2017年江苏省南通市、扬州市高考数学三模试卷含答案解析

2017 年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学三模试卷 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） 1设复数 z=a+a， b R， i 为虚数单位），若 z=（ 4+3i） i，则 值是 2已知集合 U=x|x 0， A=x|x 2，则 3某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有1 首被播放的概率是 4如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 5为调査某高校学生对 “一带一路 ”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量 为 500 的样本，其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人若其他年级共有学生 3000 人，则该校学生总人数是 6设等差数列 前 n 项和为 公差 d=2， 0，则 值是 7在锐角 ， ， ，若 面积为 3 ，则 长是 8在平面直角坐标系 ，若双曲线 （ a 0）经过抛物线 x 的焦点，则该双曲线的离心率是 9圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的高是 10若直线 y=2x+b 为曲 线 y=ex+x 的一条切线，则实数 b 的值是 11若正实数 x， y 满足 x+y=1，则 的最小值是 12如图，在直角梯形 ， 0， ， C=2，若 E， F 分别是线段 的动点，则 的取值范围是 13在平面直角坐标系 ，已知点 A（ 0， 2），点 B（ 1， 1）， P 为圆x2+ 上一动点，则 的最大值是 14已知函数 f（ x） = 若函数 g（ x） =2f（ x） 有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题（本大 题共 6 小题，共 90 分 明过程或演算步骤 .） 15已知函数 f（ x） =x+ ）（ A 0， 0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过点（ ， ） （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若角 满足 f（ ） + f（ ） =1， （ 0， ），求 值 16如图，在四棱锥 P ，底面 矩形，平面 平面 P=M， N 分别为棱 中点求证： （ 1） 平面 2） 平面 17在平面直角坐标系 ，已知 椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点为 F（1， 0），且经过点（ 1， ） （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）已知椭圆的弦 点 F，且与 x 轴不垂直若 D 为 x 轴上的一点， B，求 的值 18如图，半圆 某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 长为 1 百米为了保护景点，基地管理部门从道路 l 上选取一点 C，修建参观线路 C D E F，且 与半圆相切，四边形 等腰梯形，设 DE=t 百米，记修建每 1 百米参观线路的费用为 f（ t）万元，经测算 f（ t）= （ 1）用 t 表示 线段 长； （ 2）求修建参观线路的最低费用 19已知 公差为 d 的等差数列， 是公比为 q 的等比数列， q 1，正整数组 E=（ m， p， r）（ m p r） （ 1）若 a1+b2=a2+b3=a3+ q 的值； （ 2）若数组 E 中的三个数构成公差大于 1 的等差数列，且 am+bp=ap+br=ar+ q 的最大值 （ 3）若 ） n 1， am+bm=ap+bp=ar+，试写出满足条件的一个数组 E 和对应的通项公式 注：本小问不必写出解答过程） 20已知函数 f（ x） =a R）记 f（ x）的导函数为 g（ x） （ 1）证明：当 a= 时， g（ x）在 R 上的单调函数； （ 2）若 f（ x）在 x=0 处取得极小值，求 a 的取值范围； （ 3）设函数 h（ x）的定义域为 D，区间（ m， + ） D若 h（ x）在（ m， + ）上是单调函数，则称 h（ x）在 D 上广义单调试证明函数 y=f（ x） ， + ）上广义单调 选修 4何证明选讲 21如图，已知 圆 O 的一条弦，点 P 为弧 的中点，过点 P 任作两条弦别交 点 E， F 求证： C=D 选修 4阵与变换 22已知矩阵 M= ，点（ 1， 1）在 M 对应的变换作用下得到点（ 1， 5），求矩阵 M 的特征值 选修 4标系与参数方程 23在坐标系中，圆 C 的圆心在极轴上，且过极点和点（ 3 ， ），求圆 C 的极坐标方程 选修 4修 4等式选讲 24知 a， b， c， d 是正实数，且 ，求证： a5+b5+c5+a+b+c+d 解答题 25如图，在四棱锥 S ， 平面 边形 直角梯形， 0， D=， （ 1）求二面角 S A 的余弦值； （ 