2017年高考原创押题卷（三）数学理科试题含答案解析

2017 年高考 原创押题卷（三） 数学 (理科 ) 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷 (选择题 共 60 分 ) 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 M y|y x， N x|1，则 M N ( ) A. 22 ， 22 B. 22 ， 22 ， 22 ， 22 C.( ) 1， 1 D 1， 1 2 若定义运算 a bc d 满足 i z 1 z 2 的复数 z 是 ( ) A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 3 下列函数中，既是奇函数又零点个数最多的是 ( ) A y 1， x R B y x 1x， x R，且 x 0 C y x， x R D y x3(1)， x R，且 x 0 图 31 4 如图 31 所示，三棱柱 ，且侧棱 平面视图是边长为 2 的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为 ( ) A. 3 B 2 3 C. 2 D 2 2 5 对一个做直线运动的质点的运动过程观测了 8 次，得到如下表所示的数据： 观测次第 i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据 0 41 43 43 44 46 47 48 在上述数据的统计分析中，一部分计算见如图 32 所示的程序框图 (其中 a 是这 8 个观测数据的平均数 )，则输出 S 的值是 ( ) 图 32 A 7 B 9 C 11 D 13 6 如果 n 为正奇数，那么 7n 7n 1 1n 7 被 3 除 所得的余数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 不确定 7 在平面直角坐标系内，区域 M 满足0 x ，0 y 1， 区域 N 满足 0 x ，0 y x， 则向区域 M 内投一点，落在区域 N 内的概率是 ( ) A. 2 C 2 2 D 2 4 8 已知空间四面体 体积是 V，点 O 是该四面体内的一点，且满足 ( 2 1) 0，其中变量 0， 2 ，则下列判断正确的是 ( ) A 最大值为 2 24 V B 最大值均为 最大值为 12V D 4 V 9 已知方程 (m 1)(3 m)(m 1)(3 m)表示焦距为 8 的双曲线，则 m 的值为 ( ) A 30 B 10 C 6 或 10 D 30 或 34 10 如果 ，且 (0， 2 )，那么角 的取值范围是 ( ) A. 4 ， 34 B. 4 ， 54 C. 4 ， 34 D. 4 ， 54 11 已知点 A 32， 1 在抛物线 C： 2py(p0)的准线 l 上，过点 A 向抛物线 C 引切线 点为 T，点 上的动点，则点 T 的距离之和的最小值是 ( ) A. 5 B. 52 D. 52 或 5 12 已知函数 f(x)2 x 4 2x 的最大值为 M，最小值为 m，则 M m ( ) A 2 B 2 C 4 D 4 第 卷 (非选择题 共 90 分 ) 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13题第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22题第 23题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 数学家陶哲轩与林格合作证明了一个有关素数的结论：存在任意长度的素数等差数列 例如：数列 3， 5， 7 是包含有 3 个素数的公差为 2 的等差数列，则公差为 6 的素数等差数列中最小的素数是 _ 14 当 为任意角时，动直线 1 所围成区域的面积是 _ 15 有同一排的 电影票 6 张， 3 个教师和 3 个学生入座，要求师生相间，则不同的坐法种数是 _ 16 设 内角 A， B， C 满足 ( ) ，则 的最大值是_ 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分 )已知等差数列 前 n 项和为 1 2， 9 3 2. (1)求数列 通项公式及其前 n 项和； (2)设 证：数列 任意不同的三项都不可能成等比数列 18 (本小题满分 12 分 )某中学在每年的 11 月份都会举行 “ 文化艺术节 ” ，且在开幕式当天举办大型的文艺表演， 同时邀请 36 名不同社团的社长进行才艺展示，其中有 34的社长是高中学生， 14的社长是初中学生，高中学生社长中有 13是高一学生，初中学生社长中有 23是初二学生 (1)若校园电视台记者随机采访 3 名社长，求恰有 1 名是高一学生且至少有 1 名是初中学生的概率； (2)若校园电视台记者随机采访 3 名初中学生社长，设初二学生人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X) 19 (本小题满分 12 分 )如图 33，在直三棱柱 ， 2，且 是 1B 的交点， N 是线段 (1)求证： 平面 (2)求平面 平面 成锐二面角的正弦值 图 33 20.(本小题满分 12 分 )已知平面内定点 F(1， 0)，定直线 l： x 4， P 为平面内一动点，作 l，垂足为 Q，且 | 2|. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)若过点 F 且与坐标轴不垂直的直线，交动点 P 的轨迹于 A， B 两点，线段 垂直平分线交 x 轴于点 R，试判断 |否为定值 21 (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) (2 a)(x 1) 2ln x， g(x) x，其中 a R， e 为自然对数的底数 (1)若函数 f(x)在 0， 12 上无零点，求 a 的最小值； (2)若对任意给定的 ( 0， e ，在 ( 0， e 上总存在两个不同的 xi(i 1， 2)，使得 f( g(立，求 a 的取值范围 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 22 (本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P(1， 1)，倾斜角 6 . (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与曲线 C：x 3 ，y 2 ( 为参数 )相交于 A， B 两点，求点 P 到 A， B 两点的距离之积 23 (本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲 (1)设 a 和 b 是实数，求证： |a b| |a b| 2|a|； (2)若对于任意实数 a(a 0)和 b，不等式 |a b| |a b| |a|(|x 1| |x 2|)恒成立，试求实数x 的取值范围 参考答案数学 (理科 ) 2017 年高考 原创押题卷（三） 1 D 解析 因为 M y|y x R， N x|1 1， 1，所以 M N 1， 1 2 C 解析 依题意，得 ( )i 1 z 2，即 (1 i)(1 i)z 2( )1 i ，得 z 1 i. 3 D 解析 显然，函数 y x3(1)在 ( ) ， 0 ( )0， 上是奇函数， 且零点有 2个 4 B 解析 因为侧视图是一个矩形，两邻边的长分别为 2 和 3，所以其面积为 2 3. 