293(1)(3)0Fxxxxx = =+=+= (1)1,(3)3FF= = 有三个实根，分别位于区间(,1),(1,3),(3,) +. 五、设)(xf和)(xg在,ba上连续，且( )( )f ag a. 试证：在),(ba内至少存在一点c，使)()(cgcf=. 证明：令( )( )( )F xf xg x=，( )( )( )0,( )( )( )0F af ag aF bf bg b= =， 在),(ba内至少存在一点c，使( )0F c= =)()(cgcf=. 学院 姓名 学号 日期 1.10 连续函数的性质 四川大学数学学院高等数学教研室编 23 六、设)(xf在,ba上连续， 12 . n axxxb+ = 0,sin 0),1ln( )( xx xx xf. 学院 姓名 学号 日期 2.1 导数概念 四川大学数学学院高等数学教研室编 25 解: 函数在0=x处的连续， 00 ln(1)sin ( )lim1;( )lim1 hh hh fxfx hh + + + + + = =可导。 八、讨论取何值时，函数 = = 0, 0 0, 1 sin )( x x x x xf 在0=x处（1）连续； （2）可导. 解: （1）当0 时， 0 1 limsin0(0) x xf x =，连续； （2）当1 时， 1 00 1 sin0 1 (0)limlimsin0 xx x x fx xx = =可导. 九、设)()()(xaxxf=，其中)(x在ax=处连续，求)(a f . 解: ( )( ) ( )limlim ( )( ) xaxa f xf a faxa xa = = 十、设)10()2)(1()(=xxxxfL，求)10( f . 解: ( )(2).(10)(1)(3).(10) (1)(2)(4).(10).(1).(9) fxxxxxx xxxxxx =+ + =+ + , (10)9!f= 十一、已知 = 0, 0,sin )( xx xx xf，求)(x f . 解: cos ,0 ( ) 1,0 xx fx x = = 十二、求曲线xyln=在点) 1 ,(e处的切线方程. 解: 1 (ln ) |x ex e = = =,切线方程: 1 1()0yxexey e = 十三、求曲线 x ey =经过原点的切线方程. 解: 0 () |1 x x e = = =,切线方程: yx= = 十四、设)(xf为偶函数，)0(f存在，证明：0)0(=f，并用函数图形解释其几何意义. 解: 00 ( )()0 (0)limlim0 22 xx f xfx f xx = =,偶函数在 x=0 出导数为 0 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则 (1)导数的四则运算 四川大学数学学院高等数学教研室编 26 一、求下列函数的导数： （1） 223 43axxxy+=； 解: 2 364yxx = + = + （2）1sincos4sin3+=xxy； 解: 3cos4sinyxx = + = + （3）xxxy 2 log5lg2ln+=； 解: 125 ln10ln2 y xxx = + = + （4）) 1 1 )(1(+= x xy； 解: 11111 (1)(1) 22 yxxy xxxxx =+= =+= （5） 2 1 ln x xx y + =； 解: 222 22222 (ln1)(1)2ln11 ln (1)1(1) xxxxx yx xxx + = =+ + + = =+ + （6）xxxycosln 2 = 解: 2 2 lncoscoslnsinyxxxxxxxx = + = + 2. 设xxxfarctan)1 ()( 2 +=，求)0(f. 解: ( )2 arctan1,(0)1fxxxf=+=+= 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则(2)复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 27 一、求下列函数的导数： （1） 5 )63(+=xy； 解: 4 15(36)yx = + = + （2）xy2sin3=； 解: 2 6sin 2yx = = （3） 22 xay=； 解: 22 2x y ax = = （4）)ln( 22 xaxy+=； 解: 222222 121 (1) 2 x y xaxaxax = += + = += + （5）)arctan( 3 xy=； 解: 2 6 3 1 x y x = + = + （6） x ey 1 cos2 =. 解: 22 11 coscos 22 11112 ( 2cos)( sin)()sin xx yee xxxxx = = = = 二、设函数可导，证明： 偶函数的导数是奇函数； （2）奇函数的导数是偶函数； （3）周期函数的导数是周期函数. 