长江水质的评价和预测(2005年数学建模).doc

高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：长江水质的评价和预测摘要针对第一问首先对本题所给的数据进行分析，发现长江水质中各个污染物指标较多为了简化解题过程，比较简明地分析长江流域各个监测站水质情况，对长江流域整体水质作分析我们运用主成分分析法来减少变量，提取主成分，使其更容易得出这十七个观测站的总排名得出了江西、四川的一些地区污染比较严重。对于第二问我们得出长江干流主要污染物codmn和nh3-n的平均排放量第三问先运用灰色预测gm（1，1）来预测未来十年水污染的趋势，这是因为水质问题是一个复杂的非线性系统，但是由于数据样本少，需要预测的时间长。由此我们得出未来十年长江的排污量。第四问我们根据第三问得出的数据结合bp神经网络可以进一步算出每年需要处理的排污量。关键词：主成分分析 gm（1，1） bp神经网络问题重述作为中华民族最具象征性的的河流，长江哺育了灿烂悠久的中华文明，她是我国赖以生存的生命线，北方的干旱需要他的乳汁哺育因此有了南水北调，经济的发展所需的电力由她提供、因此有了三峡工程，可是就是这样一条对我们生存和发展都有重大影响的母亲河正在一步步走向没落-长江的污染程度日益加重，我们要积极对长江进行调查研究，通过科学的研究分析来拯救我们的生命线。根据近年来的调查数据，我们这一小组要解决的问题如下： 对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。 研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区? 假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。 根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的类和类水的比例控制在20%以内，且没有劣类水,那么每年需要处理多少污水？ 问题假设1、 假设长江干流各段的净化能力是均匀的；2、 假设两个观测站之间河段的平均流速是等于两个观测站流速的平均值；3、 假设废水的处理对各类污染程度的河流的影响是。符号说明 溶解氧浓度（do） 高锰酸盐指数（codmn） 氨氮浓度（nh3n） ph值 污染物浓度v 水流的流量 污染物的降解系数 水流的流速 污染物流过的距离 第n个观测站（地区）水流所含污染物的质量 第n个观测站（地区）排放污染物的质量 第i类污染程度的河流总长度比例 第t年排污量 问题分析对题中所给的的表格进行认真分析我们决定用这二十八个月的污染指标的平均值来综合反映近长江流域近两年的污染状况。长江河流的污染和许多的污染物有关，需要多个评价指标，但是各个污染物的对江水污染的影响不尽相同，污染物数量的增多会使问题的分析复杂化，不便于对问题的分析，而且不同污染物之间对河水的污染数据可能存在冗余，进一步确定污染指标的权重。经过认真分析我们组员决定用主成分分析的方法来简化，因为主成分分析的方法是一种可以减少主观因素的的一种方法，可以用主成分分析的方法来客观评价长江水质，并给出比较合理的数据分析，能够比较容易简明地分析出近几年长江水污染的程度，可以评价长江流域不同地点的受污染程度并对他们进行排名 。根据国家水质评价标准把长江的水质分为六类，由于对污染物的调查了解的数据不全面所要进行的预测时间长，为了预测未来十年长江水质地变化趋势我们决定用灰色预测模型gm（1，1）来进行问题分析，为了合理治理长江地水污染，最后用bp神经网络和灰色预测来决定未来十年每年所需要处理的污水量本文通过对四个附表的研究，系统、全面地分析了长江水质的污染情况及预测了未来水质污染的发展趋势。长江的支流污染比干流严重，而干流的重要污染源也集中在支流较多的上游。并对各观测点的28个月，从各类水所占比例和四个指标的均值两方面更具体地对长江水质做出分析。作了定性分析，再通过建立差分方程，定量分析和预测未来10年的水质污染状况。数据处理主要借助于，word软件，matlab软件及excel电子表格软件对四个附表的数据进行相关的统计与计算，得到与实际比较吻合的数据，使得水质的污染治理具有针对性，也可提早防范处理。根据此模型，对预测所得未来长江水质的发展情况，结合具体要求，能及时的处理和净化污水，达到社会效益和环境效益的双赢。根据主成分分析进行的数据分析方法利用主成分分析方法对长江流域的水质进行评价,通过matlab软件计算,对长江流域17个地区的污染状况作出了评价排序,利用主成分分析模型,给出了近两年长江水质变化的综合评价。