挑战江苏高考数学填空压轴题.pdf

1 “挑战挑战”高考填空压轴题高考填空压轴题 睢宁县古邳中学 苗勇 “压轴” 原本是戏曲名词， 我们不去考证其准确的含义.这里的所谓 “高考填空压轴题” ， 特指在江苏 08 年以来高考模式下填空题的第 13,14 题， 由于高考选拔的需要和题目所处的 位置，第 13,14 题往往难度较大，常在知识的交汇处命题，涉及的知识点更多，对能力的 要求更强，需要学生有更好的数学素养，学生更不容易得分.能否解答或顺利解答填空“压 轴题”，对优生和“边缘生”有着特别重要的意义，一方面，做对能使高考总分绝对增加，另 一方面如果能顺利完成这两题，对学生的应试心理会产生积极的影响，学生就会有更多的 时间解答其他题目，就会更好的解决其他问题. 一、学生一、学生“挑战挑战”失败原因分析：失败原因分析： 1.知识层面的原因知识层面的原因.相关知识的掌握，是学生解决数学问题的根本，不具备相关数学知 识，数学解题就成了“无源之水”. 例 1(08 年江苏高考 13)若2,2ABACBC，则 ABC S的最大值 解答本题一般是联想三角形面积公式 1 sin 2 ABC SAB ACA ， 将三角形面积表示为 边的函数，此方法思路自然，但解答繁琐.本题的另一种解法就是以 AB 所在的直线为x轴， 其中垂线为y轴建立直角坐标系，则( 1,0),(1,0)AB，设( , )C x y，由2ACBC可得 2222 (1)2 (1)xyxy，化简得 22 (3)8xy，即 C 在以（3，0）为圆心， 2 2为半径的圆上运动.又 1 2 2 2 ABCcc SAB yy ，从而得三角形面积最大值为 2 2. 有人提出，此解法虽然简单，但不易想到，这就说明不能用此法解题正是知识储备不 2 足的原因导致.此题在教材中是有原型的(见苏教版必修 2 第 100 页：已知点( , )M x y与两个 定点 O（0,0）和 A（3,0）与的距离的比为 1 2 ，那么 M 点坐标应满足什么关系？画出满足 条件的点 M 所形成的曲线).一般的，平面内到两定点,A B的距离之比为常数(0,1) 的动点 M 的轨迹是一个圆.这个轨迹最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的的，故一般 称为阿波罗尼斯圆.高考和各类模拟考试也经常以此为背景进行命题. 链接链接 1 (13 年江苏高考年江苏高考 17)在平面直角坐标系xOy中，点 0 3A, ，直线24lyx：. 设圆的半径为 1，圆心在l上. (1) 略； (2) 若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围. 分析： 显然若仅考虑条件2MAMO， 点 M 的轨迹的一个圆(阿波罗尼斯圆)， 则在圆C上 存在点 M 使2MAMO，等价于此圆与圆 C 有公共点，从而转化为圆与圆的关系问题. 链接链接 2 （15 年高考湖北理年高考湖北理 14）如图，圆C与x轴相切于点(1, 0)T，与y轴正半轴 交于两点,A B（B在A的上方） ， 且2AB （）圆C的标准 方程为； 3 （）过点A任作一条直线与圆 22 :1O xy相交于,M N两点，下列三个结论： NAMA NBMB ；2 NBMA NAMB ；2 2 NBMA NAMB 其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号） （）分析：易求出(0, 21)A，(0, 21)B，然后可求出圆 22 :1O xy上任意一点 P 满足21 PA PB ，即21 NAMA NBMB ，从而知都正确. 2.解题策略的层面的原因解题策略的层面的原因.有些数学问题，若从常规解法入手，虽能解答，但可能过程繁琐， 解题长度过大，造成“隐性失分”，如果能掌握一定的解题策略，则可事半功倍. 例 2 (08 年江苏高考 14 题) 3 ( )31f xaxx对于1,1x 总有( )0f x 成立，则 a=. 分析：( )0f x 恒成立 min ( )0f x，1,1x ， 22 ( )333(1)fxaxax ， 若要判断函数单调性，需分0,0,0aaa进行讨论，并且还可能进行二级分类，比较 繁琐，另外一种解法是分离参数，但要对x进行分类讨论，也较繁琐.