天津市河东区2017届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

河东区 2017 年高二模考 试 数学试 卷 (理工类 ) 第 卷（共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知复数 21 , 12 ,若21则实数 t 的值是 ( ) A41B C41D 1 2. 设集合 01 2 ,2 x ,则 ( ) A (0,1) B () C ),1( D )1,21(3. 已知函数 0,20,2)( )1( 则 a ( ) A41B21C 2 D 1 4. 若 a , ， 直 线 l : ,圆 C : 122 命题 p :直线 l 与圆 C 相交；命题 q ：12 则 p 是 q 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选 2 种球给甲班学生使用，剩余的 2 种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是 ( ) A31B21C. 32D656. 已知抛物线 2 的准线与双曲线 116222 ， B 两点，点 F 为抛物线的焦点， 为直角三角形，则双曲线的离心率为 ( ) A 3 B 12 D 3 7. 若数列 aa 20 16)1(，(2 ，且nn ，对任意 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A )21,1B ） C.) D )23,28. 已知函数5,2)(2，若函数 )()( 恰 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ) B ) C. ) D 0,2 第 卷（共 110 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 3()( 的单调递增区间为 输入的 a ， b 值分别为 0 和 9，则输出的 i 值为 该几何体的体积为 a ， 0b ，且 42 则 ，在函数 与 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 3 ，则 值为 知 中，点 M 在线段 ，点 P 在线段 ，且满足 2 2 3 120 则 的值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 .） 15. 已知函数 )32c o s ()( 4s 4s （）求函数 )(最小正周期和图象的对称轴方程； （）讨论函数 )(区间 2,12 上单调性求出的值域 . 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与 P ，且乙投球 2次均未命中的概率为161. （）求乙投球的命中率 P ； （）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望 . 17. 如图，直三棱柱 111 中， 4 3 41 ，点 B 上 . （）证明 ； （）若 D 是 点，证明 /1面 （）当31二面角 1 的余弦值 . 18. 已知数列 n 项和 3 2 ， 1 （）求 数列 （）令()1( 1 ，求数列 前 n 项和 19. 在平面直角坐标系 ，椭圆 C ： )0(12222 线被椭圆 C 截得的线段长为 5104 . （）求椭圆 C 的方程； （）过原点的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点（ A ， B 不是椭圆 C 的顶点），点 D 在椭圆C 上，且 D 与 x 轴、 y 轴分别交于 M ， N 两点 D ， 斜率分别为 1k ， 2k ，证明存在常数 使得 21 ，并求出 的值 . 标系与参数方程 设函数 ， . （）当 时，求函数 )(极小值； （）讨论函数3)()( 零点的个数； （）若对任意的 0 1)()( ab 求 m 的取值范围 . 河东区 2017 年高考二模考试 数学 试卷 （理工类）参考 答案 一、选择题 1 6 二、填空题 9. ),2( 11. 33512. 2113. 、解答题 ） )32c o s ()( s 4s s )c o s) ( s o s( s in 2 co ss 2co co 2co )62 x . 周期 22T. 由 )(262 ，得 )(32 . 函数图象的对称轴方程为 )(32 . （） 2,12 x， 65,362 x. )62s ( 区间 3,12 上单调递增，在区间 2,3 上单调递减， 当3)(最大值 1. 21)2(2 3)12( 12x，23)( m 所以值域为 1,23. ）设“甲投球一次命中”为事件 A ，“乙投球一次命中”为事件 B . 由题意得 161)1()(1( 22 解得43p（舍去），所以乙投球的命中率为43. （）由题设和（）知21)( 1)( 3)( 1)( 可能的取值为 0,1,2,3，故 ()0( 321)41(21)( 2 )()()1( )()()(12 3272141432)41(21 2 ， )()()3( 329)43(21 2 ， 3215)3()0(1)2( 分布列为： 0 1 2 3 P 3213273215329所以32713210 E 2329332152 . 17. 解：（）证明：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 0,0,3(B ， )0,4,0(A ，)4,4,0(1A ， )4,0,3(1B ， )4,0,0(1C . )0,4,0( )4,0,3(1 01 所以 . （）解法一： )4,4,0(1 设平面 法向量 ),( ， 由 )4,0,3(1 43),( 且 )0,2,23(223),( 令 4x 得 )3,3,4( m ， 所以 0)3,3,4()4,4,0(1 又 1面 所以 /1面 解法二：证明：连接 1交 1 E ， 因为直三棱柱 111 ， D 是 点， 所以侧面 1 为矩形， 1的中位线 . 所以 1/ 因为 面 1面 所以 /1面 （）由（）知 ， 设 )0,0)(0,( 因为点 D 在线段 ，且31 所以 2a ，34b， 0,34,1(. 所以 )4,0,3(1 )0,34,2(平面 法向量为 )1,0,0(1 n . 设平面 法向量为 )1,(2 ， 由 021 02 得 0342 043 所以34x， 2y ， 2n )1,2,34(. 设二面角 1 的大小为 ， 所以613c o . 所以二面角 1 的余弦值为61613. 18. 解：（）由题知，当 2n 时， 561 1n 时， 1111 符合上式 . 所以 56 d ，由,322211 为,3217,21111 db 解得41b ， 3d ，所以 13 （） 11 2)1(3)33()66( nn .则 32 232232)1(. 1 43 232232 2)1(. 2 两式作差，得 432 222232)1(2. 21 nn n 2)1(21 )21(443 2 nn n 223 所以 223 nn 19. 解：（）23e，23322222 a 22 4 . 设直线 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，不妨设点 P 为第一象限内的交点 .5104 )5 52,5 52(22245 . 由知 42 a ， 12b ，所以椭圆的方程为： 14 22 （）设 )0)(,( 1111 ,( 22 则 ),( 11 ，直线 斜率为11，又，故直线 斜率为11D 的方程为 ，由题知 0k ， 0m 联立14 22得 )41(22 044 2 m . 221 418 ， )( 2121 24122 ，由题意知 021 1121211 441 ，直线 方程为 )(4 1111 . 令 0y ，得 13，即 )0,3( 1可得 221 21 ，即21. 因此存在常数21使得结论成立 . 20. 解：（ 1）由题设，当 时， ，易得函数 )(定义域为 ),0( ， 221)( x .当 ),0( 时， 0)( )( ),0( e 上单调递减； 当 ),( ， 0)( )( ),( e 上单调递增；所以当 时， )(得极小值 2 以 )(极小值为 2. （ 2）函数 3)()( 1 2 )0( x，令 0)( 得 231 )0( x. 设 )0(31)( 2 则 1)( 2)1)(1( 当 )1,0(x 时， 0)( x ， )(x 在（ 0,1）上单调递增； 当 ),1( x 时， 0)( x ， )(x 在 ),1( 上单调递减； 所以 )(x 的最大值为32131)1( ，又 0)0( ，可知： 当32数 )(有零点； 当32数 )(且仅有 1 个零点； 当320 数 )( 2 个零点； 当 0m 时，函数 )(且只有 1 个零点 . 综上所述： 当32数