2017年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

2017 年甘肃省高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若集合 A=x| 1 x 2， B=x| 2 x 1，则集合 A B=（ ） A x| 1 x 1 B x| 2 x 1 C x| 2 x 2 D x|0 x 1 2如图所示，向量 所对应的复数分别为 2=（ ） A 4+2i B 2+i C 2+2i D 3+i 3某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃 甜食的影响，部分统计数据如表： 女生 男生 合计 喜欢吃甜食 8 4 12 不喜欢吃甜食 2 16 18 合计 10 20 30 附表： P（ 计算 0，则下列选项正确的是（ ） A有 把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 B有 把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 C有 把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 D有 把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 4已知 ，且 x 在第三象限，则 ） A B C D 5函数 ，则 f（ 3）的值为（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 6如图所示，四面体 四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体 代表图形）（ ） A B C D 7设 D 为 所在平面内一点， ，则 =（ ） A B C D 8某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图 1 中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图 2 所示的程序框图处理后，输出的 S=（ ） A 196 B 203 C 28 D 29 9已知函数满足一下两个条件： 任意 （ 0， + ），且 ，（ f（ f（ 0； 对定义域内任意 x 有 f（ x） +f（ x） =0，则符合条件的函数是（ ） A f（ x） =2x B f（ x） =1 |x| C D f（ x） =x+1） 10已知点 A 是直角三角形 直角顶点，且 A（ 2a， 2）， B（ 4， a）， C（ 2a+2， 2），则 外接圆的方程是（ ） A y 3） 2=5 B y+3） 2=5 C（ x 3） 2+ D（ x+3） 2+ 11已知三棱锥 S 各顶点都在一个球面上， 在截面圆的圆心O 在 ， 平面 ，若三棱锥的体积是 ，则球体的表面积是（ ） A B C D 25 12将函数 的图象向左平移 个单位，在 向上平移 1 个单位，得到 g（ x）的图象，若 g（ g（ 2） =16，且 ，则 2最大值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13数列 ，若 （ ） =，则 14已知实数 x， y 满足 ，则 z=x 3y 的最大值是 15已知抛物线 x 上一点 P 到焦点的距离为 4，则 面积为 16已知函数 与函数 y=2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17设数列 是一个各项均为正数的等比数列，已知 ， 27 （ 1）求的 ； （ 2）求数列 前 n 项和 18甘肃省瓜州县自古就以生产 “美瓜 ”面名扬中外，生产的 “瓜州蜜瓜 ”有 4 个系列 30 多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达 14% 19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用 x， y， z 表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的 相关程度，它们进行量化： 0 表示一般， 1 表示良， 2 表示优，在用综合指标 w=x+y+ w 4，则为一级；若 2 w 3，则为二级；若 0 w1，则为三级，今年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了 10 块蜜瓜种植地，得到如下结果： 种植地编号 A B C D E （ x， y， z） （ 1， 0， 0） （ 2， 2， 1） （ 0， 1， 1） （ 2， 0， 2） （ 1， 1， 1） 种植地编号 F G H I J （ x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2， 2， 2） （ 0， 0， 1） （ 2， 2， 1） （ 0， 2， 1） （ 1）若有蜜瓜种植地 110 块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量； （ 2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标 w 至少有一个为 4 的概率 19如图，在 ， D， E 分别在 ， C=3 折起来，使得点 A 到 P 的位置，满足 （ 1）证明： 平面 （ 2）若 ，点 M 在 ，且，求三棱锥 P 体积 20已知椭圆 的顶点到直线 l： y=x 的距离分别为 （ 1）求椭圆 离心率； （ 2）过圆 O： x2+ 上任意一点 P 作椭圆 两条切线 别与圆交于点 