有一种解题策略就比 较巧妙，先利用必要条件缩小参数取值范围，从而减少分类. 解：由题意可得( 1)04fa，(1)02fa， 当24a时，( )0fx， 1 1 x a ， 2 1 x a ， 12 10,01xx ， 所以( )f x 在 1 1, a 和 1 ,1 a 上 单 调 递 增 ， 在 11 (,) aa 上 单 调 递 减 ， 所 以 min 1 ( )min ( 1),(f xff a ( 1)40 04 11 ()1 20 fa a f aa 4 在前面的解法中，我们先由( 1)0,(1)0ff得( )0f x 在 1,1上恒成立的必要 条件24a，从而先缩小参数取值范围，使讨论情况在大为减少，不失为一种重要的解 题策略.更有甚者，再由 1 ( )04 2 fa，便可“夹逼”出的4a .有人说，这里的 1 2 似是 “帽子里蹦出个兔子”，此解法实属巧合，其实不然，画一下函数 3 yax和31yx的图 象就知道 1 2 怎么来的了. 3.思想方法层面的原因思想方法层面的原因.没有思想， 就没有方向， 思想是“内功心法”， 方法是“一招一式”， 没有思想方法，“挑战”就容易失败，缺乏必要的思想方法的引领，问题就难以解决. 例 3（13 年江苏高考 13）平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数 )0( 1 x x y图像上一动点，若点AP,之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所 有值为. 解 析 ： 第 一 步 ， 将 几 何 问 题 转 化 为 代 数 问 题 ， 设 0 0 1 (,)P x x ， 0 (0)x ， 则 有 22222 000 2 000 112 ()()22 a PAxaaxaxa xxx ，第二步，换元转化为二次函数问 题，令 0 2 0 1 2xt x ，则 22222 00 00 11 ()2 ()22222PAxa xatata xx 此时已转化为我们熟悉的问题：求函数 22 ( )222g ttata在2,)上的最小值. 数学思想中，最重要的转化与化归的数学思想，一个数学问题的解决过程，实际上就 是对这个问题不断转化的过程，直到转化为熟悉的问题或已解决的问题为止. 4.能力层面的原因能力层面的原因.数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 数据处理能力.填空压轴题，由于难度相对较大，对学生的能力提出了更高的要求. 例 4(09 年江苏高考 13)如图，在平面直角坐标系xoy中， 1212 ,A A B B为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的四个顶点，F为其右焦点，直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T， 线段OT与椭圆的交点M 恰为线段OT的中点， 则该椭圆的离心率为. 本题思路较为简单，用, ,a b c表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率，但真正能做 出正确的结果则需要学生有较强的运算能力. 例 5（09 年江苏高考 14）设 n a是公比为q的等比数 列，| 1q ，令1(1,2,) nn ban若数列 n b 有连 续四项在集合 53, 23,19,37,82 中，则6q . x y A1 B2 A2O T M 5 解析：问题转化为等比数列 n a有连续四项在集合 54, 24,18,36,81 中，又知等比数列各 项符号只有 4 种情况，全正，全负，正负相间或负正相间，所以等比数列 n a的四项在集 合中选取时，必需把两个负数选上，而且数列中这两个数之间有一个正数，又由| 1q ，得 2 549 244 q ，所以 3 2 q ，所以69q . 本题计算量不大，甚至口算即可，能否解决取决于考生是否具有较强的推理论证能力. 5.心理层面的原因心理层面的原因.平时教学中，有部分老师经常给学生灌输这样的思想：填空题的压轴 题，不是给我们一般学生做的，那是给考清华、北大的学生做的，考试时看一下题目，若 没有什么思路，还是放弃吧，以便争取更多时间解决其他问题”.