中科院《随机过程》典型复习题.pdf

中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 1 典型复习题典型复习题 （1）设设0),(ttX是 一 个 实 的 零 均 值 二 阶 矩 过 程 ， 其 相 关 函 数 为是 一 个 实 的 零 均 值 二 阶 矩 过 程 ， 其 相 关 函 数 为 tsstBtXsXE),()()(， 且 是 一 个 周 期 为， 且 是 一 个 周 期 为T的 函 数 ， 即的 函 数 ， 即 0),()(BTB，求方差函数，求方差函数)()(TtXtXD。 （2）试证明：如果试证明：如果0),(ttX是一独立增量过程，且是一独立增量过程，且0)0(X，那么它必是一个马，那么它必是一个马 尔可夫过程。尔可夫过程。 （3）设随机过程设随机过程0,tWt为零初值（为零初值（0 0 W）的、有平稳增量和独立增量的过程，）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个且对每个0t，),( 2t NWt，问过程问过程0,tWt是否为正态过程是否为正态过程，为什么？为什么？ （4）设设 t B为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并 说明理由。说明理由。 （5）设设 t N，0t是零初值是零初值、强度强度0的泊松过程的泊松过程。写出过程的转移函数写出过程的转移函数，并问在均并问在均 方意义下，方意义下，0, 0 tdsNY t st 是否存在，为什么？是否存在，为什么？ （6）在一计算系统中在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以以 0 0 表示误差状态，表示误差状态，1 1 表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为： 5 . 05 . 0 25 . 0 75 . 0 1110 0100 pp pp P 试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。 （7）设齐次马氏链设齐次马氏链,4 , 3 , 2 , 1,0,SnXn一步转移概率矩阵如下：一步转移概率矩阵如下： 002/12/1 002/12/1 2/12/100 2/12/100 P （a）写出切普曼柯尔莫哥洛夫方程（）写出切普曼柯尔莫哥洛夫方程（CK 方程方程） ； （b）求）求n步转移概率矩阵；步转移概率矩阵； （c c）试问此马氏链是平稳序列吗？试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？为什么？ （8）设设0,) 1()( )( tXtY tN ，其中，其中0);(ttN为强度为为强度为0的的 Poission 过程过程，随随 机变量机变量X与此与此 Poission 过程独立，且有如下分布：过程独立，且有如下分布： 0, 2/10, 4/1aXPaXPaXP 问：随机过程问：随机过程0),(ttY是否为平稳过程？请说明理由。是否为平稳过程？请说明理由。 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 2 （9）设设0,2tYtXXt，其中，其中X与与Y独立，都服从独立，都服从), 0( 2 N （a a）此过程是否是正态过程？说明理由。）此过程是否是正态过程？说明理由。 （b b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。 （10） 设设 t N，0t是零初值、强度是零初值、强度1的泊松过程。的泊松过程。 （a a）求它的概率转移函数）求它的概率转移函数),(iNjNPjitsp st ； （b b）令）令0, ttNX tt ，说明，说明 1 0 dtXY t 存在，并求它的二阶矩。存在，并求它的二阶矩。 （11）设一口袋中装有三种颜色设一口袋中装有三种颜色（红红、黄黄、白白）的小球的小球，其数量分别为其数量分别为 3 3、4 4、3 3。现在不现在不 断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计 1 1、0 0、 - -1 1 分分。 第一次摸球之前没有积分第一次摸球之前没有积分。 以以 n Y表示第表示第n次取出球后的累计积分次取出球后的累计积分，, 1 , 0n （a a） n Y，, 1 , 0n是否齐次马氏链？说明理由。是否齐次马氏链？说明理由。 （b b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移 概率概率 ij p和两步转移概率和两步转移概率)2( ij p。 （c c）令）令0, 0;min 0 nYn n ，求，求5 0 P。 （12） 考察两个谐波随机信号考察两个谐波随机信号)(tX和和)(tY，其中：，其中： )cos()(),cos()(tBtYtAtX cc 式中式中A和和 c 为正的常数为正的常数；是是,内均匀分布的随机变量内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布是标准正态分布 的随机变量。