证明： （1）设函数 f(x)为偶函数，导数，则 00 ()()()( ) ()limlim( ) hh fxhfxf xhf x fxfx hh + = + = （2）设函数 f(x)为奇函数，导数，则 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则(2)复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 28 00 ()()()( ) ()limlim( ) hh fxhfxf xhf x fxfx hh + = = + = = （3）设函数 f(x)为周期为 T 的周期函数，导数，则 00 ()()()( ) ()limlim( ) hh f xhTf xTf xhf x fxTfx hh + += + += 三、设)(xf可导，求下列函数的导数： （1）)( 2 x efy = 解: 2222 ()( 2 )2() xxxx yfeexxefe = = （2）) 1 (arcsin x fy=. 解: 2 22 2 111|1 (arcsin)()(arcsin) 1 1 1 x yff xxx xx x = = 四、求下列函数的导数： （1）xxy+=； 解: 11 (1) 2 2 y x xx = + + = + + （2）)21arcsin(xy=； 解: 22 21 1(12 ) y xxx = = = = （3） x x y 2sin1 2sin1 + =； 解: 22 1sin2sincos ()ln2ln(sincos )2ln(sincos ) 1 sin2sincos xxx yyxxxx xxx + =+ + =+ 22 (cossin )(cossin ) sincossincos y xxxx yxxxx =+ + =+ + 3 3 2(sincos )2(sincos ) cossin(sincos ) xxxx y xxxx + = + = 学院 姓名 学号 日期 2.2 求导法则(2)复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 29 （4）)tanln(secxxy+=. 解: 2 1 (sectansec)sec sectan yxxxx xx = += + = += + 五、设)()()(mxbfmxbfxg+=，其中f可导，求)0(g. 解: (0)()()gm fbmxfbmx=+=+ 六、求) 4 tan( 2 x y =在(1,1)处的切线方程. 解:切线方程 22 2 11 1tan() |(1)sec ()|(1)(1) 424 1(1) xx xxx yxxx yx = = =+ = =+ 七、求 x y 1 =的经过(2,0)的切线方程. 解:设切点为(t,1/t), 切线为 2 11 ()yxt tt = = ,带入(2, 0),1t= =,切线为2yx+=+= 学院 姓名 学号 日期 2.3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 30 一、求下列函数的二阶导数： （1）xxyln=； 解： 1 ln1, yxy x =+=+= （2）xxyarctan)1 ( 2 +=； 解：2 arctan1, 2arctan2yxxyx=+=+=+=+ （3）)cos(ln)sin(lnxxxy+=； 解： 2 sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )2cos(ln ), sin(ln )yxxxxxyx x =+= =+= （4） x xy=. 解： 21 (ln1), (ln1) xxx yxxyxxx =+=+=+=+ 二、求下列函数的 n 阶导数： （1） 12 121 . nnn nn yxa xa xaxa =+ 解: y(n) = n! （2）)sin(baxy+= 解: cos()sin() 2 yaaxbaaxb = +=+ = +=+ 22 cos()sin(2) 22 yaaxbaaxb = +=+ = +=+? ? ( )( ) sin() 2 nn yaaxbn =+=+? ? （3） bax y + = 1 学院 姓名 学号 日期 2.3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 31 解: 12 11111 ()( 1)() bb yxyx b axbaaaaa x a =+= + + + =+= + + + 3( )1 1( 1)! ( 1)( 2)()() n nn bnb yxyx aaaa = +=+ = +=+ （4） x x y + = 1 1 解: 12 12 12(1)12( 1)(1) 11 x yxyx xx =+ =+ + =+ =+ + 3( )1 2( 1)( 2)(1)2( 1)!(1) nnn yxynx =+=+=+=+ 三、设)(xf二阶可导，求函数的二阶导数y ： （1）)(sinxfy=； （2） )(xf ey= 解: （1） 2 (sin )cos ,(sin )cos(sin )sinyfxx yfxxfxx= （2） ( )( )2( ) ( ),( )( ) f xf xf x yefxyefxefx=+=+ 四、求函数 3x yx e=的 15 阶导数. 解: 3 (15)3(15)3 ( )32 0 ()()(366) xxkx k yx eexexxx = =+ 五、设)(xf在),(+内有连续的二阶导数，且0)0(=f.设 = = 0, 0, )( )( xa x x xf xg （1）确定a的值，使)(xg在),(+内连续； （2）求)(xg. 