以下表格使所整理对近两年各个污染指标所求的平均值：序号点位名称断面情况主要监测项目(单位:mg/l)ph*docodmnnh3-n1四川攀枝花干流8.2560714299.1542857142.4321428570.1828571432重庆朱沱干流（川-渝省界）7.9117857148.9303571432.0964285710.3317857143湖北宜昌南津关干流（三峡水库出口）7.7507142868.5053571432.8750.2642857145江西九江河西水厂干流（鄂-赣省界）7.4242857147.7535714292.4285714290.1603571436安徽安庆皖河口干流7.4432142867.4553571432.5750.2289285717江苏南京林山干流（皖-苏省界）7.657.4910714292.0928571430.1278571438四川乐山岷江大桥岷江（与大渡河汇合前）7.4957142865.5585714295.2428571430.9242857149四川宜宾凉姜沟岷江（入长江前）8.0757142868.9760714292.7357142860.43035714310四川泸州沱江二桥沱江（入长江前）7.6778571436.8653.3392857140.81178571411湖北丹江口胡家岭丹江口水库（库体）7.8771428579.2910714291.9535714290.09214285712湖南长沙新港湘江（洞庭湖入口）7.0767857147.112.4857142860.91642857113湖南岳阳岳阳楼洞庭湖出口7.7285714298.3154.1928571430.38571428614湖北武汉宗关汉江（入长江前）7.94757.4214285713.3250.197515江西南昌滁槎赣江（鄱阳湖入口）7.1103571435.6982142862.3239285714.63321428616江西九江蛤蟆石鄱阳湖出口7.6192857147.9103571433.7428571430.28642857117江苏扬州三江营夹江（南水北调取水口）7.6817868.1378573.0214290.287143 对表格中数据进行标准化 如下表：序号点位名称断面情况主要监测项目(单位:mg/l)ph*docodmnnh3-n1四川攀枝花干流8.2560714299.1542857142.4321428570.1828571432重庆朱沱干流（川-渝省界）7.9117857148.9303571432.0964285710.3317857143湖北宜昌南津关干流（三峡水库出口）7.7507142868.5053571432.8750.2642857144湖南岳阳城陵矶干流7.8167857148.6832142863.7857142860.335江西九江河西水厂干流（鄂-赣省界）7.4242857147.7535714292.4285714290.1603571436安徽安庆皖河口干流7.4432142867.4553571432.5750.2289285717江苏南京林山干流（皖-苏省界）7.657.4910714292.0928571430.1278571438四川乐山岷江大桥岷江（与大渡河汇合前）7.4957142865.5585714295.2428571430.9242857149四川宜宾凉姜沟岷江（入长江前）8.0757142868.9760714292.7357142860.43035714310四川泸州沱江二桥沱江（入长江前）7.6778571436.8653.3392857140.81178571411湖北丹江口胡家岭丹江口水库（库体）7.8771428579.2910714291.9535714290.09214285712湖南长沙新港湘江（洞庭湖入口）7.0767857147.112.4857142860.91642857113湖南岳阳岳阳楼洞庭湖出口7.7285714298.3154.1928571430.38571428614湖北武汉宗关汉江（入长江前）7.94757.4214285713.3250.197515江西南昌滁槎赣江（鄱阳湖入口）7.1103571435.6982142862.3239285714.63321428616江西九江蛤蟆石鄱阳湖出口7.6192857147.9103571433.7428571430.28642857117江苏扬州三江营夹江（南水北调取水口）7.6817868.1378573.0214290.287143 可以很清楚的看到每个污染物对长江水质的影响程度如果已知单个因子污染的实测浓度及评价标准限值，就只能得出单因子污染指数，但这样并不能反映水质的全貌通过综合考虑对水质有影响的多个因素，建立了水质综合评价的多因子污染指数多元线性回归模型，取置信水平为095时，回归函数通过显著性检验，说明回归效果是显著的各地区的综合污染指数大小反映了该地区的水质污染状况。即能判断该地区的水质类别对已知数据采用最小二乘法拟合。以下为运算原理和步骤：步骤一、为了消除不同变量量纲的影响，先对数据进行标准化，设检测数据中水质的样本有n个，指标数一共有p个，分别取为x1,x2,x2,xp，令xij（i=1n；j=1p）为第i样本的第j个指标的值。 (j=1，2，3p)得到标准化的数据矩阵,其中, 步骤二：在标准化数据矩阵的基础上计算p个原始指标相关的系数矩阵，其中： 步骤三：求相关系数矩阵r的特征值 ，再求出r的特征值得相应的正则化单位特征向量，则第i个主成分表示为各个指标 的线性组合步骤四：确定主成分数目。在确定主成分数目前，需要先给出一个控制值 ，令则对应满足条件的q的最小值即为保留的主成分的个数m，本文中取步骤五：计算综合得分。首先计算得到第i个样本中第k个主成分的得分为 ，再以m个主成分的方差贡献率为权重，求得第i个样本的综合得分。步骤六：根据每个样本的综合得分进行排序。附件中共有28个月的数据，这里仅随机选取2005年4月的数据来说明利用主成分分析进行水质综合评价的过程（同理可进行其他月份的分析）。调用matlab统计工具箱princomp函数，格式为：pc, score,latent,tsquare=princomp(ingredients)其中ingredients指标标准化后的样本指标矩阵，pc是指各主成分关于指标的线性组合的系数矩阵，score为各主成分的得分，latent是方差矩阵的特征值，tsquare为hotelling 统计量。根据matlab中princomp函数的调用我们可以容易得到各个主成分的得分，再由式子可以得到每个观测站的综合得分然后对其进行排名得到下表：第一主成分第二主成分第三主成分综合得分综合排名四川攀枝花-1.5679-0.68595-0.91026-1.202414重庆朱沱-1.7952-0.968740.032816-1.306915湖北宜昌南津关-3.4525-0.31956-1.2501-0.448210湖南岳阳城陵矶2.23321.8657-0.3211881.5893江西九江河西水厂-1.3076-0.2553330.53698-0.840113安徽安庆皖河口0.19330.15463-1.0423-0.01857江苏南京林山-1.32470.101780.43598-0.746312四川乐山岷江大桥3.88540.60009-1.38542.31622四川宜宾凉姜沟-2.3765-1.0968-0.0995-1.638117四川泸州沱江二桥0.336270.28024-1.17780.095896湖北丹江口胡家岭-2.0179-0.260080.33508-1.306816湖南长沙新港-0.23654-0.72674-0.068541-0.43759湖南岳阳岳阳楼0.448591.80362.14690.912854湖北武汉宗关0.998741.40222-0.131980.818455江西南昌滁槎5.447-2.50631.30953.247781江西九江蛤蟆石-0.985620.365530.90889-0.39298江苏扬州三江营-1.12620.0447250.6528-0.672611从上表中的排名中我们可以看出江西、四川等地污染比较严重，干流的污染程度小于支流的污染程度在这里给我们了许多提示，说明在长江支流的污染源比干流的污染源多，排污量多，可能有比较多的重污染企业，所以有关部门必须加强对支流地区的监督和管理。再根据近两年长江水污染程度的综合得分可以得到长江流域不同地点的直方图：从此表我们可以比较直观地观察到所观测点的的污染程度分布关系下面我们继续对长江流域的主要污染物的污染源进行分析通过分析长江干流两年的基本数据来计算出各地区主要污染物的排放质量。由前一步可确定主要污染物是高锰酸盐和氨氮，可以由此推断出主要污染源。观测站（地区）的水质污染的来源，主要是来自本地区的排污本人和上游的污水。那么，水流通过该观测站（第n个）时每秒所含的污染物质量为：其中为本地区排污部分， 为来自上游观测站部分。为了确定 ，即来自上游的污水在流动过程中的变化情况，我们对各种情况进行如下分析：河流对污染物有净化能力，那么，水流从上游到下游所含的污染物会发生一定变化，当流量不变时 ，有一维河流的稳态水质模型，在下游x处的污染物浓度为：其中c为上有起点的污染物浓度，k为污染物的降解系数，v为该河段的平均流速。 有质量与浓度、体积的关系式，m=c*v，可得下游x出的污染物的质量：考虑到流量的变化情况，我们对流量变化的水流进行分析，设在某一河段，水流增量为，水流污染物原浓度为c，原有水量为v。那么在下游x处的污染浓度： 那么污染物的质量变化为：可以看出下游x处的污染物的质量只与位置有关。所以上游的观测站污染物到达下游相邻的观测站后的质量变为：其中x为两个观测站的距离，v为该河段的流速。同时，观测站污染物的质量也可以通过该观测站的水流量与污染物的浓度来确定：其中为观测站污染物的浓度， 为观测站的水流量简化上面公式，可得本地区的污染物的计算公式：其中 为两个观测站的平均速度。有相关参考资料【6】，我们确定长江对codmn的降解系数为0.28（单位：1/天），对nh3-n的降解系数为0.43（单位：1/天），根据干流上七个观测站的基本数据解出各个月污染物排放质量的数据，从而得到各地区排放到长江的codmn的平均含量。