2）设 P 是棱 一点， E 是 中点，若 平面 成角的正弦值为 ，求线段 长 26已知函数 x） = （ a 0， 0），设 x）为 1（ x）的导数，n N* （ 1）求 x）， x） （ 2）猜想 x）的表达式，并证明你的结论 2017 年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） 1设复数 z=a+a， b R， i 为虚数单位），若 z=（ 4+3i） i，则 值是 12 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解： a+ 4+3i） i= 3+4i a= 3， b=4 12 故答案为： 12 2已知集合 U=x|x 0， A=x|x 2，则 x|0 x 2 【考点】 1F：补集及其运算 【分析】 根据补集的定义写出运算结果即可 【解答】 解：集合 U=x|x 0， A=x|x 2， 则 x|0 x 2 故答案为： x|0 x 2 3某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有1 首被播放的概率是 【考点】 典概型及其概率计算公式 【分析】 先求出基本事件总数 n= =6，甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的对立事件是甲、乙 2 首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙 2 首歌曲至少有 1首被播放的概率 【解答】 解： 随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首， 基本事件总数 n= =6， 甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的对立事件是甲、乙 2 首歌曲都没 有被播放， 甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率： p=1 = 故答案为： 4如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 3 【考点】 序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 S=1， k=1 S=2， 不满足条件 S 10， k=2， S=6 不满足条件 S 10， k=3， S=15 满足条件 S 10，退出循环，输出 k 的值为 3 故答案为： 3 5为调査某高校学生对 “一带一路 ”政策的了解情况，现采用分 层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本，其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人若其他年级共有学生 3000 人，则该校学生总人数是 7500 【考点】 层抽样方法 【分析】 由题意，其他年级抽取 200 人，其他年级共有学生 3000 人，即可求出该校学生总人数 【解答】 解：由题意，其他年级抽取 200 人，其他年级共有学生 3000 人，则该校学生总人数是 =7500 故答案为： 7500 6设等差数列 前 n 项和为 公差 d=2， 0，则 值是 110 【考点】 85： 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列通项公式求出首项 ，由此利用等差数列前 n 项和公式能求出 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和为 公差 d=2， 0， a5= 2=10， 解得 ， 0 2+ =110 故答案为： 110 7在锐角 ， ， ，若 面积为 3 ，则 长是 【考点】 弦定理； 弦定理 【分析】 利用三角形的面积公式求出 A，再利用余弦定理求出 【解答】 解：因为锐角 面积为 3 ，且 ， ， 所以 3 4 ， 所以 ， 所以 A=60， 所以 ， 所以 = = 故答案为： 8在平面直角坐标系 ，若双曲线 （ a 0）经过抛物线 x 的焦点，则该双曲线的离心率是 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得 值，即可得双曲线的方程，计算可得 c 的值，由双曲线离心率公式计算可得答案 【解答】 解：根据题意，抛物线的方程 为 x， 其焦点为（ 2， 0）， 若双曲线 （ a 0）经过点（ 2， 0）， 则有 0=1，解可得 ， 即双曲线的方程为： ， 则 a=2， c= = ， 则双曲线的离心率 e= = ； 故答案为： 9圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的高是 2 【考点】 转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可 【解答】 解：设此圆锥的底面半径为 r， 根据 圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2r= ， r=1； 圆锥的高为： =2 故答案为： 2 10若直线 y=2x+b 为曲线 y=ex+x 的一条切线，则实数 