这样长期下去，就会给学 生造成一种心理暗示“题目难，我不行”，以致于学生可能解决的问题而得不到解决.其实不 完全如此，填空“压轴题”不是如此之难，有些还相对简单. 例 6 (14 高考江苏 14)若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值 是 解析：第一步利用正弦定理，由sin2sin2sinABC得22abc，第二步利用余弦 定理得 222 cos 2 abc C ab ，第三步消去c得 22 312 422 cos 2 ab ab C ab ，第四步应用 不等式得 62 cos 4 C . 本题虽涉及知识较多，但基本上熟悉问题，和平时所做题目相似度较高，解决起来还是相 对容易一些的，中等以上学生基本上可以正确解答，轻易放弃，实是可惜. 例 7(15 年江苏高考 14)设向量(cos,sincos) 666 k kkk a，0,1,2,12k ，则 11 1 0 () kk k aa的值为 本题在知识上考查了平面向量的数量积和两角和与差的正弦、余弦两个 C 级考点，看 似难度很大，实际上我们只要返璞归真，用最原始的方法，便可一招致胜. 解析：计算 1kk aa后必然要降幂升角，所以 1kk aa是关于k的周期为 6 的函数，所以 11 1011223344556 0 ()2() kk k aaaa +a a +aa +aa +aa +aa， 6 而 0 (1,1)a， 1 33 1 (,) 22 a， 2 13 1 ( ,) 22 a， 3 (0,1)a， 4 13 1 (,) 22 a， 5 33 1 (,) 22 a， 6 ( 1, 1) a， 所以 01 33 1 22 aa， 2 12 3( 3 1) 44 a a， 23 3 1 2 aa， 34 3 1 2 aa， 2 45 3( 3 1) 44 aa， 56 33 1 22 aa， 011223344556 9 3 2 aa +a a +aa +aa +aa +aa，所以 11 1 0 ()9 3 kk k aa 高考，不仅是知识和能力的较量，也是毅力和耐心的比拼，非智力因素有时也起着重 要的作用.本题的很多解法，可能要用到两角和与差的三角函数公式，积化和差公式等，但 都仍计算繁琐，都不能迅速有效解决问题.上面解法“似拙实妙”，事实证明，倒不如这样老 老实实计算. 二、教学建议二、教学建议 1.加强加强 C 级考点和学科主干知识的教学级考点和学科主干知识的教学. 通过对近几年“填空压轴题”的归类分析，我们会发现考查的知识是以主要还是 C 级考 点或数学学科的主干知识.例如 09 年，11 年，13 年都考查了等差等比数列，08 年，10 年， 14 年，15 年都考查了函数与导数，两角和与差的正弦余弦，一元二次不等式和基本不等式 都是重点考查内容. 例 8（14 年江苏高考 13）已知)(xf是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当)3 , 0x时， | 2 1 2|)( 2 xxxf,.若函数axfy)(在区间4 , 3上有 10 个零点(互不相同),则实 数a的取值范围是. 解析：作出函数的简图，由图象分析可得 1 0, 2 a . 例 9(15 年 江 苏 高 考 13) 已 知 函 数( ) |ln|f xx， 2 0,01, ( ) |4| 2,1, x g x xx 则 方 程 7 |( )( )| 1f xg x实根个数为 解析：|( )( )| 1f xg x( )1( )g xf x ，作出函数( )yg x和1( )yf x 的 图象（如图）考察交点的个数为 4， ，方程|( )( )| 1f xg x实根个数为 4. 以上两题突出考查了函数与方程的学科主干知识， 数形结合， 转化与化归的数学思想， 推理与论证的思维能力.从考查知识和方法上如出一辙. 2.落实数学思想方法的渗透落实数学思想方法的渗透 教学中，我们经常将四大数学思想挂在嘴角边（分类讨论、数形结合、函数与方程、 转化与化归） ，这些数学思想在解题中的应用能否落到实处，这还是一个问题.高考中突出 数学思想方法的考查的考题，比比皆是. 