平行线的判定和性质_学案.doc

平行线的判定、性质由平行线的画法，引出平行线的判定公理（同位角相等，两直线平行）由公理推出：内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理一般的定义与第一个判定定理是等价的都可以做判定的方法但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明这些都使几何的入门教学困难重重因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。能用平行线的性质进行简单的推理和计算。理解平行线的判定方法和性质区别。点击一：平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线注意：（1）平行线特指在同一平面内的具有特殊位置关系的额两条直线，特殊在这两条直线没有交点（2）今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在直线平行点击二：两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行点击三：平行线的基本性质：平行公理 ：经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。点击四：平行线的判定方法同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行 另外，平行于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一直线的两条直线互相平行针对练习1: 1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( )毛 a.平行或相交 b.垂直或相交; c.垂直或平行 d.平行、垂直或相交 2.下列说法正确的是( ) a.经过一点有一条直线与已知直线平行 b.经过一点有无数条直线与已知直线平行 c.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 d.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( ) a.0个 b.1个 c.2个 d.3个 4.下列说法正确的有( ) 不相交的两条直线是平行线;在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; 若线段ab与cd没有交点,则abcd;若ab,bc,则a与c不相交. a.1个 b.2个 c.3个 d.4个 5.过一点画已知直线的平行线,则( ) a.有且只有一条 b.有两条; c.不存在 d.不存在或只有一条 6.在同一平面内,_叫做平行线. 7.若abcd,abef,则_,理由是_.8.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是_;若两条直线平行,则公共点的个数是_.9.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为_.10.直线l同侧有a,b,c三点,若过a,b的直线l1和过b,c的直线l2都与l平行,则a,b,c三点_,理论根据是_.11.如图所示,已知1=2,ac平分dab,试说明dcab.12.如图所示,已知直线ef和ab,cd分别相交于k,h,且egab,chf=600,e=30,试说明abcd. 答案：1.a 2.d 3.c 4.b 5.d 6.不相交的两条直线 7.cd ef 平行于同一条直线的两条直线平行 8.1个 0个 9.0个或1个或2个或3个 10.在一条直线上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行11. 解:ac平分dab,1=cab,又1=2,cab=2,abcd.12.解:egab,e=30,akf=ekg=60=chf,abcd.点击五：平行线的性质：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线点击六：平行线的距离同时垂直于两条平行线并且夹在两条平行线间的线段的长度叫做平行线的距离。注意：夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则不叫两条平行线的距离针对练习2：1.如图，已知直线ab、cd相交于点o，oa平分eoc，eoc=70，则bod的度数等于（ ）.dcbaeo图1(a)30 (b)35 (c)20 (d)402.如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知，则（ ）.