b 的值是 1 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先设出切点坐标 P（ 再利用导数的几何意义写出过 P 的切线方程，最后由直线是 y=2x+b 是曲线 y=ex+x 的一条切线，求出实数 b 的值 【解答】 解： y=ex+x， y=， 设切点为 P（ 则过 P 的切线方程为 y ）（ x 整理，得 y=（ ） x x0+ 直线是 y=2x+b 是曲线 y=ex+x 的一条切线， =2， ， ， b=1 故答案为 1 11若正实数 x， y 满足 x+y=1，则 的最小值是 8 【考点】 7F：基本不等式 【分析】 根据题意，将 变形可得则 = + = + 1=（ x+y）（ + ） 1=（ 1+4+ + ） 1=（ + ） +4，由基本不等式分析可得答案 【解答】 解：根据题意， x， y 满足 x+y=1， 则 = + = + 1=（ x+y）（ + ） 1=（ 1+4+ + ） 1=（ + ） +4 2 +4=8， 即 的最小值是 8； 故答案为： 8 12如图，在直角梯形 ， 0， ， C=2，若 E， F 分别是线段 的动点，则 的取值范围是 4， 6 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 依题意，设 = （ 0 ）， = （ 1 0），由 = + ，= + ，可求得 =（ + ） （ + ） = + =9+4；再由 0 ， 1 0，即可求得 4 9+4 6，从而可得答案 【解答】 解： 0， ， C=2，且 E， F 分别是线段 的动点， = （ 0 ）， = （ 1 0）， 又 = + ， = + ， =（ + ） （ + ） =（ + ） （ + ） = + =9+4 0 ， 0 9 6 ， 又 1 0， 4 4 0 ， + 得： 4 9+4 6 即 的取值范围是 4， 6， 故答案为： 4， 6 13在平面直角坐标系 ，已知点 A（ 0， 2），点 B（ 1， 1）， P 为圆x2+ 上一动点，则 的最大值是 2 【考点】 线与圆的位置关系 【分析】 设出 =t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论 【解答】 解：设 P（ x， y）， =t，则（ 1 1 2x+（ 2 4y+2 4， 圆 x2+ 两边乘以（ 1 两圆方程相减可得 x（ 1 2y+2 3， （ 0， 0）到直线的 距离 d= ， t 0， 0 t 2， 的最大值是 2， 故答案为 2 14已知函数 f（ x） = 若函数 g（ x） =2f（ x） 有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 （ ， 2） 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 求出 g（ x）的解析式，计算 g（ x）的零点，讨论 g（ x）在区间 a， + ）上的零点个数，得出 g（ x）在（ ， a）上的零点个数，列出不等式解出a 的范围 【解答】 解： g（ x） = ， 显然，当 a=2 时， g（ x）有无穷多个零点，不符合题意； 当 x a 时，令 g（ x） x=0 得 x=0， 当 x a 时，令 g（ x） =0 得 x=0 或 ， （ 1）若 a 0 且 a 2，则 g（ x）在 a， + ）上无零点，在（ ， a）上存在零点 x=0 和 x= ， a，解得 0 a 2， （ 2）若 a=0，则 g（ x）在 0， + ）上存在零点 x=0，在（ ， 0）上存在零点 x= ， 符合题意； （ 3）若 a 0，则 g（ x）在 a， + ）上存在零点 x=0， g（ x）在（ ， a）上只有 1 个零点， 0（ ， a）， g（ x）在（ ，a）上的零点为 x= ， a，解得 a 0 综上， a 的取值范围 是（ ， 2） 故答案为（ ， 2） 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分 明过程或演算步骤 .） 15已知函数 f（ x） =x+ ）（ A 0， 0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过点（ ， ） （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若角 满足 f（ ） + f（ ） =1， （ 0， ），求 值 【考点】 y=x+）的部分图象确定其解析式； 弦函数的图象 【分析】 （ 1）由条件可求周期，利用周期公式可求 =1，由 f（ x）的图象经过 点（ ， ），可求 解得 A=1，即可得解函数解析式 （ 2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得 结合范围 （ 0，），即可得解 的值 【解答】 解：（ 1）由条件，周期 T=2，即 =2，所以 =1，即 f（ x） =x+ ） 因为 f（ x）的图象经过点（ ， ），所以 A=1， f（ x） =x+ ） （ 2）由 f（ ） + f（ ） =1，得 + ） + + ） =1， 即 + ） + ） =1，可得： 2 ） =1，即 因为 （ 0， ），解得： = 或 16如图，在四棱锥 