解： （1） 0 ( ) (0)lim(0) x f x agf x = （2）当0x ， 2 ( )( ) ( ) xfxf x g x x = =； 当0x= =， 2 000 ( )(0)( )(0)11 (0)limlimlim()(0) 22 hhh g hgf hfh gfhf hh = 学院 姓名 学号 日期 2.3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 32 六、试从公式 ydy dx = 1 导出下列反函数的高阶导数公式： 32 2 )(y y dy xd =； （2） 32 35 3() () d xyy y dyy = = . 证明: （1） 2 223 11 ()()/ ()() d xddxddyyy dydy dydx ydxyyy = = = = ? ? （2） 322 3235 3() ()/ ()() d xdd xdydyyy y dydy dydxydxy = = = = 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 33 一、求下列方程所确定的隐函数yy（x）的导数 dx dy ： （1）xyyx6 33 =+； 解: 2 3322 2 2 63366 2 dydydyyx xyxyxyyx dxdxdxyx +=+=+= +=+=+= （2）xyyxcos)sin( 2 =+； 解: 22 sin()cossin()(1)2 cossin dydy xyyxxyyxyx dxdx +=+=+=+= 2 sin()sin 2 cossin() dyxyyx dxyxxy + = + = + + （3） x y yxarctan)ln( 22 =+. 22 2222 22 2 ln()arctan 2 dydy xyxy ydyxy dxdx xy xxyxydxxy + + + += + += + 二、求曲线 242 5xxy=在点(1, 2)处的切线方程. 解: 3 242 (1,2) 109 5| 2 dyxxdy yxx dxydx = = 切线方程: 9 2(1)9250 2 yxxy = 三、证明：曲线ayx=+上任意点处的切线在两坐标轴上的截距之和恒为a. 证明：曲线ayx=+上任意点(x,y)处的切线() y YyXx x = = ,两坐标轴上的 截距之和 2 ()()2()xyxxyyxyxyxya+ +=+=+=+=+=+= 四、设函数)(xyy=满足方程yyxexy=+)sin( 2 ，试求)0(y. 解： 222 sin()()cos()(2) xyxy ex yyeyxyx yxyx yy +=+=+=+= 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 34 011xyy= 五、列函数的导数： （1） x xy =； 解: ln ln (ln )() 2 xxxxx xx yxeyxxxyx xx =+=+ （2） x xy)(ln=； 解: lnln 1 (ln )(ln ) ( lnln )(ln ) (lnln) ln xxxxx yxeyxxxyxx x =+=+ （3） x x y + = 1 1 ； 解: 2 111 11111 lnln(1) ln(1) 122 11111 xxx yyxxy xxxxxx + =+=+= + + =+=+= + （4） 3 2 2 ) 1( ) 1( + = x xx y. 解: 22 2 33 222 (1)11(1) 122 lnlnln(1) 2ln(1) (1)33(1)11 x xx xx yyxxxy xxxxx + =+=+ + + =+=+ + 六、设 xy yx=，求 dx dy . 解: ln lnlnlnln ln yx y y dyyx dydy x xyyxxyxy x dxxy dxdx x y =+=+= =+=+= 七、求隐函数的一阶导数 dx dy 和二阶导数 2 2 dx yd ： （1）16 44 =+yx； 解: 3 4433 3 16440 x xyxy yy y +=+= +=+= 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 35 23322462 677 3348 3 x yx y yx yxx y yyy + = = = + = = = （2）3+=xyey. 解: 3 3 yy y yy exye yyxyyy exxyx =+=+=+=+= + 2 23 (3)(1)(2)(3) (3)(3) xyxyy yxyyyxyxxy y xyxxyx + = = + + = = + 八、已知1= y xey，求 2 0 2 |x d y dx = . 解: 1,010(0) 1 y yyy y e yxexyyexe yyye xe = = 2 2 (1)() (0)2 (1) yyyyy y e yxeeexe y yye xe + = + = 九、求参数方程所确定的函数)(xyy=的导数， dx dy ： （1）15313 353 +=+=ttyttx，； （2）teytex tt cossin= ，； （3） 2 arcsin 1 t x t = + ， 2 1 arccos 1 y t = + . 