河南省南阳市2017届高三第三次模拟考试数学试题（理）含答案

南阳市一中 2017届第三次模拟考试 理科数学试题 第卷（选择题） 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 2| 1 , | l o g 2M x y x N x y x ，则 A. 1,2 B. ,1 2 , C. 0,1 D. , 0 2 , 数 z 满足 31，则 z 对应的点坐标为 A. 1,1 B. 1,1 C. 1, 1 D. 1, 1 7 项和17 51S ，则5 7 9 1 1 1 3a a a a a 等于 A. 3 B. 6 C. 17 D. 51 台甲型和 5台乙型电视剧中任意取出 3台，要求至少有甲型与乙型电视剧各 1台，则不同的取法共有 A. 140种 B. 84种 C. 70种 果输入的 ,x y R ，那么输出的 S 的最大值为 A. 0 C. 2 D. 3 22 1 0 , 0xy 的一条渐近线与圆 2 222 相切，则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 2 C. 3 2y f x的图象关于直线 2x 对称，且当 0,x 时， 2lo gf x x ，若 13 , , 24a f b f c f ，则 ,A. B. b c a C. c a b D. a c b 中， 底面 底面 正方形， B 该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图所示，则截去部分体积与剩余部分体积之比为 A. 12B. 13C. 14D. 满足 22x y ，那么 4的最小值为 A. 32 B. 3 2 2 C. 32 D. 4 中，底面 边长为 2的正三角形，顶点 的射影为 的中心，若 E 为 中点，且直线 成角的正切值为 22，则三棱锥 A 的外接球的表面积为 A. 3 C. 5 4的焦点 C,点 A,B,C,A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 1 :C y x与曲线22: l y x x，直线 l 是曲线1直线 l 与曲线1 ，则点 A. 102t eB. 1122C. 1222tD. 2 22 t二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 中， M 是 中点， 3 , 1 0A M B C,则 C . 14. 2412的展开式中含 3x 项的系数为 . 2 s i n 22f x x 的图象关于直线12x 对称，且当1 2 1 21 7 2, , ,1 2 3x x x x 时， 12f x f x，则 12f x x. n 项和，且满足 111 , 3 a a n N ，则2017S . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 算过程 . 17.（本题满分 12分）已知 是等边三角形， D 在边 延长线上，且 2， 6 （ 1）求 长； （ 2）求 的值 . 18.（本题满分 12分） 某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了 50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于 60分，说明购买意愿弱，若得分不低于 60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶 图表示如图所示 . （ 1）根据茎叶图中的数据完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？ （ 2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取 5人，从这 5人中随机抽取 2人进行采访，记抽到的 2人中年龄大于 40岁的市民人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 19.（本题满分 12分）在如图所示的五面体中，面 直角梯形，2B A D A D C ,平面 平面 是边长为 2的正三角形 . （ 1）证明： 平面 （ 2）求二面角 A 的余弦值 . 20.（本题满分 12分）已知椭圆 2, 0 , 2, 0 ，并且经过点 3,1P （ 1）求椭圆 （ 2）过椭圆 作直线 l ，直线 l 与椭圆 ,圆 22:6O x y相交于 D, 的面积最大时，求弦 长 . 21.（本题满分 12分）已知函数 22 2 , x e a x a a R （ 1）求函数 （ 2）若 0x 时， 2 3f x x恒成立，求实数 a 的取值范围 . 请考生在第 22、 23 两题中任选一 题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。 22.（本题满分 10分）选修 4数方程与极坐标系 已知曲线 E 的极坐标方程为 4 ，倾斜角为 的直线过点 2,2 （ 1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线的参数方程； （ 2）设12, 且关于直线 2x 对称的两条直线，1 交于 , 交于 ,证： :P A P D P C P B . 23.（本题满分 10分）选修 4等式选讲 已知函数 11 , 3 x x x a g x x （ 1）当 2a 时，求不等式 f x g x 的解集； （ 2）若 1a ，且当 ,1 时，不等式 f x g x 有解，求实 数 a 的取值范围 . 答案 一、 8 31009 2 17. （ ） 设 因 为 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 因 为，所以 即 ，所以， （舍）所以 （）因为 ，所以 所以 在 中，因为 ，所以 1）由茎叶图可得 ： 购买意愿强 购买意愿弱 合计 20 40 岁 20 8 28 大于 40 岁 10 12 22 合计 30 20 50 由列联表可得： 所以，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关 （ 2）购买意愿弱的市民共有 20人，抽样比例为 = ， 所以年龄在 20 40岁的抽取了 2人，年龄大于 40岁的抽取了 3人， 则 ， 1， 2， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， X 0 1 2 P 所以分布列为 数学期望为 E（ X） =0 +1 +2 = 19.证明：（）取 ，以 过 B 的平行线为 立空间直角坐标系，则 B（ 1， 1， 0）， E（ 0， 0， ）， A（ 1， 0， 0），C（ 1， 2， 0）， F（ 0， 4， ）， =（ 1， 1， ）， =（ 1， 4， ），=（ 2， 2， 0）， =1 4+3=0， =2 2=0， 又 ， 面 （） =（ 2， 1， 0）， =（ 1， 3， ），设平面 =（ x， y，z），则 ，取 x=1，得 =（ 1， 2， ）， 平面 =（ 0， 0， 1），设二面角 A 则 = = 二面角 A 20.（ 1）设椭圆的标准方程为 ， 依椭圆的定义可得： ， ， ， 椭圆的标准方程为： . （ 2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 化简得： ， 设 ，则 ， 的面积 ， 令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号 线 的方程为 ，圆心 到 的距离为 ，又圆半径为 ，故所求弦长为 ） ， 时， 恒成立，此时 在 上单调递增； 当 时，由 ，得 ；由 ，得 ， 此时 在 上递减，在 上递增 （）令 ， ，则 ，又令 ，则 ， 在 上递增，且 当 时， 恒成立，即函数 在 上递增，从而须满足，解得 ，又 ， ； 当 时，则 ，使 ，且 时， ，即 ，即 递减， 时， ，即 ，即 递增 ，又 ，从而，解得 ，由 ，令 ，则 ， 在 上递减， 则 ，又 ，故 ， 综上 1） ， （