（a）只能求出其余3个角的度数 （b）只能求出其余5个角的度数（c）只能求出其余6个角的度数 （d）只能求出其余7个角的度数3.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）（a）第一次向左拐300，第二次向右拐300 （b）第一次向右拐500，第二次向左拐1300abced（c）第一次向右拐500，第二次向右拐1300（d）第一次向左拐500，第二次向左拐13004.如图,abcd,b=230, d=420,则e=( )（a）230 （b）420 （c）650 （d）1905.如图，已知abcd，直线分别交ab、cd于点e、f，eg平分bef，若efg=40，则egf的度数是 （ ）. （a）60 （b）70 （c）80 （d）906.一个合格的弯形管道，经两次拐弯后保持平行（即abcd），如果c=60，那么b的度数是_.7.如图，直线，被直线所截，如果1=50，那么2=_度. 8.如图，直线ab，直线与，相交，若2=115，则1=_.9.如图所示，直线ab，则a= 度 10.小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：abcd，a=40，1=70，小明马上运用已学过的数学知识得出了c的度数，聪明的你一定知道c=_.11.如图，直线，均与相交，形成1，2，8共8个角，请填上你认为适当的一个条件：_，使得.答案：1.b2.d3.a4.c5.b 6. 120；7. 50；8. 65；9. 22；10. 30；11.略.类型之一：平行线的判定例1：如图，由12，可以判断aabcdbadbccabcddadbc解析：从图形可以先猜想出可能是abcd，也可能是adbc，但是我们发现ad和bc与题目的已知条件无关，这是一种对图形的认识，那么怎么才能构造出我们判断平行的条件呢？这就需要对1、2进行等量代换显然abd12，所以abcd故选a点评：在练习中看图、识图是一种能力，会大大提高解题的速度当然，这道题目还有别的证明方法，三个判定定理都可以证出此题例2、完成下面的推理，并在括号中写出相应的根据如下图所示adedef(已知)ad_()又efdc(已知)ef_()_ ()解析：图中ade和def没有直接给出，所以应自己画出辅助线，如下图此时就可以看一看ade和def是什么关系的角，不难看出它们是一对内错角解：ef 内错角相等，两直线平行bc 同位角相等，两直线平行ad bc 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行点评：在几何中经常要添加辅助线来帮助解题，本题中的辅助线是比较简单的例3、如图，若12，2与3互补，试说明l1l2l3解析：要说明l1l2l3由判定公理可知，必须存在相关的角的关系因此有12，2与3互补，从图形中不难发现同位角和内错角之间的联系，因此只需确定它们的相等关系即可方法一：l是一条直线1与6互补 161802与3互补(已知) 2318036 l1l3(同位角相等，两直线平行)又12，l1l2(同位角相等，两直线平行)l1l2l3(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)方法二：l1与l3相交 14(对顶角相等)12(已知) 242与3互补(已知) 且7与3互补(邻补角)2373 2747 l1l3(内错角相等，两直线平行)又12(已知) l1l2(同位角相等，两直线平行)l1l2l3(平行公理推论)点评：一题多解是提高几何能力的一种重要手段，要尝试使用多种方法解题，迁移到生活中呢？就是要多角度地去观察、分析、解决问题例4、如图所示，直线ab、bc、cd、da相交于点a、b、c、d，12，23180试判定：(1)abcd；(2)adbc解析：根据已知条件和图形，要判定两直线平行，必须从角的关系(相等或互补)来考虑应用哪一种判定方法解：(1)25180(邻补角)23180(已知)35(等量代换)abcd(同位角相等，两直线平行)(2)24(对顶角相等)12(已知)14(等量代换)adbc(同位角相等，两直线平行)类型之二：平行线的性质例1：已知：如图1，l1l2，1=50， 则2的度数是（ ）a135 b130c50 d40 图1解析：本题主要考查平行线特征的应用，观察图形可知1的同位角与2是对顶角，所以1=2.解：选c.【点评】本题是一道比较简单的试题，解决问题的关键是根据平行线的特征以及对顶角的性质，找出1和2的关系.例2：如图2，ab/cd，直线l平分aoe，1=40，则2=_. 图2解析:根据两直线平行同旁内角互补，得1+fob=180，所以fob=180-40=140.根据直线l平分aoe，得bog=70，再根据ab/cd，可得2=bog=70.解:填70.【点评】本题主要是两直线平行同旁内角相等，以及两直线平行，内错角相等性质的应用.例3： 如图3， ab/cd， 若abe=120， dce=35， 则有bec=_度. 