解： （1） 42 2 2 1515 5 33 dytt t dxt + = + + = + （2） 2 cossin cossin tt t tt dyetet e dxetet = = （3） 22 sin2 sincos1 sin2 dyx xy dxy += =， 2 1 arccos 1 y t = + 十、求 2 3 1 at x t = + ， 2 2 3 1 at y t = + 在2=t处的切线和法线的方程. 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 36 解：曲线导数为 2322 2222 6(1)63 (1)6 2 (1)(1) dyattatatat t ttdx + = + 在2=t处： 612 ,4 55 aa dy xy dx =，切线方程： 126 4() 55 aa yx= 法线方程： 1216 () 545 aa yx= 11. 设 23 btyatx=，求 dy dx ， 2 2 d y dx . 解： 2 22 1 33 dybtb dxata t = 2 2 2224 212 121 ()3 339 d ybdbdxb at dta tdta tdxa t = = 12. 设 ln(1) arctan xt yt =+ = ， 求 2 0 2 |t d y dx = . 解： 2 2 1 1 1 1 1 1 dyt t dxt t + + = + + 222 0 22222 112 (1)1 ()|1 1(1)1 t d yd ydtdxttt dttdtttdxdx = + = + 13. 设 23 3 ln(1) arctan xtd y dxytt =+ = ，求. 解： 2 2 2 1 1 1 1 1 dy t t dx t + = + ， 2 23 22 1 ( )222 1 d yddx tttt dtdttdx =+ + 3 3222 23 1 (22 )(26 )2(1)(1 3 ) 1 d yddx ttttt dtdttdx =+=+=+ + 14. 设)(xyy=是由方程 =+ += 01sin 323 2 yte ttx y 所确定的隐函数，求 0 |t dy dx = 和 2 0 2 |t d y dx = . 解： 2 32362 dx xttt dt =+=+=+=+ 学院 姓名 学号 日期 2.4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 37 cos sin10sincos0 1sin y yyy y dydydyet etyetet dtdtdtet +=+= +=+= 2 3233 ,0 1 sin10 y xttx t y ety =+= = =+= = = = += += 000 cos cos 1sin | 622(31)(2)2 y y y ttt et dyete et dxtty = = + 2 2 22 2 0 2 cos 62 2(31)(2) cos(31)(2)3cos (2)cos (31) 2(31) (2) (62) 3 | 4 y yyy t d yet t tydx dydy ettyetyett dtdt tyt d ye dx = =+ + + = + = 15. 一个球形雪球的体积以 1cm3/min 的速度减少，求直径为 10cm 时，雪球直径的减少速 度. 解: 32 41 14 3400 dVdrdr Vrr dtdtdt = = 16. 将水注入深 8m，上顶直径为 8m 的正圆锥形容器中， 注水速度为 4m3/min，当水深为 5m 时，其表面上升的速度为多少？表面上升的加速度又为多少？ 解: 2 32222 2 1116 42 ()0 124 dVdhdhdhd h Vhhhhh dtdtdtdtdt =+= 5 2 2 2 5 22525 1616 |0.2037 25 2512512 ()|0.0166 5 h h dh dth d hdh dth dth = = = = = = 学院 姓名 学号 日期 2.5 函数的微分 四川大学数学学院高等数学教研室编 38 一、填空题： （1） 22 111 1421 (2 ) dxd xx = + ( 2x ) 1 2 d=(arctan2x)d=( 1 arctan2 2 x)； （2） 111 21212 dxd xx = + ( 2x )d=(12x+)； （3） 2 (arctan ) (arctan ) 1 fx dxfx d x = + (arctan x)=d( 1 (arctan ) 2 fx)； （4） 33 arctanarctan 22ln2 xx dd=( 3 arctanx). 二、计算微分： （1）)2arcsinln( 2 xxd x+ ； （2）)(arctan x ed； （3） +1 2 2 x d x ； 解： （1） 2 2 2 (lnarcsin2 )(2 ln) 14 d xxxxxxdx x +=+ +=+ （2） 2 11 (arctan) 12 xx xx deedx e = + = + （3） 2 222 22 (1)ln22 2 1(1) xxx xx ddx xx + = + + = + （4）)(),(xvvxuu=为可导函数，求 v u yarctan=的微分. 解： 22222 1 (arctan)() 1/ uvduudvvduudv dyd vuvvuv = + = + 三、求隐函数或参数方程决定函数的导数： （1）( )yy x=由方程 xy eyxln 2 =+决定，求 dx dy . 