如下表： 单位： kg/s四川攀枝花重庆朱沱湖北宜昌湖南岳阳江西九江安徽安庆江苏南京平均含量8986342924514451102368122086637457各个地区排放到长江的nh3-n的平均含量。如下表： 单位： kg/s四川攀枝花重庆朱沱湖北宜昌湖南岳阳江西九江安徽安庆江苏南京平均含量0.4815829309383224865231818150710.66812由以上两表可知，高锰酸盐指数的主要污染源在湖北岳阳、湖北宜昌、江苏南京、江西九江等地区。氨氮的主要污染源在湖南岳阳、江西九江、湖北宜昌等地区。预测长江未来十年的水污染趋势长江的水质问题是一个复杂的非线性系统，但是由于本身数据少，需要预测的时间长，直接应用神经网络很难取得理想的效果，因此本文采用gm(1,1)模型与神经网络模型联合预测长江水质的未来十年的水污染趋势，尝试着首先较精确的预测出部分重要的数据，为建立神经网络预测未来不同水质地河长的比例提供更多的数据，gm(1,1)模型就可以较好的预测出未来的排污量。1：模型1 gm(1,1)模型：、考虑到污水排放量的变化规律是一个不确定的系统，且本题给出的污水排放量数据样本比较少，还要求做出长达十年的预测，因此采用灰色预测来预测未来的污水排放量灰色预测方法就是根据系统的普遍发展规律，建立一般的灰色微分方程，然后通过对数据序列的拟合，求的微分方程的系数，从而获得灰色预测模型方程。利用灰色预测方法理论建立gm(1,1)模型，记1995年为第一年，第k年的排污量为其中（k=1，2，n）对十个历史数据进行模拟并对未来的排污量进行预测，利用该数据列建立预测模型的步骤如下：步骤一：做一阶累加，形成生成数据序列（k=2，10）则相应的灰微分方程：步骤二：求参数a和u对微分方程进行离散化的关a和u的超定方程组：利用最小二乘法求超定方程得：步骤三：建立生成数据序列模型：将上面求得的参数带入上述的灰微分方程，求解微分方程得到gm(1,1)的灰色预测模型为：，（k=1，2，n）步骤四：建立原始数据序列模型，由累减生成原始数据序列 的模拟序列值： ，（k=2，n）这里是原始排污量数据序列的拟合值， 是原始排污量数据的预测值。根据上述的方法用matlab软件求得参数a=-0.0050，u=158.4114再把参数带回微分方程得到排污量的灰色预测模型为：，（k=1，2，n）对10个原始排污量数据的模拟模型为：，（k=1，2，n）根据得出来的模型可得下面的图：2. 模型的检验根据上面的检验步骤计算得：把误差检验表跟常用的精度等级表对比可知，模型的等级接近一级，也即是说，该模型的拟合精度很高，可用来预测。3.模型 2 bp神经网络预测模型附件中根据污染程度不同把水质状况分为六类，可以分别针对各类水质状况的河流长度比例在未来十年的变化进行预测。得到未来六类不同水质河长比例的变化，从而可以全面显示未来十年污染趋势的变化针对第i类污染程度的河流长度比例进行分析，首先选择输入数据，不同水质河长的比例必然同长江流域内的排污量有关，而未来十年的排污量已经由灰色模型预测得到。另外根据对附件中数据的分析，长江的污染程度表现出某种周期性的波动，可以预测不同水质河长的比例应有关于时间上的规律，因此输入数据中可以用带预测当年前三年的数据来显示这种波动。从而建立了四个输入变量的一个输出变量的三层神经网络，隐层选择目前并没有可靠的成熟理论，因此在运用bp神经网络的时候可以变换不同的隐层节点数，可根据数据的复杂程度尝试不同的隐层节点数目。本文中选择的网络拓扑结构图，如图54网络训练与预测 在进行训练前需要构建出实话网络，输入层网络激发函数选取对数s型传递函数数，输出层选择线性函数，调用matlab神经网络工具箱函数： net=newff（minmax（p），10,1,logsig,purelin,trainlm）即建立一个4-10-1网络结构的网络。有附件中的数据可以得到样本，利用levnberg-marquardt的bp算法训练函数，预测得算法流程如下：步骤一：对原始数据进行标准化。步骤二：利用原始数据对网络进行训练。步骤三：对未来第t年第i类污染程度的河流长度比例进行预测。步骤四：利用第t年预测得到的数据作为样本在对网络进行训练。步骤五：然后令t=t+1,回到步骤二，直到t=10。