5 A 解析 该程序框图的功能是输出这 8 个数据的方差，因为这 8 个数据的平均数 a40 0 1 3 3 4 6 7 88 44，所以，方差为 2 16 2 9 2 1 48 7，故输出 S 的值为 7. 6 B 解析 原式 (1 7)n 1 (9 1)n 1 9n 9n 1 1n 9 ( 1)n 1( 1)n 1 9M 2 3(3M 1) 1，其中 M N*，所以余数为 1. 7 A 解析 因为区域 M 的面积是 ，区域 N 的面积为 0 2，所以，所求概率是 2 . 8 C 解析 由 ( 2 1) 0，得 2 12 2 2 2 12 V2 24 V， A 错； BD2 由焦距为 8，得 (m 1) (m 3) 16， m 10. 10 B 解析 注意到不等式 的结构，构造函数 f(x) x3f(x)是 R 上的增函数，所以由不等式 f( ) f( )，得 ，又由 ( )0， 2 ，得 4 54 . 11 D 解析 依题意，易知 p 2，抛物线 C 的焦点为 F(0， 1)，设切点 T t， 14y 12x，以点 T 为切点的抛物线的切线方程为 y 14t2(x t)，将 32， 1 代入，整理得 3t 40，解得 t 1 或 t 4，即切点坐标为 1， 14 或 (4， 4)，即直线 方程为 2x 4y 10 或 2x y 4 作直线 垂线 垂足为 H，当点 P 为线段 抛物线 求距离之和最小 因此，点 P 到直线 l 和直线 距离之和的最小值为| |2 0 4 1 122 42 52 或| |2 0 1 1 422 ( ) 12 5，故选 D. 12 B 解析 令 g(x) f(x) 1 x x，则 g(x)有最大值 M 1 和最小值 m g(x)在 R 上为奇函数，于是 M 1 m 1 0，即 M m 2. 13 5 解析 易知满足题意的最小素数是 5. 14 解析 因为动直线 1 是单位圆 1 上任意一点 ( ， )处的切线，所以动 直线 1 所围成区域的面积为单位圆 1的面积，即 . 15 72 解析 先排 3 个学生有 将 2 个教师插入中间两空，有 后将剩下的 1 个教师安排在两边有 不同排法的种数是 72. 16. 158 解析 由题意及正弦定理，得 以 a c 12 2 111878，所以 1 782 158 . 17 解： (1)设公差为 d，由已知得 2 1，33d 9 3 2， d 2， 2 分 故 2n 1 2， n(n 2) (2)证明：由 (1)得 n 2. 假设数列 存在三项 br(p， q， r N*，且互不相等 )成等比数列， 8 分 则 (q 2)2 (p 2)(r 2)， ( 2(2q p r) 0， p， q， r N*， 0，2q p r 0， p (p r)2 0， p r， 与 p r 矛盾， 数列 任意不同的三项都不可能成等比数列 12 分 18 解： (1)由题意得，高中学生社长有 27 名，其中高一学生有 9 名；初中学生社长有 9 名，其中初二学生有 6 名 设事件 A 为 “ 采访的 3 名社长中，恰有 1 名是高一学生且至少有 1名是初中学生 ” ， 则 P(A) (2)X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，则 P(X 0) 84， P(X 1)314， P(X 2) 1528， P(X 3)21， 9 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 184 314 1528 521 E(X) 0 184 1 314 2 1528 3 521 2. 12 分 19 解： (1)证明：以 C 为原点，分别以 在直线为 x， y， z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 ， 0， 2)， ， 2， 0), B(0， 2， 0)， ， 0， 0)， M(1， 1， 1)， N(2， 1， 0)， ( 2， 2， 2)， (0， 2， 0)， (1， 0， 1)， 3 分 2 1 0 2 2 ( ) 1 0， 0 1 0 2 0 ( ) 1 0， B， 平面 (2)过 C 点作 H 点， 平面 平面 平面 故平面 一个法向量为 (0， 1， 1) 由 (1)知平面 一个法向量为 (1， 0， 1) 设 为所求两平面所成锐二面角，则 | |， | | 1 12 2 12，又 0， 2 ， 1 32 故平面 平面 成锐二面角的正弦值为 32 20 解： (1)设 P(x， y)，则 Q(4， y)， | 2|， 2 42， (4 x)2 4(1 x)2 化简整理，得 (2)依题意，可设直线 方程为 y k(x 1)(k 0)， 5 分 联立y k（ x 1），1，消去 y，得 (3 4k2)8412 0， 6 分 设 A( B(则 84123 48 分 设 中点为 D(则 44k(1) 34 线段 垂直平分线的方程为 y 34 1k x 44 令 y 0，得 4 | 14（ 1 410 分 | 1 k2| 1 （ 2 412（ 1 4 | 14为定值 21 解： (1)因为 f(x)0 恒成立， 即对任意的 x 0， 12 ， a2 2ln 1恒成立 2 分 令 l(x) 2 2ln 1， x 0， 12 ， 则 l(x)2x（ x 1） 2ln x（ x 1） 2 2ln x 2x 2（ x 1） 2 ， x 0， 12 ， 再令 m(x) 2ln x 2x 2， x 0， 12 ， 则 m(x) 22x 2（ 1 x）x2 m 12 2 20， 从而 l(x)0，所以 l(x)在 0， 12 上为增函数， 所以 l(x)2 2ln 1在 0， 12 上恒成立，只要 a 2 4， )， 综上，若函数 f(x)在 0， 12 上无零点，则 a