图3解析:要求bec的度数，可过e点作ef/ab，根据ab/cd，可得ef/cd，这样可借助平行线的性质找到bec与abe和dce之间的关系.从而求出bec的度数.解:作ef/ab，因为ab/cd，所以ef/cd，所以abe+bef=180，fec=c，所以bec=abe+dce=120+35=155.【点评】当所求的角和两已知平行线没有直接关系时，可通过添加平行线，借助平行线的性质解决.例4：已知:如图4，ab/de，e=65，则b+c的度数是（ ）a.135 b.115 c.65 d.35 图4解析：要求b+c的度数，因为已知e=65，为了得到b+c与e的关系，可过点c作ab的平行线.解：过点c作cg/ab，因为ab/de，所以cg/de，所以e+gce=180，gcb+b=180，所以b+ecb+gce=180，所以e=65，所以gce=180-65=115，所以b+ecb=180-115=65.选c.【点评】当图形中有两条平行线，且涉及到两直线外的角的计算问题时，往往需要作构造平行线.例5：已知：如图5，直线abcd，直线ef分别交ab，cd于点e，f，bef的平分线与dfe的平分线相交于点p说明：p=90 图5解析:根据abcd，可得到bef+efd=180，根据ep、fp分别是bef和dfe的平分线，可得pef+pfe=90，进而epf=90.解：因为abcd，所以bef+dfe=180又因为bef的平分线与dfe的平分线相交于点p，所以pef=bef，pfe=dfe所以pef+pfe=（bef+dfe）=90因为pef+pfe+p=180，所以p=90【点评】本题在求解过程中，用到三角形的内角和等于180这一性质.类型之三：平行线的判定与性质再实际生活中的应用图1 一、在合理用料中的应用例1 ：如图1，一块不规则的木料，只有ab一边成直线，木工师傅为了在此木料上截出有一组对边平行的一块木板，用角尺在ed处画了一条直线，然后又在pn处用角尺画了一条直线，画完后用锯沿ed，pn锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，你认为这样做有道理吗？并说明你的理由。【解析】这样做有道理。根据角尺结构的特点可知，edcpnm90，即edcpnm180，所以pnec（同旁内角互补，两直线平行）。所以木工师傅这样做是有道理的。二、在“拐弯”中的应用例2： 一位学员在广场上练习汽车驾驭，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）a先向左拐30，再向右拐30 b先向右拐50，再向左拐130图2c先向右拐50，再向左拐130 d先向左拐50，再向左拐130【解析】如图2，由题意：汽车两次拐弯后行驶方向相同，说明不但要求abcd，而且方向朝同一方向，怎样才能使abcd呢？则应满足平行的条件（同位角相等；内错角相等；或同旁内角互补）。因此可先将四个选项的图形准确地画出来，再观察判断。故选（a）dbca三、物理光学上的应用图3 例3 ：如图所示，潜望镜中的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（它们的余角有13，46），请解释为什么进入潜望镜的光和离开潜望镜的光线是平行的？【解析】因为镜子是平行的，所以可以把它们看成是两条平行线，根据两直线平行，内错角相等，所以34，又因为13，46，所以1346，所以180（13）180（46），即25根据内错角相等，两直线平行，所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。图4 点评：本题从平行线的性质“两直线平行，内错角相等”出发，得出了平行线，再利用平行线的条件“内错角相等，两直线平行”判别两直线平行。四、解决与方向角有关的问题例4 ：如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东45，如果甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通，乙地所修公路的走向是什么？【解析】因为正北方向的两条直线是平行的，即ab，所以12（两直线平行，内错角相等）。又145，所以245，所以乙地开工的公路走向应为南偏西45。【点评】正确理解方向角的，利用平行线的性质是解此题的关键。基础练习:1直线、中，若，则、的位置关系是 2如图3所示，点d、e、f分别在ab、bc、ca上，若1=2，则 ，若1=3，则 3.