2017年高考原创押题卷（二）数学文科试题含答案解析

2017 年高考 原创押题卷（二） 数学 (文科 ) 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷 (选择题 共 60 分 ) 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 1， 0， 1， 2， B 2 1 ，则 A B ( ) A. 0， 1 B. 1， 0， 1 C. 0， 1， 2 D. 1， 0， 1， 2 2 若 z 1 i，则 2 ) B 1 C 12 D 1 3 为估计椭圆 1 的面积，利用随机模拟的方法产生 200 个点 (x， y)，其中 x (0， 2)，y (0， 1)，经统计有 156 个点落在椭圆 1 内，则由此可估计该椭圆的面积约为 ( ) A B C D 4 已知 ，点 D 为 中点，若向量 (1， 2)， | 1，则 ( ) A 1 B 2 C 1 D 2 5 中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅 “ 勾股弦方图 ” ，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明 如 图 21 所示，在 “ 勾股弦方图 ” 中，以 弦为边长得到的正方形 个相等的直角三角形和中间的那个小正方形组成，这一图形被称作 “ 赵爽弦图 ” 若正方形 正方形 面积分别为 25， 1，则 ( ) A. 725 B. 925 21 6 若函数 f( )x x 22 所 示，则下列判断正确的是 ( ) 图 22 A a0， b0， c0 B a 0， b0， c0 C a 0， D a 0， b0， B baab abba D baab9 已知数列 足 5n 2n，且对任意 n N*，恒有 24 所示的程序框图，若输入的 x 值依次为 1， 2，输出的 y 值依次为 12， 12， 12，则图中 处可填 ( ) 图 24 A y 2x 2 B y 3x 16 C y | |2x 3 1 D y 7x 12 10 已知点 P 为圆 C： 2x 4y a 0 与抛物线 D： 4y 的一个公共点，若存在过点 P 的直线 l 与圆 C 及抛物线 D 都相切，则实数 a 的值为 ( ) A 2 B. 2 C 3 D 5 11 如 图 25 所示，在三棱锥 A ， 是边长为 2 的正三角形，且平面 平面 该三棱锥外接球的体积为 ( ) 图 25 27 527 12 已知正数 a， b， c， d， e 成等比数列，且 1c d 1a b 2，则 d e 的最大值为 ( ) A. 39 B. 33 9 第 卷 (非选择题 共 90 分 ) 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13题第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22题、 23题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知等差数列 公差 d 0，若 1， 1，则 _ 14 若对任意实数 k，直线 y 2 a 0 恒过双曲线 C： 1(a0)的一个焦点，则双曲线 C 的离心率是 _ 15 已知不等式组x y 1 0，x y 1 0，3x y 3 0表示的平面区域为 D，若存在 ( D，使得 1 k(1)，则实数 k 的取值范围是 _ 16 已知 f(x)ln x， x0， x 0， 若方程 f( )x x a 有 2 个不同的实根，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分 )如 图 26 所示，在 ， 14 ， 2，点E 为 点，边 垂直平分线 边 于点 D. (1)求角 B 的大小； (2)若 62 ，求角 A 的大小 图 26 18 (本小题满分 12 分 )汽车尾气中含有一氧化碳 (碳氢化合物 (污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车 使用和安全技术、排放检 验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废 某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人，所得数据制成如下列联表： 不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p q 100 (1)若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为 35，问是否有 95%的把握认为 “ 对机动车强制 报废标准是否了解与性别有关 ” ？ 图 27 (2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 度的数据，并制成如 图 27 所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放的尾气中 度 y%与使用年限 t 线性相关，试确定 y 关于 t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 度是使用 4 年的多少倍 附： n（ （ a b）（ c d）（ a c）（ b d） (n a b c d) P(归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b ， a bt 19.