M， N，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） = （ 1）当 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若存在 ，使得 f（ x） 立，求实数 k 的取值范围 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 选修 4标系与参数方程 22已知直线 为参数），曲线 为参数） （ 1）使判断 l 与 C 的位置关系； （ 2）若把曲线 个点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 点 P 是曲线 一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|x 3|， g（ x） =|x 2| （ 1）解不等式 f（ x） +g（ x） 2； （ 2）对于实数 x， y，若 f（ x） 1， g（ y） 1，证明： |x 2y+1| 3 2017 年甘肃省高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、 选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若集合 A=x| 1 x 2， B=x| 2 x 1，则集合 A B=（ ） A x| 1 x 1 B x| 2 x 1 C x| 2 x 2 D x|0 x 1 【考点】 1D：并集及其运算 【分析】 根据并集的定义写出 A B 即可 【解答】 解：集合 A=x| 1 x 2， B=x| 2 x 1， 则集合 A B=x| 2 x 2 故选： C 2如图所示，向量 所对 应的复数分别为 2=（ ） A 4+2i B 2+i C 2+2i D 3+i 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 读图求出复数 据复数的乘法运算法则计算即可 【解答】 解：由图可得， +i， i， 2=（ 1+i）（ 3 i） =3+1+3i i=4+2i， 故选： A 3某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表： 女生 男生 合计 喜欢吃甜食 8 4 12 不喜欢吃甜食 2 16 18 合计 10 20 30 附表： P（ 计算 0，则下列选项正确的是（ ） A有 把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 B有 把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 C有 把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 D有 把握认为性别对喜欢吃甜食有影 响 【考点】 立性检验 【分析】 根据观测值与对照临界值的关系，即可得出结论 【解答】 解：根据观测值 0，对照临界值表得 10 所以有 把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 故选： B 4已知 ，且 x 在第三象限，则 ） A B C D 【考点】 意角的三角函数的定义 【分析】 利用正切化为正弦、余弦函数，结合 x 的象限，同角三角函数的基本关系式，求出 可 【解答】 解：因为 ，且 x 在第三象限，所以 并且 解得 ， ； 故选 D 5函数 ，则 f（ 3）的值为（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【考点】 5B：分段函数的应用； 3P：抽象函数及其应用 【分析】 利用分段函数，化简求解即可 【解答】 解：函数 ，则 f（ 3） =f（ 2） =f（ 1） =f（ 0）= 故选： C 6如图所示，四面体 四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体 代表图形）（ ） A B C D 【考点】 单空间图形的三视图 【分析】 由已知中的四面体 直观图，分析出四面体 三视图的形状，可得答案 【解答】 解：由已知中四面体 四个顶点是长方体的四个顶点， 可得：四面体 正视图为 ， 四面体 左视图为 ， 四面体 俯视图为 ， 故四面体 三视图是 ， 故选： B 7设 D 为 所在平面内一点， ，则 =（ ） A B C D 【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】 取 中点 E，则 D 为 中点，用 表示出 即可得出 关于 的不等式 【解答】 解： ， D 是 靠近 C 点的四等分点， 取 中点 E，则 D 为 中点， = ， ， = + 故选 B 8某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图 1 中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图 2 所示的程序框图处理后，输出的 S=（ ） A 196 B 203 C 28 D 29 【考点】 序框图 【分析】 由茎叶图可知 n=7，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 S， i=8 时 不满足条件 i 7，退出循环，输出 S 的值为 29 【解答】 解：由茎叶图可知 n=7， 模拟程序的运行，可得 S=0， i=1 满足条件 i 7，执行循环体， S=20， i=2 满足条件 i 7，执行循环体， S= =21， i=3 满足条件 i 7，执行循环体， S= = ， i=4 满足条件 i 7，执行循环体， S= = ， i=5 满足条件 i 