如图4所示，若1=2，则 ；若，则bcbc；理由是 .4如图5所示，若1=23，2=60，则ab与cd的位置关系为 cbacba (图4) 3 2 1（图3）fedcba 3 2 1dcba （图5） 3 2 15如图1，若，则_6如图2，则_（填，）7两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的度数之比是，那么这两个角的度数分别是_8如图3，直线，则_9如图4，直线交于，平分，则_10在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）（a） 相交或垂直 （b）垂直或平行 （c）平行或相交 （d）不确定 （图10） 5 4 3 2 111如图10所示，下列条件中，能判断直线的是（ ）（a）2=3 （b）1=3（c）45=180 （d）2=412如图11所示，下列推理中正确的数目有（ ）dcba 4 3 2 1（图11）因为1=4，所以bcad因为2=3，所以abcd因为bcdadc=180，所以adbc因为12c=180，所以bcad（a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个13如图5，直线与直线相交，且，则下列结论：；中正确的个数为（）14如图6，已知是的平分线，则的度数为（）15如图7，直线，则图中与互余的角有（）（图15）fedcba 4 3 2 1个个个个16如图15所示，已知cdda，daab，1=2。试确定直线df与ae的位置关系，并说明理由（图16）edcba17如图16所示，当bed与b，d满足 条件时，可以判断abcd（1）在“ ”上填上一个条件；（2）试说明你填写的条件的正确性18如图8，点分别在上，且， ，下面写出了说明“”的过程，请填写其中的空格因为，（已知），所以，（）因为（已知），所以（）又因为（已知），所以因为，所以19如图9，已知，说明答案：12deac，dfbc 3abab，3，同位角相等，两直线平行 4abcd567，89 10c 11b 12a 13141516dfae，理由是：因为cdda，daab，所以bad=adc=90又因为1=2，所以bad1=adc2，即4=3，所以dfae17（1）bed=bd；（2）理由是：过点e在bed的内部作一个角bef=b，所以abef又因为bed=bd，所以fed=d，所以efcd，所以abcd当堂检测一、选择题:1.如图1所示,下列条件中,能判断abcd的是( )毛a.bad=bcd b.1=2; c.3=4 d.bac=acd (图1) (图2) (图3)2.如图2所示,如果d=efc,那么( ) a.adbc b.efbc c.abdc d.adef3.如图3所示,能判断abce的条件是( ) a.a=ace b.a=ecd c.b=bca d.b=ace4.下列说法错误的是( ) a.同位角不一定相等 b.内错角都相等 c.同旁内角可能相等 d.同旁内角互补,两直线平行5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互( ) a.平行 b.垂直 c.平行或垂直 d.平行或垂直或相交6.如图1所示,abcd,则与1相等的角(1除外)共有( )毛a.5个 b.4个 c.3个 d.2个 (图1) (图2) (图3)7.如图2所示,已知debc,cd是acb的平分线,b=72,acb=40,那么bdc等于( ) a.78 b.90 c.88 d.928.下列说法:两条直线平行,同旁内角互补;同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) a. b.和 c. d.和 9.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) a.垂直 b.平行 c.重合 d.相交 10.如图3所示,cdab,oe平分aod,ofoe,d=50,则bof为( ) a.35 b.30 c.25 d.2011.如图4所示,abcd,则a+e+f+c等于( )a.180 b.360 c.540 d.720 (图4) (图5) (图6) 12.如图5所示,abefcd,egbd,则图中与1相等的角(1除外)共有( ) a.6个 b.5个 c.4个 d.3个二、填空题: 1.在同一平面内,直线a,b相交于p,若ac,则b与c的位置关系是_. 2.在同一平面内,若直线a,b,c满足ab,ac,则b与c的位置关系是 _. 3.如图所示,be是ab的延长线,量得cbe=a=c. (1)由cbe=a可以判断_,根据是_.(2)由cbe=c可以判断_,根据是_.4.如图6所示,如果deab,那么a+_=180,或b+_=180,根据是_;如果ced=fde,那么_.根据是_. 5.如图7所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、后的两条路平行,若第一次拐角是150,则第二次拐角为_. (图7) (图8) (图9)6.如图8所示,abcd,d=80,cad:bac=3:2,则cad=_,acd=_.三、训练平台:1.如图所示,已知1=2,ab平分dab,试说明dcab.2.