例10(12江苏高考14)已知正数a b c，满足：4ln53lnbcaacccacb ，则 b a 的 取值范围是 解： 由453bcaca 得，4 3 5 baa ccc ， 由lnlnacccb得ln ab cc 即 a c b e c ， 设, ba yx cc ，则有 4 53 0,0, x yx yx ye xy 这个不等式组表示的平面 区域是图中的曲边三角形 ABC 及其内部，其中 1 7 ( , ) 2 2 A， by ax 表示区曲边三角形 ABC 及其内部的动点( , )P x y与原点 连线的斜率，经验证，当点P和点 A 重合时， y x 最大，其值为 7，当直线与曲边 BC 相切 时， y x 最小，此是 y e x ，所以 b a 的取值范围是 ,7e 例 11（11 年江苏高考 14）设集合,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA, A x y O B C 8 , 122| ),(RyxmyxmyxB, 若AB ，则实数m的取值范围是 以上两题从思想方法上突出考查数形结合，转化与化归的数学思想. 3.加强计算能力的培养加强计算能力的培养. 计算能力的培养是相当重要的，很多“会而不对”的现象的形成的直接原因就是计算 的错误，另外计算能力不强，计算方法不巧，虽然勉强算对，但也会使用较多时间.教学中， 老师不能认为计算是学生的事， 而长期忽略计算过程的讲解， 学习中很多计算是有技巧的， 不教给学生，一味埋怨学生计算能力差是不对的. 例 12椭圆 C 经过点 A 3 (1, ) 2 ，两个焦点为 12 ( 1,0),(1,0)FF，求椭圆 C 的标准方程； 解法 1：设椭圆 C 的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，根据题意得 22 19 1 4ab ， 22 1ab，解得 2 4a ， 2 3b ，得椭圆标准方程为 22 1 43 xy . 解法 2：设椭圆 C 的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，则 22 12 33 22( )4 22 aPFPF，所以2a ， 22 13ba ，得椭圆标准方程为 22 1 43 xy . 计算要注重方法的合理选择. 例 13在 判 断 函 数 2 2 ( ),1, ln xx f xxe xx 单 调 性 过 程 中 ， 有 同 学 进 行 求 导 得 2 2 22 1 (22)(ln )(2 )(1) 22 ln2ln ( ) (ln )(ln ) xxxxx xxxxx x fx xxxx ，到这里后进行不下 去 了 ， 这 里 要 让 学 生 明 确 判 断 导 数 符 号 常 用 的 手 段 是 分 解 因 式 ， 所 以 在 2 2 1 (22)(ln )(2 )(1) ( ) (ln ) xxxxx x fx xx 中最好考虑分子能否分解因式，而不是将其乘 开，所以 2 22 1 (22)(ln )(2 )(1) 2(1)(ln )(2)(1) ( ) (ln )(ln ) xxxxx xxxxx x fx xxxx 2 (1)(22ln ) (ln ) xxx xx 计算要有明确的目标. 4.强化解题的策略，提高分析问题的水平，教会学生思考强化解题的策略，提高分析问题的水平，教会学生思考.教学中教学中，我们常强调重视通性通 法，淡化解题技巧.但“淡化解题技巧”不是不要解题技巧.题目有共性也有个性，根据题目 的特点，应用巧法“秒杀” ，也是创造性思维的一种表现. 1.特殊化. 9 例 14（11 年江苏高考 13）在锐角三角形 ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 6 ba += cosC ab ，则 tantan tantan CC AB = 解析：不妨构造等腰ABC,其中ab,所以 1 cos 3 C ,于是 2 2 sin 3 C , 1 cos6 sinsinsin()cos 22223 CCC AB , 3 coscos 3 AB,所以tantan2AB,tan2 2C ,故 tantan 4 tantan CC AB . 