7，执行循环体， S= = ， i=6 满足条件 i 7，执行循环体， S= = ， i=7 满足条件 i 7，执行循环体， S= =29， i=8 不满足条件 i 7，退出循环，输出 S 的值为 29 故选： D 9已知函数满足一下两个条件： 任意 （ 0， + ），且 ，（ f（ f（ 0； 对定义域内任意 x 有 f（ x） +f（ x） =0，则符合条件的函数是（ ） A f（ x） =2x B f（ x） =1 |x| C D f（ x） =x+1） 【考点】 3P：抽象函数及其应用 【分析】 由 可知 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数，由 可知 f（ x）是奇函数逐个分析各选项是否符合两条件即可 【解答】 解：由 可知 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数，由 可知 f（ x）是奇函数 对于 A， f（ x） =2x 是增函数，不符合题意； 对于 B， f（ x） +f（ x） =1 | x|+1 |x|=2 2|x| 0，不符合题意， 对于 D， f（ x）的定义域为（ 1， + ），故 f（ x）不是奇函数，不符合题意； 故选 C 10已知点 A 是直角三角形 直角顶点，且 A（ 2a， 2）， B（ 4， a）， C（ 2a+2， 2），则 外接圆的方程是（ ） A y 3） 2=5 B y+3） 2=5 C（ x 3） 2+ D（ x+3） 2+ 【考点】 的标准方程 【分析】 根据点 A 是直角三角形 直角顶点，求出 a， B， C 的坐标求得圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得 【解答】 解：由题意， 2a= 4， a= 2 圆的半径为 = = ，圆心为（ 3， 0） 圆的方程为（ x+3） 2+ 故选 D 11已知三棱锥 S 各顶点都在一个球面上， 在截面圆的圆心O 在 ， 平面 ，若三棱锥的体积是 ，则球体的表面积是（ ） A B C D 25 【考点】 的体积和表面积； 内接多面体 【分析】 利用条件，求出 利用勾股定理，求出 R，即可求出球体的表面积 【解答】 解： 在截面圆的圆心 O 在 ， 平面，三棱锥的体积是 ， = ， ， 设球体的半径 =R，则 R= ， R= ， 球体的表面积是 = ， 故选： A 12将函数 的图象向左平移 个单位，在向上平移 1 个单位，得到 g（ x）的图象，若 g（ g（ 2） =16，且 ，则 2最大值为（ ） A B C D 【考点】 数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+） 的图象变换规律，正弦函数的图象特征，求得 2最大值 【解答】 解：将函数 的图象向左平移 个单位，在向上平移1 个单位， 得到 g（ x） =32x+ + ） +1=32x+ ） +1 的图象， g（ g（ =16， g（ =g（ =4，都为最大值， 令 ，可得 ， k Z， 又因为 ， 可以取 ， 则 2最大值 = ， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13数列 ，若 （ ） =，则 【考点】 8H：数列递推式 【分析】 （ ） =，可得： ，同理可得： 可得出 【解答】 解： （ ） =， ，同理可得： ， ， ， 则 故答案为： 14已知实数 x， y 满足 ，则 z=x 3y 的最大值是 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数 得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ ， ） 化目标函数 z=x 3y 为 y= ， 由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 故答案为： 15已知抛物线 x 上一点 P 到焦点的距离为 4，则 面积为 4 【考点】 物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积 【解答】 解：由抛物线定义， |=4，所以 ， |4， 所以， 面积 S= | 2 4=4 故答案为： 4 16已知函数 与函数 y=2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 （ 1， 1） （ 1， 5） 【考点】 57：函数与方程的综合运用； 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 化简函数的解析式，画出两个函数的图象，判断 k 的范围即可 【解答】 解： 直线 y=2 过定点（ 0， 2）， 由函数图象： 可知结果为：（ 1， 1） （ 1， 5） 给答案为：（ 1， 1） （ 1， 5） 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17设数列 是一个各项均为正数的等比数列，已知 ， 27 （ 1）求的 ； （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 8E：数列的求和 【分析】 （ I）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 （ 用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ I）由题可知 =8， =128， 又数列 是一个各项均为正数的等比数列， 则 ， 可得 =32=（ ） ， 解得 （ 是一个以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， ， ， 利用分组求和可得 