的随机变量。 （a）求）求)(tX的均值、方差和相关函数；的均值、方差和相关函数； （b）若）若与与B独立，求独立，求)(tX与与)(tY的互相关函数。的互相关函数。 （13） 令谐波随机信号：令谐波随机信号：),cos()(tAtX c 式中式中 c 为固定的实数；为固定的实数；是是2, 0内内 均匀分布的随机变量，考察两种情况：均匀分布的随机变量，考察两种情况： （a）幅值）幅值A为一固定的正实数；为一固定的正实数； （b）幅值）幅值A为一与为一与独立，分布密度函数为独立，分布密度函数为0, )2/( 2 22 ae a a 的随机变量；的随机变量； 试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？ （14） 设设0);(ttN是一强度为是一强度为的的 Poission 过程，记过程，记 td tNd tX )( )(，试求随机过，试求随机过 程程)(tX的均值和相关函数。的均值和相关函数。 （15） 研究下列随机过程的均方连续性研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性均方可导性和均方可积性。当均方可导时当均方可导时，试求试求 均方导数过程的均值函数和相关函数。均方导数过程的均值函数和相关函数。 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 3 （a a）BAttX)(，其中其中BA,是相互独立的二阶矩随机变量是相互独立的二阶矩随机变量，均值为均值为ba,，方差方差 为为 2 2 2 1, ； （b b）CBtAttX 2 )(，其中，其中CBA,是相互独立的二阶矩随机变量，均值为是相互独立的二阶矩随机变量，均值为 cba,，方差为，方差为 2 3 2 2 2 1 ,。 （16） 求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。 （a a）0, 1 )( t t tWtX，其中，其中)(tW是参数为是参数为 1 1 的的 WiennerWienner 过程。过程。 （b b）0),()( 2 ttWtX, ,其中其中)(tW是参数为是参数为 2 的的 WiennerWienner 过程。过程。 （17） 讨论讨论 WiennerWienner 过程和过程和 PoissionPoission 过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。 （18） 设有平稳随机过程设有平稳随机过程)(tX，它的相关函数为，它的相关函数为 22 2 )( eRX，其中，其中,为常数为常数， 求求 dt tdX atY )( )(（a为常数）的自协方差函数和方差函数。为常数）的自协方差函数和方差函数。 （19） 设 有 实 平 稳 随 机 过 程设 有 实 平 稳 随 机 过 程)(tX， 它 的 均 值 为 零 ， 相 关 函 数 为， 它 的 均 值 为 零 ， 相 关 函 数 为)( X R，若若 t dssXtY 0 )()(，求，求)(tY的自协方差函数和方差函数。的自协方差函数和方差函数。 （20） 设设0),( 1 ttN和和0),( 2 ttN是参数分别为是参数分别为 1 和和 2 的时齐的时齐 Poission 过程过程，证明证明 在在)( 1 tN的任一到达时间间隔内，的任一到达时间间隔内，)( 2 tN恰有恰有k个事件发生的概率为：个事件发生的概率为： , 2, 1 , 0, 21 2 21 1 kp k k （21） 设随机振幅设随机振幅、 随机相位正弦波过程随机相位正弦波过程0, )sin(ttVXt， 其中随机变量其中随机变量V和和 相互独立，且有分布：相互独立，且有分布： 4/12/14/1 101 , 2,0VU 令：令： 0, ,0 2/2,1 t X Y t t 反之 如 试求过程试求过程0, tYt的均值函数。的均值函数。 （22） 设有一泊松过程设有一泊松过程0, )(ttN，固定两时刻，固定两时刻ts,，且，且ts ，试证明，试证明 nk t s t s CntNksNP knk k n , 2 , 1 , 0,1)()( （23） 设设0, )(ttB为零均值的标准布朗运动，为零均值的标准布朗运动，a和和b为两个待定的正常数（为两个待定的正常数（1a） ， 问问 在什么情况下在什么情况下)(btaB仍为标准的布朗运动？说明理由。仍为标准的布朗运动？说明理由。 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 4 （24） 设有无穷多只袋子设有无穷多只袋子，各装有红球各装有红球r只只，黑球黑球b只及白球只及白球w只只。今从第今从第 1 个袋子随机个袋子随机 取一球取一球，放入第放入第 2 个袋子个袋子，再从第再从第 2 个袋子随机取一球个袋子随机取一球，放入第放入第 3 个袋子个袋子，如此继如此继 续。