数值分析第五版第1章习题答案李庆扬.pdf

第 1 章 复习与思考题 1、什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 答：数值分析是研究数值问题的算法，概况起来有四点： 第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法，即算法只能包括计算 机能直接处理的加、减、乘、除运算和逻辑运算。 第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值 稳定性，还要对误差进行分析，这些都是建立在相应数学理论基础上 第三， 要有好的计算复杂性，时间复杂性是指能节省计算时间，空间复杂性是指能节省计 算存储空间，这也是算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 要有数值试验， 即任何一个算法除了从理论上要满足上述三个条件外， 还要通过数值试验证 明是行之有效的。 2、何谓算法？如何判断数值算法的优劣？ 答：将连续问题离散化，使得输出数据是原函数在求解区间上的离散点的近似值，就是“数 值问题” ，求解“数值问题”的各种数值方法就是算法。 判断数值算法的指标是计算复杂性，分为时间复杂性和空间复杂性。 3、列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差和舍入误差的区别？ 答：科学计算中的误差的三个来源是：截断误差、舍入误差和模型误差 截断误差是数值计算方法的近似解与模型精确解之间产生误差。 舍入误差是计算机由于字长限制，原始数据在计算机上表示时产生的误差。 4、什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何 关系 答：绝对误差是计算机计算的近似值与模型精确值之间的差值的绝对值 相对误差是绝对误差除以精确值的绝对值，通常使用绝对误差除以计算机计算的近似值 的绝对值表示 近似数的有效数字：若近似数第 m 位有效，而第 m+1 为无效，则从第 m 位向前数到 X* 的第一位非零数字共有 n 位。就说近似数具有 n 位有效数字。 此时的近似数的绝对误差不大于第 m 位的半个单位。即有效数字越多，绝对误差限越小 5、什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定的算法不能使用 答：如果一个算法在计算过程中有舍入误差，而舍入误差在计算过程中不增长，则称此算法 是数值稳定的。 通过误差传播是否扩大可以判断算法是否稳定 不稳定的算法，其误差传播是扩大的，导致计算结果不准确，因而不能使用。 6、什么是问题的病态性？它是否受所用算法的影响 答：对于一个数值问题本身，如果输入数据有微小的扰动（即误差） ，引起输出数据（即问 题解）相对误差很大，这就是问题的病态性。 病态问题是数值问题自身固有的，与所用算法无关。但选择算法可以减少误差的危害。 7、什么是迭代法，试利用 x3-a=0，构造计算 3 的迭代公式 答：迭代法是指按同一公式重复计算逐次逼近真值的算法。 x3-a=0 令X = X0 + X 则(X0 + X)3= a 有03+ 302+ 302+ 3= a 由于x 时是小量，若省略高阶项x 的二次方和三次方。有 03+ 302= a 即x = (a 03)/(302) 于是有x1 = x0 + x x0 + 302 0 3 , 重复，可以得到迭代公式 +1= 2 3 + 32 8、直接利用以直代曲的原则构造方程 x2-a=0 的根 x*=的迭代法 答：+1= 2 2 = 2 + 2 9、举例说明什么是松弛技术。 答： 刘徽的割圆术计算的方法， 取松弛因子=36/105， 加速计算得到了的近似值 3.1416 10、考虑无穷级数 1 ，它是发散的，在计算机上计算它的部分和，会得到什么结果？ 为什么？ 答：计算结果不会发散。原因是受计算机字长的限制，当 n 趋近于无穷时，1/n 趋近于 0， 受计算机字长的限制，会直接得零。因此，总和在 n 达到某一个值（受计算机字长限制，可 由字长计算）后，总和保持不变。 11、判断下列命题的正确性 （1）解对数据的微小变化高度敏感是病态的 对 （2）高精度运算可以改善问题的病态性 错 （3）无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值 错 （4）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值 错 （5）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值 对 （6）两个近似数相减必然会使有效数字损失 对 （7）计算机上将 1000 个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的 错 习题 1、 设 X0,X 的相对误差为，求 lnX 的误差 解：设近似值为*0X，依据定义 r(X*) |X* X|/X*E (X*)|X*-X|= X*E 所以*XXX 解法 1： 按定义求解 E(lnX)=|lnX-LnX*|=ln(X/X*)=ln(1- ) r(lnX) |lnX ln*|/lnX*ln(1)/lnX*ln(1)/lnX*EX 解法 2： 按泰勒展开求解， 2 (x)(x*)= (x*)(x x*)“( )(x x*)ffff 则： 1 (lnX*) |lnX lnX*| lnX* (X X*)* * r(lnX*) |lnX lnX*|/ln*/ln* EX X EXX 问题是解法 1 错了吗？ 