18甘肃省瓜州县自古就以生产 “美瓜 ”面名扬中外，生产的 “瓜州蜜瓜 ”有 4 个系列 30 多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达 14% 19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用 x， y， z 表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，它们进行量化： 0 表示一般， 1 表示良， 2 表示优，在用综合指标 w=x+y+ w 4，则为一级；若 2 w 3，则为二级；若 0 w1，则为三级，今年来，周边各省 也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了 10 块蜜瓜种植地，得到如下结果： 种植地编号 A B C D E （ x， y， z） （ 1， 0， 0） （ 2， 2， 1） （ 0， 1， 1） （ 2， 0， 2） （ 1， 1， 1） 种植地编号 F G H I J （ x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2， 2， 2） （ 0， 0， 1） （ 2， 2， 1） （ 0， 2， 1） （ 1）若有蜜瓜种植地 110 块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量； （ 2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块 种植地的综合指标 w 至少有一个为 4 的概率 【考点】 举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）计算 10 块种植地的综合指标，列出表格可知：等级为三级的有 A，H 2 块，其频率为 ，由此能估计等级为三级的块数 （ 2）等级是一级的（ 4）有 B， D， F， G， I，共 5 块，从中随机抽取两块，列举法能求出两块种植地的综合指标 至少有一个为 4 的概率 【解答】 解：（ 1）计算 10 块种植地的综合指标，可得下表： 编号 A B C D E F G H I J 综合指标 1 5 2 4 3 4 6 1 5 3 由上表可知：等级为三级的有 A， H 2 块，其频率为 ， 用样本的频率估计总体的频率， 可估计等级为三级的块数为 （ 2）由（ 1）可知：等级是一级的（ 4）有 B， D， F， G， I，共 5 块， 从中随机抽取两块，所有的可能结果为： （ B， D），（ B， F），（ B， G），（ B， I），（ D， F），（ D， G）， （ D， I），（ F， G），（ F， I），（ G， I），共计 10 个； 其中综合指标 =4的有： D， F 2 个， 符合题意的可能结果为： （ B， D），（ B， F），（ D， F），（ D， G） ，（ D， I），（ F， G），（ F， I）共 7 个， 设 “两块种植地的综合指标 至少有一个为 4”为事件 M 所以概率为 19如图，在 ， D， E 分别在 ， C=3 折起来，使得点 A 到 P 的位置，满足 （ 1）证明： 平面 （ 2）若 ，点 M 在 ，且，求三棱锥 P 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）设 ，由此利用勾股定理得 B，再由 证明 面 （ 2）由勾股定理得 由 面 而三棱锥 P体积 【解答】 证明：（ 1）设 ， ， 面 解：（ 2） ， ， 面 三棱锥 P 体积 20已知椭圆 的顶点到直线 l： y=x 的距离分别为 （ 1）求椭圆 离心率； （ 2）过圆 O： x2+ 上任意一点 P 作椭圆 两条切线 别与圆交 于点 M， N，求 积的最大值 【考点】 圆的简单性质 【分析】 （ 1）根据点到直线的距离公式，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆的离心率； （ 2）分类讨论，当一条切线的斜率不存在时， ， 1，即可求得 积，当切线的斜率存在时，设切线方程，代入椭圆方程，由 =0，由 4. ，即可求得 积的最大值 【解答】 解：（ 1）由直线 方程知，直线 两坐标轴的夹角均为 45， 故长轴端点到直线 距离为 ，短轴端点到直线 距离为 ， 求得 ， 离 心率 （ 2）设点 P（ 则 （ ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则 ， 1， 另一切线的斜率为 0，从而 此时， （ ）若切线的斜率均存在，则 ， 设过点 P 的椭圆的切线方程为 y yP=k（ x ，消 依题意 =0，得 设切线 斜率分别为 而 ， 即 段 圆 O 的直径， |4 所以， 当且仅当 时， S 最大值 4 综合（ ）（ ）可得： S 最大值 4 21已 知函数 f（ x） = （ 1）当 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若存在 ，使得 f（ x） 立，求实数 k 的取值范围 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 x 的范围，求出函数的单调区间即可； （ 2）分离参数，问题转化为 令 ，则 ，根据函数的单调性求出 h（ x）的最大值，从而求出 k 的范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = 时， f（ x） =0， 函数 f（ x）在 上是增函数； 时， f（ x） =0， 函数 f（ x）在 上是减函数； （ 2）由题意等价于 理得 令 ，则 ， 令 g（ x） =g（ x） = 0， g（ x）在 上单调