令续。令 , 2 , 1, ,0 ,1 k k Rk 反之 次取出红球当第 （a）试求）试求 k R的分布；的分布； （b）试证）试证 k R为马氏链，并求一步转移概率。为马氏链，并求一步转移概率。 （25） 设有随机过程设有随机过程tYtXt,)( 2 ，X与与Y是相互独立的正态随机变量是相互独立的正态随机变量， 期望均为期望均为 0，方差分别为，方差分别为 2 X 和和 2 Y 。证明过程。证明过程)(t均方可导，并求均方可导，并求)(t导过程的导过程的 相关函数。相关函数。 （26） 设设0;tBt是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数 )(),(xyfyxtsp stB B 。 （27） 设有微分方程设有微分方程)()(2 )( 3 0 tWtX dt tdX ，初值，初值 0 )0(XX为常数，为常数，)( 0 tW是标准是标准 维纳过程，求随机过程维纳过程，求随机过程)(tX在在t时刻的一维概率密度。时刻的一维概率密度。 （28） 设给定随机过程设给定随机过程),(TttX及实数及实数x，定义随机过程，定义随机过程 Tt xtX xtX tY )(, 0 )(, 1 )( 试将试将)(tY的均值函数和自相关函数用过程的均值函数和自相关函数用过程)(tX的一维和二维分布函数来表示。的一维和二维分布函数来表示。 （29） 设设),(ttX是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量， 问问),0()(tXtX是否仍为平稳过程，为什么？是否仍为平稳过程，为什么？ （30） 设设)(tX为平稳过程，其自相关函数为平稳过程，其自相关函数)( X R是以是以 0 T为周期的函数，证明：为周期的函数，证明：)(tX是是 周期为周期为 0 T的平稳过程。的平稳过程。 典型复习题解答典型复习题解答 （1 1）解：由定义，有：）解：由定义，有： 0)(2)0()0( )()(2)0()0( )()()()(2 )()()()( TBBB TtXtXEBB TtEXTtXtEXtXE TtXDtXDTtXtXD （2 2）证明：我们要证明：）证明：我们要证明： 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 5 n ttt 21 0，有，有 )()( )(,)(,)()( 11 112211 nnn nnnn xtXxtXP xtXxtXxtXxtXP 形式上我们有：形式上我们有： )()(,)(,)( )()(,)(,)(,)( )(,)(,)( )(,)(,)(,)( )(,)(,)()( 11222211 11222211 112211 112211 112211 nnnn nnnnnn nn nnnn nnnn xtXxtXxtXxtXP xtXxtXxtXxtXxtXP xtXxtXxtXP xtXxtXxtXxtXP xtXxtXxtXxtXP 因此因此，我们只要能证明在已知我们只要能证明在已知 11) ( nn xtX条件下条件下，)( n tX与与2, 2 , 1, )(njtX j 相互独立即可。相互独立即可。 由 独 立 增 量 过 程 的 定 义 可 知 ， 当由 独 立 增 量 过 程 的 定 义 可 知 ， 当2, 2 , 1, 1 njttta nnj 时 ， 增 量时 ， 增 量 )0()(XtX j 与与)()( 1 nn tXtX相互独立，由于在条件相互独立，由于在条件 11) ( nn xtX和和0)0(X下下，即即 有有)( j tX与与 1 )( nn xtX相互独立。由此可知，在相互独立。由此可知，在 11) ( nn xtX条件下，条件下，)( n tX与与 2, 2 , 1, )(njtX j 相互独立，结果成立。相互独立，结果成立。 （3）解：任取）解：任取 n ttt 21 0，则有：，则有： nkWWW k i ttt iik , 2 , 1 1 1 由平稳增量和独立增量性，可知由平稳增量和独立增量性，可知)(, 0( 1 2 1 iitt ttNWW ii 并且独立并且独立 因此因此),( 1121 nn ttttt WWWWW是联合正态分布的，由是联合正态分布的，由 1 12 1 2 1 111 0 011 001 nnn tt tt t t t t WW WW W W W W 可知是正态过程。可知是正态过程。 （4）解：标准布朗运动的相关函数为：）解：标准布朗运动的相关函数为： ,min),( 2 tstsRB 如果标准布朗运动是均方可微的，则如果标准布朗运动是均方可微的，则),( / ttRB存在，但是：存在，但是： 2 0 / 0 / ),(),( lim),( 0 ),(),( lim),( t ttRtttR ttR t ttRtttR ttR BB t B BB t B 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 6 故故),( / ttRB不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。 （5）解：泊松过程的转移率矩阵为：）解：泊松过程的转移率矩阵为： 00 00 00 Q 其相关函数为：其相关函数为： sttstsRN 2 ,min),( 由于在由于在t，),( ttRN连续，故均方积分存在。连续，故均方积分存在。 （6）解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为）解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1 , 3/2(。 （7）解）解： （a）略）略 （b） 偶数 奇数 nP nP PnP n 2 )( （c）此链不具遍历性）此链不具遍历性 （8）解：由于：）解：由于：0)(tYE 12 2 2 )(2 2 0 )(12 2 0 1212 )()( 2 )()( 2 )()()(2 2 )()(2)()(2 21 22! )( ) 1( 2 )()()()() 1( 2 ) 1( 2 ) 1( 2 ) 1() 1(),( 1212 12 12121 2121 tte a e a e n tta ntNtNPntNtNE a E a E a EXEXEttR tt n tt n n n tNtN tNtNtNtNtN tNtNtNtN Y 故故)(tY是平稳过程。是平稳过程。 （9）证明证明： （a）任取任取 n tttNn 21 0,，则有：，则有： Y X t t t YtX YtX YtX X X X nn t t t n 21 21 21 2 2 2 2 1 2 1 2 1 由于由于X与与Y独立，且都服从独立，且都服从), 0( 2 N，因此可得，因此可得YX服从正态分布，由上式可知随服从正态分布，由上式可知随 机向量机向量 n ttt XXX 21 服从正态（高斯）分布，所以过程服从正态（高斯）分布，所以过程0,2tYtXXt是是 正态（高斯）过程。正态（高斯）过程。 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 7 （b b）由：）由： 02YtEXEXE t 2 21 22 2121 2 2 2121 2 2121 44)(2 4)(2 22),( 21 ttYEttYEXEttXE YEttXYEttXE YtXYtXEXXEttR ttX 由于相关函数不是时间差的函数，由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。因此此过程不是平稳过程。 （10）解）解： （a） )( )!( )( ),( st ij st e ij st iNjNPjitsp （b b）先求相关函数：）先求相关函数： )21 (,min)(),( 2 stststsNtNEstR stX 对任意的对任意的t，在在),( tt处处),( ttRX连续连续，故故 t X均方连续均方连续，因此均方可积因此均方可积， 1 0 dtXY t 存在存在。 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 2 ),( dtdsstR dtdsXXEdsXdtXEdtXEYE X ststt 将将),( stRX代入计算积分即可。代入计算积分即可。 由由1，得：，得： ,min)21 (,min)(),( 2 ststststsNtNEstR stX 3 1 ,min),( 1 0 1 00 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 2 dssdtdstdtdtdsstdtdsstR dtdsXXEdsXdtXEdtXEYE t t X ststt （11）解）解： （a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此 链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：, 2 , 1 , 0 , 1, 2,S。 （b） 其他, 0 1, 3 . 0 , 4 . 0 1, 3 . 0 1 ij ij ij iYjYPp nnij 其他, 0 2,3 . 0 1, 4 . 03 . 02 ,3 . 024 . 0 1, 4 . 03 . 02 2,3 . 0 )2( 2 22 2 2 ij ij ij ij ij iYYPp nnij 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 8 （c）即求首达概率，注意画状态转移图。）即求首达概率，注意画状态转移图。 03096 . 0 4 . 03 . 04 . 03 . 