例 15(12 年江苏高考 13)已知函数 2 ( )()f xxaxb a bR，的值域为0)， 若关 于 x 的不等式( )f xc的解集为(6)mm，则实数 c 的值为 解析：根据题意，函数( )yf x是一条开口向上且和 x 轴相切的抛物线，它在左右平移过 程中截直线yc所得弦长为 6， 显然定弦长 6 决定了c是 一个与 m 无关的定值，特别的当抛物线关于 y 轴对称时， 得3m ，此时 2 ( )f xx，从而9c . 2.先必要再充分或先充分再必要.前面在 08 年江苏高考第 14 题中，我们用必要条件缩小参 数的取值范围，避开了分类讨论.下面再举应用充分条件解题一例. 例 16（13 江苏高考 14）在正项等比数列 n a n a中， 5 1 2 a ， 67 3aa.则满足 nn aaaaaaaa 321321 的最大正整数n的值为. 解析：由 5 1 2 a ， 67 3aa，可求得 6 2n n a ，而 nn aaaaaaaa 321321 可 化为 2 11 55 2 222 nn n ，很多同学做到这儿不会解不等式了，解 2 11 5 2 nn n ，得 1312913129 22 n ，若成立，则成立，若成立，则不一定成立，所以 是成立的充分条件.由于扩大了n的取值范围，所以验证12n 能否满足不等式， 经验证，成立.所以，n的最大值为 12. 3.分解与整合.分解就是把一个复杂的问题分解为若干个简单问题， 分而治之， 各个击破.例如 求几何体体积中的割补法就是一种分解与整合的策略，再如前面提到的 2013 年江苏高考第 P x y O y=c mm+6 10 17 题，就可将问题分解成两个小问题： （1）2MAMO（2）M 在圆 C 上，整合后就是两 圆有公共点，分类讨论也是一种分解与整合的策略. 例 17（2015 年考山东文 20 题改编）若函数 2 ( )(1)ln x x f xxx e 的零点为 0 x且 0 ( ,1xk k，kN，则k的取值的集合为 解析： 1(2) ( )1ln x x x fxx xe ，令 1 ( )1lng xx x ， (2) ( ) x x x h x e ， 当(2,)x时，( )0g x ，( )0h x ，所以( )0fx， 当1,2x时，( )1g x ，而( )h x为增函数，得 1 ( )(1)h xh e ，所以 1 ( )10fx e ， 当(0,1)x时， 2 ( )(1)ln0 x x f xxx e ， 综上，( )f x在(0,1)没有零点， 在1,)为增函数， 而 22 44 (2)3ln2ln81 10f ee 即得( )f x有唯一零点 0 (1,2x ，所求k的取值集合为1. 4.从特殊到一般.从特殊到一般是一种“以退为进”的策略，一般的问题常常较为抽象，难以 切入，解题时不妨先“退”到特殊地方，在解决特殊问题过程中发现规律，再推广到一般， 便可解决问题. 例 18数列 n a满足12) 1( 1 naa n n n ，则 n a的前 60 项和为 解析：先特殊化，分别令1,2,3n 得 21 1aa， 32 3aa， 43 5aa， 得， 31 2aa，+得 24 8aa，得 1234 10aaaa，至此，可以发 现 数 列 可 以 分 组 求 和 ， 再 一 般 化 ， 对 任 意kN， 4241 81 kk aak ， 4342 83 kk aak ， 4443 85 kk aak ，得， 4341 2 kk aa ，+得 4244 168 kk aak ，得 41424344 1610 kkkk aaaak ，所以 n a的前 60 项和为16(01214)1501830 5.变更主元. 例 19 （15 届高三苏锡常镇三模 14） 已知,0a bR a，曲线 2 ,21 a yyaxb x 在区间3,4上至少有一个公共点，则 22 ab最小值为 解析：原条件等价于 2 21 a axb x 即 2 (21)(2)0axbxa在区间3,4上有 解， 2 (21)(2)0axbxa变形为 2 (1)220xaxbx，将, a b看成主元，它 11 表示直线的方程，所以原点到此直线的距离为 2 222 22 ( ) 1 (1)4 xx d x x xx ，求导得 2 22 (2)5 ( )0 (1) x d x x ，所以( )d x在3,4上是增函数，所以 min 1 ( )(3) 10 d xd，即 22 ab最小值为 1 . 100 6.固定变量，“以静制动”.单