解： 2 22 3 112 ln2 yy y dydydyx y x yexxyxe dxdxxdxxxe +=+= + +=+= + （2）( )yy x=由参数方程 += += 743 32 34 2 tt tt eey eex 确定，求 2 2 , dx yd dx dy . 解： 43 2 2 1212 6; 22 tt t tt dyee e dxee = = 222 22 (6)126 / 221 ttt ttt d ydedxee dxdtdteee = 学院 姓名 学号 日期 2.5 函数的微分 四川大学数学学院高等数学教研室编 39 四、求05. 1arctan的近似值. 解: arctan(1)arctan1 2 h h+ arctan(1.05)0.0250.8104 4 +=+= 五、利用微分的近似公式证明：xx +1)1 (. 证明：()( )( )(1)1f axf afa xxx + 学院 姓名 学号 日期 3.1 微分中值定理 四川大学数学学院高等数学教研室编 40 一、证明 1111 11 22 , (1)ln nnnn aaaa nan + 证明: 令 1 ( ), ,1 x F xaxn n=+=+,则 111 1 2 1 (1)( )()(ln ) () nnn F nF nF naaaa n + +=+= + +=+= + 111111 1 111 222 1 ln()(1)ln nnnnnn n aaaaaa a annan + + + + = 解: 1122 12 0 012 lnlnln ln() ln1 lim lim 12 0 lim xxx xxx nn n xxx x xn aaaaaa aaanxxx aaa n xx x aaa ee n + + + + + + + = + = L L L L L L LL 学院 姓名 学号 日期 3.2 洛必达法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 43 1 2 0 ln lim 12 n x a aa n n n ea aa = LL LL 二、 = = 01 0 1 )( x x x e xf x 求(0),(0)ff. 解: 2 00 ( )(0)11 (0)limlim 2 x xx f xfex f xx = 当0x时, 2 1 ( ) xx xee fx x + = + = 2 2 3 000 11 ( )(0)222 2 (0)limlimlim 2 xx xx xxx xee fxfxeex x f xxx + + = 2 000 222211 limlimlim 6333 xxxxx xxx exeexee xx + = 三、已知b x axx x = + + )cos(1 2ln2 lim 1 求ba,. 解: 1 (2ln2)|202 x xaxaa = = += +=+= += 22 111 2ln22112 lim2lim2lim 1cos()sin()sin()cos() xxx xxx b xxxxxx + = + + = + 四、求ba,，使0x时 3 ( )2f xsin xaxbx=+=+为尽可能高阶无穷小，并求它的阶. 解: 32 1 00 22cos23 limlim kk xx sin xaxbxxabx xkx + = + = 2 0 (2cos23)|202 x xabxaa = = +=+= +=+= 2 123 000 2cos2234sin268cos26 limlimlim (1)(1)(2) kkk xxx xbxxbxxb kxk kxk kkx + = + = 0 ( 8cos26 )|8604/3 x xbbb = = += +=+= += 34 00 8cos2816sin2 limlim (1)(2)(1)(2)(3) kk xx xx k kkxk kkkx + = + = 学院 姓名 学号 日期 3.2 洛必达法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 44 5 0 32cos2324 lim(5) (1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)15 k x x k k kkkkxk kkkk = = 附加题：)(xf在0 0 =x处二阶可导，, 3 2)( lim 2 0 = + x xf x 求).0( ),0( ),0(fff 解: 2 0 ( )2 lim3(0)2 x f x f x + + = = = 2 00 ( )(0)( )2 (0)limlim0 xx f xff x fx xx + =? + =? 2 000 ( )2( )(0)( )(0) lim3lim0(0)lim0 xxx f xfxffxf f xxx + = + = 学院 姓名 学号 日期 3.3泰勒公式 四川大学数学学院高等数学教研室编 45 一、( )arctanf xxx=在1 0 =x处展开为二阶Taylor公式. 2 2222 22 ( )arctan ,( )arctan,( ) 11(1) xx f xxx fxxfx xxx =+=+ + 11 (1),( ),( ) 4422 ffxfx =+= 2 11 arctan