0325 324 0 P （12）解）解： （a）0)(tXE 21 2 2121 cos 2 )()(),(tt A tXtXEttRXX， 2 )( 2 A tXD （b）0)()(),( 2121 tYtXEttRXY （13）解）解： （a）如）如 12 题题 （b）略）略 （14）解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：）解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得： / / )()()(ttmtm XX )(),min( ),( ),( 22 22 sttsst stst stR stR X X （15）解：略。）解：略。 （16）解）解： （a）0) 1 () 1 ()( t WtE t tWEtmX ,min 1 , 1 min) 1 () 1 () 1 () 1 (),( 2 ts ts st t W s WstE t tW s sWEtsRX tttRX 2 ),(连续，故均方连续，均方可积。连续，故均方连续，均方可积。 （b）ttEWtDWtWEtmX 222 )()()()( 244 3)(),(sststsR均方连续，均方可积。均方连续，均方可积。 （17）解：略。）解：略。 （18）解：略。）解：略。 （19）解：）解：0 Y m t X s YY duvuRdvtsRtsC 00 )(),(),( t X t X t Y dxxRxtduvuRdvtD 000 )()(4)()( （20）证明：令）证明：令X为为)( 1 tN的任一到达时间间隔并且的任一到达时间间隔并且)( 1 ExX，即，即X的分布密度为：的分布密度为： 0,0 0, )( 1 1 t te tf t X 由此可知：由此可知： 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 9 , 2 , 1 , 0, ! )( )(), 0,)( 21 2 21 1 0 1 2 0 122 12 1 ktdee k t tdetXktNPXtktNPp k tt t k （21）解：由定义，）解：由定义，随机过程随机过程0);(ttY的均值函数为：的均值函数为： 2/2)(1)( 0)(01)(1)()( tXPtYP tYPtYPtYEt Y 而而 2/2)sin( 2 1 2/2)sin( 2 1 2/2)sin( 2 1 12/2)sin() 1 ( 02/2)sin(012/2)sin() 1( 2/2)sin(2/2)( tPtPtP VPtP VPtPVPtP tVPtXP 由于当由于当)2, 0(U时，随机变量时，随机变量)sin()(tt的分布密度为：的分布密度为： 它其,0 11, 1 1 )( 2 )( x x xf t 因此有：因此有： 4 1 2/2)(tXP 即：即： 4 1 )(t Y （22）证明：由于）证明：由于ts ，有，有 ntNP knstNPksNP ntNP ntNksNP ntNksNP )( )()( )( )(,)( )(/)( 其中其中 )( )!( )( ! )( )()( st kn s k e kn st e k s knstNPksNP t n e n t ntNP ! )( )( 所以所以 中科院研究生院 20052006 第一学期随机过程讲稿孙应飞 10 knk k n kn kn k k t n st kn s k t s t s C knk n t st t s e n t e kn st e k s ntNksNP 1 )!( ! !)( ! )( )!( )( ! )( )(/)( )( （23）解解：由由0, )(ttB为标准布朗运动可知为标准布朗运动可知0, )(ttB为正态过程为正态过程，由正态分布的性质可由正态分布的性质可 知知)(btaB为正态过程，令为正态过程，令)()(btaBtY，则有，则有 ,min,min)()()()(),( 222 stbabsbtabsBbtBEasYtYEstRY 因此，要使因此，要使)(btaB仍为标准的布朗运动，必须仍为标准的布朗运动，必须1 2 ba，即：，即： 0, 1 b b a （24）解）解： （a） k R的分布为：的分布为： wbr wb wbr r P Rk01 （b） k R的一步转移概率为：的一步转移概率为： 1 1 1 11 1 wbr wb wbr r wbr wb wbr r P （25）证明：计算得：）证明：计算得：0)( 2 YEXEttE 222222 ),( YX stYXsYXtEstR 由于相关函数的导数为：由于相关函数的导数为： ts st stR stR X 2 4 ),( ),( 它是一连续函数，因此它是一连续函数，因此过程过程)(t均方可导，均方可导，)(t导过程的相关函数由上式给出。导过程的相关函数由上式给出。 （26）解：由标准维纳过程的定理：设）解：由标准维纳过程的定理：设0);( 0 ttW为标准维纳过程，则对任意为标准维纳过程，则对任意 n ttt 21 0，)(,),(),( 02010n tWtWtW的联合分布密度为：的联合分布密度为： n i iiiinn ttxxptttxxxg 1 112121 );(),;,( 其中：其中： 2 exp 2 1 );( 2 t x t txp 中科院研究生院 20052006 第一学