同济六版线性代数试题及答案.pdf

同济六版线性代数试题 一、填空题一、填空题（每小题（每小题2分，共分，共14分）分） 1、设、设A是是3阶矩阵，且阶矩阵，且 ， 是是A的伴随矩阵，则：的伴随矩阵，则： 2 1 A bAx A AA2)3( 1 TT )5 , 4 , 3 , 2(,)4 , 3 , 2 , 1 ( 21 2、设四元非齐次线性方程组、设四元非齐次线性方程组 的系数矩阵的系数矩阵A的秩为的秩为3，且，且 是该方程组的两个解，则是该方程组的两个解，则 方程组方程组 的通解为的通解为: EAB 2 bAx 3、已知三阶方阵、已知三阶方阵A的特征值为的特征值为1，-1，2，则矩阵，则矩阵 的特征值为：的特征值为： ， B 27 16 Rkk TT ,) 1 , 1 , 1 , 1 ()4 , 3 , 2 , 1 ( 20 5 , 2 , 2 4、设有向量组、设有向量组 ,), 3 , 1 (,) 3 , 2 , 1 (,)2 , 1 , 1 ( 321 TTT t t 321 , ),(),( 2121 BA 问问 时向量组时向量组 线性相关。线性相关。 5、设、设3阶矩阵阶矩阵 ，且，且 5, 3BA BA则则 6、已知矩阵、已知矩阵 与与 相似，相似， x A 10 100 002 y 100 00 002 yB x则则 4 32 1 0 7、已知实二次型、已知实二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 444)(),(xxxxxxxxxaxxxf 经正交变换经正交变换 可化为标准形可化为标准形 ，则，则a= Pyx 2 1 12yf 二、单项选择题（每小题二、单项选择题（每小题2分，共分，共10 分）分） 1、若、若4阶矩阵阶矩阵A的元素均为的元素均为1，则，则A的特征值为（的特征值为（ B ） （A）1，1，1，1； （B）4，0，0，0； （C）1，1，0，0； （D）1，0，0，0. 2、设、设A为为m*n矩阵，且矩阵，且R(A)=mn，则（，则（ D ） （A）A的任意的任意m个列向量线性无关；个列向量线性无关； （B）A经过若干交初等行变换可化为（经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式；的形式； （C）A中任一中任一m阶子式为零；阶子式为零； （D）Ax=0必有无穷多解。必有无穷多解。 3、设、设A为为n阶方阵，则方阵（阶方阵，则方阵（ C ）为对称矩阵。）为对称矩阵。 （A）A-AT； （B）CACT（C为任意为任意n阶矩阵）阶矩阵） （C）AAT； （D）(AAT)B (B为任意为任意n阶对称矩阵）阶对称矩阵） 4、设、设A为为n阶方阵，且阶方阵，且 ，则，则 （ A ） 0 aA A .)(;)(; 1 )(;)( 1nn aDaC a BaA 5、设、设A，B为满足为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（的任意两个非零矩阵，则必有（A ） （A） A的列向量组线性相关，的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；的行向量组线性相关； （B） A的列向量组线性相关，的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；的列向量组线性相关； （C） A的行向量组线性相关，的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；的行向量组线性相关； （D）A的行向量组线性相关，的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；的列向量组线性相关； 三、计算行列式（每小题三、计算行列式（每小题5分，共分，共10 分）分） 2352 4602 2113 5014 D 1、 218 2、 n n a a a a D 1111 1111 1111 1111 3 2 1 其中其中 ), 2 , 1(0niai 四、完成下列各题（四、完成下列各题（1、2小题小题3分，分，3题题4分，共分，共10 分）分） 1、已知、已知n阶矩阵阶矩阵A满足满足A2+2A-3E=0，试证：，试证：A+4E可逆，可逆， 并求出（并求出（A+4E）-1. EEAEA EEAEA )2( 5 1 )4( 5)2)(4( n i i n i i a a 11 ) 1 1 ( 2、已知向量组、已知向量组 线性无关，试证向量组：线性无关，试证向量组： ,2 21332123211 321 , 线性无关。线性无关。 3、设、设4阶方阵阶方阵A满足条件满足条件 0,2, 023AEAAAE T A求求A的伴随矩阵的伴随矩阵 的一个特征值。的一个特征值。 五、解矩阵方程（满分五、解矩阵方程（满分7分）分） 设矩阵设矩阵 321 363 122 A BAAB且且 ，求矩阵，求矩阵B。 六、（满分六、（满分9分）分） 设有线性方程组设有线性方程组 5)8(53 34)2(32 12 1 4321 4321 432 4321 xaxxx bxxaxx xxx xxxx 问当问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解，取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解， 并求有无穷多解时的通解。并求有无穷多解时的通解。 七、（满分七、（满分10分）分） 求一正交变换求一正交变换 ，将二次型，将二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 84444),(xxxxxxxxxxxxf Pyx 化为标准形。化为标准形。 八、（每小题八、（每小题5分，满分分，满分10分）分） 1、设线性方程组、设线性方程组 03 02 022 321 321 321 xxx xxx xxx 的系数矩阵的系数矩阵A，三阶，三阶 矩阵矩阵B不等于零，且不等于零，且AB=0，试求，试求 的值，并证明的值，并证明 0B 2、设矩阵、设矩阵 ，矩阵，矩阵 101 020 101 A 2 )(AkEB，其中，其中k为为 实数，实数，E为为3阶单位阵，试求对角矩阵阶单位阵，试求对角矩阵 ，使，使B与对角阵与对角阵 相似，并求相似，并求k为何值时，为何值时，B为正定矩阵。为正定矩阵。 四、四、2）证：设有数）证：设有数 321 ,kkk0 332211 kkk使得使得 即：即： 0)()()2( 21332123211 kkk 04 012 111 111 0)2()()( 32123231321 kkkkkkkk整理得：整理得： 国为向量组国为向量组 线性无关，所以线性无关，所以 321 , 02 0 0 21 321 321 kk kkk kkk 由此求方程组的系数行列式由此求方程组的系数行列式 只有惟一零解，所以只有惟一零解，所以 线性无关。线性无关。 四、四、3）解：由）解：由 023 AE 若若 是是 A的一个特征值，则的一个特征值，则 是是 的特征值。的特征值。 1622 4 2 EA 2 3 可知可知 EAAT2 A 是是A的一个特征值。的一个特征值。 0A4A 所以所以 3 8 2 3 4 A 而因为而因为 故故 A从而有从而有 是是 的一个特征值。的一个特征值。 第七题、第七题、 3 2 53 5 0 3 2 53 4 5 1 3 1 53 2 5 2 , 321 pppp 2 3 9yf 八、八、1）解：）解： 0, 3)(BBR 1, 0A 0, 0 311 21 122 BA 3)(, 3)(, 0BRARAB 并且并且 因为因为1）可知）可知 八、八、2）解：）解： 22 101 020