没错，当很小时，ln(1- )= 2、设 X 的相对误差为 2%，求 n X的相对误差 解：由已知条件 设 X*X 为 X 的近似数，有 Er( *)=|(X-X*)/X*|=0.02X 所以* 0.02*XXX 解法 1： 按照定义： (1 0.02)X* (1.02) nnnn XX (X )(XX* )/ X*1.021(1 0.02)1 nnnnn Er 多项式展开，有 1 0 (X )0.02 n nn i i Er 解法 2： 按照泰勒展开 11 (X )(XX* )*(X X*)nX*(0.02X*)0.02X* (X )(XX* )/X*0.02* /*0.02 nnnnnn nnnnnn EnX ErnXXn 问题是解法 1 错了吗？ 1 0.02 n n i i 收敛于（0.02/(1-0.02)= 0.002004008016032064128256）与 0.02n 不一致。如何解 释？ 应该没有错，按照泰勒展开，相当于将误差限放大了。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字 * 1 1.1021x， * 2 0.031x， * 3 385.6x， * 4 56.430x， * 5 7 1.0x。 解： X1 有 4 位有效数字；X2 有 1 位有效数字；X3 有 3 位有效数字；X4 有 1 位有效数字 4、利用公式（2.3）求些列各近似值的误差限 * 124 xxx ， * 123 x x x ， * 4 * 2/ x x 其中 * 1234 xxxx， ， ， 均为上题给出的数。 公式（2.3） ： 1 (A*)|()*| (X ) n k k k f X 解： *4333 124124 ()()()()0.5 100.5 100.5 101.05 10xxxxxx * 123231132123 431 3 ()()()() 0.031 385.6 0.5 101.1021 385.6 0.5 101.1021 0.031 0.5 10 (0.59768 212.48488 1.708255) 10 0.214790815 x x xx xxx xxx xx * 2* 2442244 323 3 3 5 (/)1/()/()() 1/56.430 0.5 100.031/(56.430)0.5 10 (1 0.031/56.430)/56.430 0.5 10 =(0.99945064681906787169945064681907) 0.5/56.430 10 0.8856 10 xxxxxxx 5、计算求体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 所允许的相对误差是多少？ 解： 球的体积公式 3 VR 利用公式 2.3 有 23 (V)3R(R)/R3 (R)/ R0.01r 有(R)0.01 /3R (R)(R)/1/300rR 6、设 Y0=28，按递推公式 1 1 783 100 nn YY，1,2,3.n 计算到 Y100，若取78327.982（5 位有效数字） ，试问计算 Y100 将有多大的误差 解： 令 n Y和 n Y分别表示准确值和近似值，绝对误差 nnn (Y )(YY )，所以(Y )0 n 。 1 1 1 783 100 1 27.982 100 nn nn YY YY 所以 nnn 11 n 1n 1 n 2n 2 00 (Y ) |(YY )| 11 |(783)(27.982)| 100100 11 |(YY)(27.982783)| 100100 11 |(YY)2 (27.982783)| 100100 11 |(YY )(27.982783)| 100100 11 |(27.982783)| 100100 nn YY n n 当 n=100 时 3 n 11 (Y ) |100 (27.982783)| |27.982783 | 0.5 10 100100 此种迭代，误差越来越大，属于不稳定算法。 7、求方程 2 5610XX的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（78327.982） 解：利用求根公式有 2 1,2 4 2 bbac X a 令 22 2 1 456564 2828128783 22 bbac X a 2 2 4 28783 2 bbac X a 当78327.982，具有 5 为有效数字。 因此 1 28 27.98255.982X，具有 5 位有效数字，符合题意的要求。 2 2827.9820.018X，只具有 2 位有效数字，不符合题意的要求。 因此将 2 2 11 287831.78629 10 55.98228783 X，具有 5 位有效数字，满 足题意的要求。 此题的重点是，要注意两式相减时其有效位数是会降低的。因此，要避免 2 个接近的数字相 减。 8、当X Y时，计算lnlnXY有效位数会损失，改用ln lnln x xy y 是否就能减少舍 入误差？（提示：考虑对数函数何时出现病态） 。 