如图所示,已知直线ef和ab,cd分别相交于k,h,且egab,chf=600,e=30,试说明abcd.3.如图9所示,adbc,1=78,2=40,求adc的度数.4.如图所示,已知abcd,abe=130,cde=152,求bed的度数. 5.如图所示,1=72,2=72,3=60,求4的度数.四、提高训练:1.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且1=2,3+4=180,则a与c平行吗?为什么?2.如图所示,把一张长方形纸片abcd沿ef折叠,若efg=50,求deg的度数.五、探索发现:1. 如图所示,请写出能够得到直线abcd的所有直接条件.2. 如图所示,已知abcd,分别探索下列四个图形中p与a,c的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明. (1) (2) (3) (4)六、中考题与竞赛题:1.如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:1=5;1=7;2+3=180;4=7.其中能说明ab的条件序号为( )a. b. c. d.2.如图a所示,已知abcd,直线ef分别交ab,cd于e,f,eg平分bef,若1=72,则2=_. (a) (b)3.如图b所示,已知直线ab,cd被直线ef所截,若1=2,则aef+cfe=_.答案:一、1.d 2.d 3.a 4.b 5.a 6.c 7.c 8.a 9.b 10.c 11.c 12.b二、1.相交 2.平等 3.(1)ad bc 同位角相等,两直线平行 (2)dc ab 内错角相等,两直线平行4.aed bde 两直线平行,同旁内角互补 df ac 内错角相等,两直线平行 5.150 6.60 40三、1.解:ac平分dab,1=cab,又1=2,cab=2,abcd.2.解:egab,e=30,akf=ekg=60=chf,abcd.3.adc=1184.bed=78 5.4=120四、1.解:平行.1=2,ab,又3+4=180,bc,ac.2.deg=100五、1.1=6,2=5,3=8,4=7,3=6,4=5,3+5=1804+6=1802. (1)p=360-a-c,(2)p=a+c,(3)p=c-a,(4)p=a-c(说明略).六、1.a.毛2.54 3.180备选题：毛1.如图1，adbc，点e在bd的延长线上，若ade=155，则dbc的度数为（ ）a155 b50 c45 d25解：因为adbc （已知）所以dbc=adb （两直线平等，内错角相等）又ade=155 （已知）所以adb=180155=25 （邻补角定义）所以dbc=25，故选d。2.如图2，已知1=2，3=44，求4的度数。解：因为1=2 （已知）所以l1l2（内错角相等，两直线平行）所以34=180（两直线平行，同旁内角互补）又因3=44（已知）所以4=1803=18044=136。3.如图3，已知abcd，c=75 ，a=25，则e的度数为 。解：过点f作fgae。因为abcd（已知）所以efb=c=75（两直线平行，同位角相等）又fgae所以1=a=25（两直线平行，同位角相等）e=2（两直线平行，内错角相等）又2=efb1=7525=50所以e=504.如图4，直线ab，则acb= 。解：此题同例3相仿，“画一线豁然开朗”。过点c作cda。因为ab（已知）所以cdb （平行于同一条直线的两条直线平行）所以acd =50 ，dcb=25（两直线平行，内错角相等）所以acb= acddcb=5025=75。5.如图1，已知oboa，直线cd过点0，且aoc=250你能根据提供的条件求出bod的度数吗? 方法1：利用bod=cod-boc，由于cod是平角，只需求出boc；方法2：根据本题的特殊性，如果延长ao会得到一对对顶角，求bod就转化为求doe的问题了，而doe与aoc是对顶角，所以问题得以解决.解：方法一：因为oboa(已知)，所以boa=900 (垂直的定义)又因为aoc=250 (已知)，所以boc=boa-coa=650又因为直线cd过点0，cod是平角，即cod=1800，所以bod=cod-boc=1150解法2：反向延长oa并在线上任取点e，所以doe=aoc=250 (对顶角相等) 图1又因为直线ae过点0，aoe是平角，即aoe=1800 (平角的定义)，所以boe=900 所以bod=boe+doe=900+250=11506.已知：如图2所示，deac，agf=abc1+2=1800试判断bf与ac的关系，并说明理由图2 解：因为agf=abc(已知)， 所以gfbc(同位角相等，两直线平行) 所以1=3(两直线平行，内错角相等) 因为1+2=1800(已知)，所以3+2=1800 所以bfde(同旁内角互补，两直线平行) 所以bfc=dec(两直