依次对水文年全刘宇六类污染程度的河流长度比例重复进行十次预测，取平均值的到二十年六类污染程度的河流比例长度： 表7 预测的六类污染程度的河流长度比例类类类类类劣类199524.735.7302.96.70199625.629.544.100.80199714.627.644.513.300199810.320.169.60001999056.430.85.57.3020009.535.929.125.40020012.330.135.318.77.85.820023.135.430.317.45.18.72003817.8681.54.6020041.125.840.615.77.8920056.105333.52346.66517.986.037717.376120063.649735.54540.25911.3887.15714.469520074.942933.54948.47710.8266.19086.109920084.873233.55137.95911.7966.49112.831120092.322631.15245.2310.5786.74278.205120104.398331.84347.4028.3796.95026.476320114.534831.93231.35511.0076.717212.821420123.9280731.54635.2510.0286.67466.292420134.418835.52142.4498.756.62224.831620143.765329.55929.88910.3756.812413.1132根据数据来解决第四问设，三层神经网络可以以任意精度逼近一个非线性函数，因此考虑建立bp神经网络来完成六类污染程度的河流长度比例同排污量的拟合。 设按照下列结构对网络进行训练： 网络基本结构输入激发函数输出激发函数训练函数精度613-1对数s型函数线性函数levenberg marquardt算法0.05以模型1预测得到未来十年的排污量，通过模型2预测水文年干流未来十年的六类污染的河流长度比例，共有20组训练数据，网络经过训练后，即可按下面算法对问题4进行求解：首先对未来十年的各类污染程度的河流长度数据进行调整： 如果iv类和i类污染程度的河流长度比例大于20%则令如果，则令对调整后的数据进行模拟：将调整后的数据进行网络模拟，得到新的输出值记为：则即为第t年需要处理的污水量。由于他们的相关系数可以证明，排污量同第iv类第v类，劣v类均呈正相关，故最后结果见下表：年份20052006200720082009排污量303.01322.52343.29365.39388.92应该排污量268.1303312.54285.66300.37应处理排污量34.9119.5230.7579.7388.55年份20102011201220132014排污量413.96440.61468.98499.18531.32应该排污量331.6285.71312.47295.41285.74应处理排污量82.36154.9156.51203.77245.587：灰色模型评价及进一步改进灰色预测模型具有如下主要特点：（1）少数据性（2）良好的时效性（3）较强的系统性和关联性，它将研究对象作为一个发展变化的系统，可对事物发展态势进行量化比较分析，其动态过程能反映系统已知信息和未知信息互相影响、互相制约的系统特征，并能揭示系统内涵的本质联系。（4）建模精度较高，可保持原系统的特征，能较好的反映系统的实际状况。根据不同的预报等级和容许误差值，选用不同的模型，既可作长期趋势预报分析，也可作中短期预测。bp神经网络的特征有：（1）良好的逼近能力（2）误差可以控制灰色预测方法求解需要的计算量少，再少量样本的情况下可达到较高的精度；而神经网络计算精度高，且误差可控；这样而这优势互补，是预测结果更加符合实际。建立gm(1,1)模型后，可得到对原始数据序列的预测值，这些预测值与原始数据有一定的偏差，为了尽可能降低偏差，考虑将预测至于实际值之间的偏差关系综合到神经网络模型中；将灰色模型的预测值作为神经网络的输入样本，实际值作为神经网络的输出样本，采取一定的网络结构，然后对神经网络进行训练，就可以得到一系列对应于相应节点的权值和阈值。网络结构固定以后，将gm(1,1)下一个时刻或几个时刻的预测值作为训练好的神经网络的输入，得到的输出即为对应下一刻或下几个时刻最后的预测值。这种结果即能尽可能的减少预测值与原始数据之间的偏差。关于解决长江流域污水的建议尽管长江流域总体水质尚可，但干流及一些较大支流岸边水域污染严重，湖泊富营养化突出，水污染事故频繁，污染有向城市下游转移的趋势。我们由此推断：长江流域水污染发展的趋势还未得到有效遏制。 虽然近几年国家加大对水污染的治理力度，流域各省市也相应了一些水资源保护措施。但由于立法和监管工作滞后，水污染治理投入不足，长江水环境恶化未得到根本的好转，流域水污染呈发展趋势已是不争的事实。为此，专家呼吁针对长江水污染状况，除采取治污措施外，更重要的是要重视利用立法和加强监管等预防性措施，以保护长江的水资源。本文通过对长江流域水污染的分析，结合实际，认为制定统一立法有其现实的合理性，并对立法的可操作性进行了一些初步分析。关键词：长江流域的水污染应该加强监管，统一立法，增强可操作性。 长江，是世界第三大河、亚洲第一大河，养育了沿江近4亿中华儿女，实现南水北调后更将惠及8亿人口。然而，这条中华民族赖以生存的母亲河受到越来越严重的污染。据统计，到2003年，长江流域的工业废水和城市污水年排放量已高达250多亿。分析长江流域水污染状况我们组经过讨论给有关部门提供以下建议：一