(本小题满分 12 分 )如 图 28 所示， 直于正方形 在平面，点 E 是线段 一点， 3， 6，且 (1)试在 找一点 F，使 平面 求 (2)求三棱锥 P 体积 图 28 20 (本小题满分 12 分 )已知圆 2x 0 关于椭圆 C： 1( )ab0 的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l： y 1 与椭圆 C 交于 A， B 两点，已知 O 为坐标原 点，以线段 邻边作平行四边形 点 P 在椭圆 C 上，求 k 的值及平行四边形 面积 21 (本小题满分 12 分 )已知函数 f( )x )x 1 a| |x 1 . (1)若当 x 1 时， f( )x 2 25， ( )a 1，所以 a 4， b 3， 35，所以 1 21 2 352 725，故选 A. 6 D 解析 由 f( )0 0 可得 a 0，所以选项 A 不正确；若 b0， c0，则 c0 恒成立，f( )x 的定义域是 R，与图像相矛盾，所以选项 B 不正确；若 x0 时，由 c x f( )x 1， ab选 D. 9 A 解析 由 5n 21 5 2n，当 n 2 时， 1 ，当 n 3 时，1 1c d 1a b 2 可得 1c d d 2，所以c d 1 由 c d0 可得 01 解析 当直线 y x a 与曲线 y ln x 相切时，设切点坐标为 (t， ln t)，则切线斜率 k (ln x)x t 1t 1 ，所以 t 1，切点为 ( )1， 0 ，代入 y x a，得 a 1.当 x 0 时，由 f( )x x a，得 ( )x 1 ( )x a 0. 当 a 1 时， ln x x a( )x0 有1 个实根，此时 ( )x 1 ( )x a 0( )x 0 有 1 个实根，满足条件； 当 个实根，此时 ( )x 1 ( )x a 0( )x 0 有 1 个实根，不满足条件； 当 a 1 时， ln x x a( )x0 无实根，此时要使 ( )x 1 ( )x a 0( )x 0 有 2 个实根，应有 a 0 且 a 1，即a 0 且 a a 的取值范围是 a|a 1 或 0 17 解： (1)由 14 ，得 1 )A 14 ， 整理得 )A C 2 12， 即 )A C 12， 2 分 所以 C) 12， 又 5 分 故有 95%的把握认为 “ 对机动车强制报废标准是否了解与性别有关 ” (2)由折线图中所给数据计算，得 t 15 (2 4 6 8 10) 6， y 15 ( i 15( )16 4 0 4 16 40， i 15( )t ( )y ( 4) ( ( 2) ( 0 ( 2 4 8 分 故 b a bt 6 0, 10 分 所以所求回归方程为 y 2 年排放尾气中的 因为使用 4 年排放尾气中的 度为 所以预测该型号的汽车使用 12 年排放 尾气中的 度是使用 4 年的 . 12 分 19 解： (1)如图所示，在平面 ，过 E 作 G， 连接 取点 F，使 四边形 平行四边形， 3 分 又 平面 面 平面 F 即为所求的点 . 5 分 又 平面 A， 平面 设 x，则 9 18 C，得 9 3 18 ， x 3，即 3， 3 3， 3， 23， 23， 2. 8 分 (2)三棱锥 P 体积就是三棱锥 E 体积，点 C 到平面 距离 3，由 23，可得点 E 到平面 距离为 2. 10 分 面积 S 12 12 1 3 32， 三棱锥 P 体积 V 13 32 2 1. 12 分 20 解： (1)圆 2x 0 关于圆心 ( )1， 0 对称，与坐标轴的交点为 ( )0， 0 ， ( )2， 0 ， 所以椭 圆 C 的一个焦点为 ( )1， 0 ，一个顶点为 ( )2， 0 ，所以 a 2， c 1， 12 3， 故椭圆 C 的方程为 1. 4 分 (2)联立y 1，3412， 得 ( )3 4k2 88 0， 此时 6432( )3 40. 6 分 设 A( ) B( ) P( )则 84k( ) 2 84263 在椭圆 C 上，所以1，即16)3 4 12( )3 4 1， 整理得 14， k 12. 9 分 点 O 到直线 l 的距离 d 11 2 55 ， | | 1 ( )41 64)3 4 4 （ 8）3 4 4 6( )1 )213 43 52 ，所以 面积 12 d | |12 2 55 3 52 32， 所以平行四边形 面积 23. 12 分 21 解： (1)当 x 1 时， f( )x 2f( )x 在 )1， 上单调递增；当 12 a 0，即 a 12时， f( )x 0， f( ) )1， 上单调递减； 当 12 1 1a，由 f ( )x 0 得 1 2 a 0，即 a 12时， f( )x 0， f( )x 在 ( 1， 1)上单调递增； 当 12 f( )x 0 得 112时， f( )x 在 1， 1 1 1 1a， 1 上单调递减，在 (1， )上单调递增 22 解： (1)将x 1 22 t，y 22 t，得直线 l 的普通方程为 x y 1 由 2 42 3，得 2 32 3， 把 x， y 代入上式，得曲线 33，即 (2)联立x y 1 0，1， 得 x 0，y 1 或 x 32，y 12，不妨设 A( )0， 1 ， B 32， 12 ， 所以 | | 0 322 1 122 3 22 . 6 分 因为点 C 是曲线 C( 3 ， )， 则点 C 到直线 l 的距离 d | |3 12 2 6 12 323 22 ， 8 分 当 6 1 时取等号 所以 积 S 12 d | |12 3 22 3 22 94， 即 积的最大值为 23 解： (1)证明： a 1 |a| 1 2| |a 4 44 4 (2)由 44 及 42 44| |可得 | | 1，所以 1，当且仅当 a