解：令 X Z= Y 利用 3.3 式，相对误差比值 (x)(x*)(x) | | (X)(x) ffxf ff 有 1 * lnzlnz*1 * | | | lnz*lnz*lnz* z z 由于 X Z=1 Y 因此ln0z，所以 lnzlnz* |1 lnz ，故误差是扩大的。 只有当|ln *| 1z，即|*| |*|XeY时，误差才会减少。 答：因此改用lnlnln x xy y 不能减少舍入误差。 问题：对于本题，该如何得到要求精度的解。 9、正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2 cm? 解： 面积公式： 2 SL 2 (S)(L )2(L)2*100 (L)1L 所以 1 (L) 200 ， 即 1 L=100 200 cm 10、设 2 1 2 Sgt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加 时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 证明： 根据绝对误差和相对误差定义有： 2 (S) |2gt (t)| |0.2| 0.2gt (t)0.1 (S) | (S)/2gt | | gt r tt 从上式可以看出，当t增加时，(S)增加而(S)r减少 11、序列 n y满足递推关系 1 101 nn yy1,2,3.,n，若 0 21.41y（三位有效数 字） ，计算到 10 y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 此题同第 6 题 解：设 n y和 n y分别为递推公式的准确值和精确值 有 00 2,1.41yy 1010109999 10 00 1028 (Y ) |Y| |(10Y1)(10Y1)| |10(YY )| |10 (YY )| |100.5 10| |0.5 10 | Y 因此，计算过程是不稳定的。 12、计算 6 ( 2 1)f， 取21.4， 利用下列公式计算， 哪一个得到的结果最好？ 6 1 ( 2 1) ， 3 (3 2 2)， 3 1 (3 2 2) ，9970 2。 解：利用泰勒展开有 141 7 67 116 () | 6| (1.4) | 0.5 106.54 100.5 10 2.4( 2 1)( 2 1) ，即 1 位 有效数字保留了下来 32111 (3 2 2) ) |6(3 2 2) | (1.4) |6 0.2| 0.5 100.6 100.5 10，没有 有效数字 141 4 34 116 () | 6()| (1.4) | 0.5 100.265 100.5 10 5.8(3 2 2)(3 2 2) 即 1 位有效数字保留了下来 11 (99 70 2) |70| (1.4)35 100.5 10，没有有效数字 13、 2 ( )ln(1)f xxx，求)30(f的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有 多大？若改用另一等价公式 22 ln(1)ln(1)xxxx计算，求对数时误差有多 大？ 解： 使用六位函数表时， 2 30 -1= 899=29.9833，则 4 (30)0.5 10 利用泰勒展开有 4 2 424 1 ( ()| (30) (30)| 0.5 10 1 1 =| 0.5 100.2994 100.5 10 3029.9833 f Xf xx 降低了计算精度 4 2 464 1 ( ()| (30) (30)| 0.5 10 1 1 =| 0.5 100.8336 100.5 10 30 29.9833 f Xf xx 保持了计算精度 本题说明，选择合理的计算方法能保持计算精度不降低。本题中的 2 种方法计算精度相差 100 倍 14、用秦九韶算法求多项式 53 ( )327p xxxx在3x处的值。 解： 秦九韶算法迭代公式为 00 1iii ba bb xa 因此有 0 1 2 3 4 5 3 9 0=9 272=25 75 0=75 225 1 226 3 7=685 b b b b b b 即(3)685p 15、用迭代法 1 1 (k0,1,2,3) 1 k k x x 求方程 2 10xx的正根 15 * 2 x，取 0 1x，计算到 5 x，问 5 x有几位有效数字？ 解 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 111 0.5 11 12 112 0.667 11 0.53 113 0.6 2 15 1 3 115 0.625 3 18 1 5 118 0.6154 5 113 1 8 x x x x x x x x x x 即 5 5 815 132 8 0.6154 13 x x 而 -1-1 29 |5| 0.0053=0.053 100.5 10 13 即有 1 位有效数字 16、用不同的方法计算积分 0.5 0 x e dx 1）用原函数计算到 6 为小数 2）用复合梯形公式（4.7） ，取步长 0.25 3）利用 T1 及 T2 的松弛法（4.8）求 S1。 解： 1） 0.5 0.5 0 0.5 10.648721 0 xx e dxee 2）取步长 0.25，即 h=（0.5-0）/n=0.25,解得 n=2. 所以 2 1 1 0112 (f)f(x)f(x ) 2 f(x )f(x )f(x )f(x ) 22 ii i h I hh 其中 X0=0,X1=X0+h=0.25,X2=X0+2h=0.5 02