P ，底面 矩形，平面 平面 P=M， N 分别为棱 中点求证： （ 1） 平面 2） 平面 【考点】 线与平面垂直的判定； 线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）推导出 而 此能证明 面 （ 2）推导出 而 平面 而 此能证明 平面 【解答】 证明：（ 1）因为 M、 N 分别为 中点， 所以 因为底面 矩形， 所以 以 又 面 面 所以 平面 （ 2）因为 D， P 为 中点，所以 因为平面 平面 又平面 平面 D， 面 所以 平面 又 面 以 因为 面 ， 平面 17在平面直角坐标系 ，已知椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点为 F（1， 0），且经过点（ 1， ） （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）已知椭圆的弦 点 F，且与 x 轴不垂直若 D 为 x 轴上的一点， B，求 的值 【考点】 线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）根据椭圆的定义，即可求得 2a=4，由 c=1， b2=，即可求得椭圆的标准方程； （ 2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得 M 点坐标，求得直线 直平分线方程，即可 求得 D 点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨 = （ ），即丨 = （ ），利用韦达定理即可求得丨 ，即可求得 的值 【解答】 解：（ 1）由题意， F（ 1， 0），由焦点 1， 0），且经过 P（ 1， ）， 由丨 +丨 =2a，即 2a=4，则 a=2， b2=， 椭圆的标准方程 ； （ 2）设直线 方程为 y=k（ x+1） 若 k=0 时，丨 =2a=4，丨 +丨 =1， =4 若 k 0 时， A（ B（ 中点为 M（ ，整理得：（ 4） 12=0， x1+ ，则 ，则 y0=k（ ） = 则 垂直平分线方程为 y = （ x+ ）， 由丨 =丨 ，则点 D 为 垂直平分线与 x 轴的交点， D（ ， 0）， 丨 = +1= ， 由椭圆的左准线的方程为 x= 4，离心率为 ，由 = ，得丨 =（ ）， 同理丨 = （ ）， 丨 =丨 +丨 = （ x1+4= ， =4 则综上，得 的值为 4 18如图，半圆 某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 长为 1 百米为了保护景点，基地管理部门从道路 l 上选取一点 C，修建参观线路 C D E F，且 与半圆相切，四边形 等腰梯形，设 DE=t 百米，记修建每 1 百米参观线路的费用为 f（ t）万元，经测算 f（ t）= （ 1）用 t 表示线段 长； （ 2）求修建参观线路的最低费用 【考点】 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）设 半圆相切于点 Q，则由四边形 等腰梯形知， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 圆切于 G 点，连接 点 E 作 足为 H可得 t G=t利用 + ，解得 （ 2）设修建该参观线路的费用为 y 万元 当 ，由 y=5 =5 利用 y，可得 y 在 上单调递减，即可得出 y 的最小值 当 时， y= =12t+ 利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出 【解答】 解：（ 1）设 半圆相切于点 Q，则由四边形 等腰梯形知， 以 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 设 圆切于 G 点，连接 点 E 作 足为 H G， G=t + ， 解得 + （ 0 t 2） （ 2）设修建该参观线路的费用为 y 万元 当 ，由 y=5 =5 y= 0，可得 y 在上单调递减， t= 时， y 取得最小值为 当 时， y= =12t+ y=12 + = ， 3t 1 0 t 时， y 0，函数 y 此时单调递减； t （ 1， 2）时， y 0，函数 t=1 时，函数 y 取得最小值 由 知， t=1 时，函数 y 取得最小值为 答：（ 1） + （ 0 t 2）（百米）（ 2）修建该参观线路的最低费用为 19已知 公差为 d 的等差数列， 是公比为 q 的等比数列， q 1，正整数组 E=（ m， p， r）（ m p r） （ 1）若 a1+b2=a2+b3=a3+ q 的值； （ 2）若数 组 E 中的三个数构成公差大于 1 的等差数列，且 am+bp=ap+br=ar+ q 的最大值 （ 3）若 ） n 1， am+bm=ap+bp=ar+，试写出满足条件的一个数组 E 和对应的通项公式 注：本小问不必写出解答过程） 【考点】 84：等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）由 a1+b2=a2+b3=a3+用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+=d+简解出即可得出 （ 2） am+bp=ap+br=ar+ am=得（ p m） d=m m），同理可得：（ r p） d=m 1）由 m， p， r 成等差数列，可得 p m=r p=（ r m），记 m=t，解得 t= 即 m= ，由 1 q 0，记 p m=， 为奇函数，由公差大于 1， 3可得 |q|= ，即 q ，即可得出 （ 3 ）满足题意的数组为 E= （ m ， m+2 ， m+3 ），此时通项公式为：， m N* 【解答】 解：（ 1） a1+b2=a2+b3=a3+ a1+=d+为：2q 1=0， q 1 解得 q= （ 2） am+bp=ap+br=ar+ am= （ p m） d=m m）， 同理可得：（ r p） d=m 1） m， p， r 成等差数列， p m=r p= （ r m），记 m=t，则 2t 1=0， q 1， t 1，解得 t= 即 m= ， 1 q 0， 记 p m=， 为奇函数，由公差大于 1， 3 |q|= ，即 q ， 当 =3 时， q 取得最大值为 （ 3 ）满足题意的数组为 E= （ m ， m+2 ， m+3 ），此时通项公式为：， m N* 例如 E=（ 1， 3， 4）， 20已知函数 f（ x） =a R）记 f（ x）的导函数为 g（ x） （ 1）证明：当 a= 时， g（ x）在 R 上的单调函数； （ 2）若 f（ x）在 x=0 处取得极小值，求 a 的取值范围； （ 3）设函数 h（ x）的定义域为 D，区间（ m， + ） D若 h（ x）在（ m， + ）上是单调函数，则称 h（ x）在 D 上广义单调试证明函数 y=f（ x） ， + ）上广义单调 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值； 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可； （ 2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定 a 的具体范围即可； （ 3）记 h（ x） =x 0），求出函数的导数，通过讨论 a 的范围结合函数的单调性证明即可 【解答】 （ 1）证明： a= 时， f（ x） = x2+ 故 f（ x） =x g（ x） =x g（ x） =1 0， 故 g（ x）在 R 递增； （ 2）解： g（ x） =f（ x） =2 g（ x） =2a a 时， g（ x） 1 0，函数 f（ x）在 R 递增， 若 x 0，则 f（ x） f（ 0） =0， 若 x 0，则 f（ x） f（ 0） =0， 故函数 f（ x）在（ 0， + ）递增，在（ ， 0）递减， 故 f（ x）在 x=0 处取极小值，符合题意； a 时， g（ x） 1 0， f（ x）在 R 递减， 若 x 0，则 f（ x） f（ 0） =0， 若 x 0，则 f（ x） f（ 0） =0， 故 f（ x）在（ 0， + ）递减，在（ ， 0）递增， 故 f（ x）在 x=0 处取极大值，不合 题意； a 时，存在 （ 0， ），使得 a，即 g（ =0， 但当 x （ 0， ， 2a，即 g（ x） 0， f（ x）在（ 0， 减， 故 f（ x） f（ 0） =0，即 f（ x）在（ 0， 减，不合题意， 综上， a 的范围是 ， + ）； （ 3）解：记 h（ x） =x 0）， a 0 时， x，则 ，即 2 ， 当 x 时， h（ x） =21 22 2=2（ ）（ ） 0， 故存 在 m= ，函数 h（ x）在（ m， + ）递增； a 0 时， x 1 时， h（ x） =21 1 0， 故存在 m=1，函数 h（ x）在（ m， + ）递减； 综上，函数 y=f（ x） （ 0， + ）上广义单调 选修 4何证明选讲 21如图，已知 圆 O 的一条弦，点 P 为弧 的中点，过点 P 任作两条弦别交 点 E， F 求证： C=D 【考点】 圆有关的比例线段 【分析】 连结 导出 而 E、 F、 D、 C 四点共圆由此能证明 C=D 【解答】 解：连结 因为 点 P 为弧 中点， 所以 所以 又 所以 所 E、 F、 D、 C 四点共圆 所以 C=D 选修 4阵与变换 22已知矩阵 M= ，点（ 1， 1）在 M 对应的变换作用下得到点（ 1， 5），求 矩阵 M 的特征值 【考点】 征值与特征向量的计算 【分析】 设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论 【解答】 解：由题意， = ，即 ，解得 a=2， b=4，所以矩阵 M= 所以矩阵 M 的特征多项式为 f（ ） = =2 5+6，令 f（ ） =0，得矩阵 M 的特征值为 2 和 3 选修 4标系与参数方程 23在坐标系中，圆 C 的圆心在极轴上，且过极点和点（ 3 ， ），求圆 C 的极坐标方程 【考点】 单曲线的极坐标方程 【分析】 因为圆心 C 在极轴上且过 极点，所以设圆 C 的极坐标方程为： =因为点（ 3 ， ）在圆 C 上，代入解得 即可得出圆 C 的极坐标方程 【解答】 解：因为圆心 C 在极轴上且过极点，所以设圆 C 的极坐标方程为：= 又因为点（ 3 ， ）在圆 C 上， 所以 =解得 a=6， 所以圆 C 的极坐标方