全程复习方略（山东专用）2013版高中数学 （主干知识 典例精析）34正弦型函数yasin（x ）课件 理 新人教b版

第四节 正弦型函数y=Asin(x+) 三年12考 高考指数: 1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义，能画出函数 y=Asin(x+)的图象，了解参数A、对函数图象变化的 影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三 角函数解决一些简单的实际问题. 1.图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查 ，是高考中考查的重点和热点. 2.结合三角恒等变换考查y=Asin(x+)的性质及简单应用是 考查的热点. 1.用“五点法”作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为: (1)定点：先确定五点.即令x+分别等于0, , 2， 得对应的五点为 _, _，_,_, _. (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连 接得到y=Asin(x+)在一个周期内的图象. (3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(x+) 在R上的图象. 【即时应用】 (1)思考：三角函数y=Asin(x+)(A0,0,|0) (1)先平移后伸缩 y=sinx的图象 y=sin(x+)的图象 y=sin(x+)的图象 y=Asin(x+)的图象 y=Asin(x+)+k的图象 A (2)先伸缩后平移 y=sinx的图象 y=Asinx的图象 y=Asinx的图象 y=Asin(x+)的图象 y=Asin(x+)+k的图象 A 【即时应用】 (1)ysin(x )的图象是由ysinx的图象向_平移 _个单位得到的. (2)ysin(x )的图象是由ysinx的图象向_平移 _个单位得到的. (3)ysin(x )的图象是由ysin(x )的图象向_ 平移_个单位得到的. (4)y=sin(2x+ )的图象是由y=sin2x的图象向_平移 _个单位得到的. 【解析】(1)(2)(3)根据图象变化规律易求. (4)y=sin(2x+ )=sin2(x+ ), 将y=sin2x的图象向左平移 个单位长度就得到y=sin(2x+ )的图象. 答案：(1)左 (2)右 (3)右 (4)左 3.函数y=Asin(x+)的物理意义 在物理上，当函数y=Asin(x+)(A0,0),x0,+) 表示简谐运动时，则各量的物理意义为 物理量 振幅周期频率相位初相 表达式 Ax+ 【即时应用】 如图，它表示电流I=Asin(t+)(A0,0,| )在一 个周期内的图象. 则(1)I=Asin(t+)的解析式：_，其频率f=_. (2)它的相位为_，初相为_. 【解析】由图象知A= 所以 由 +=2k+得=2k+ (kZ), | = 所以I= sin( t+ )，T= 即f= 答案：(1)I= sin( t+ ) (2) 函数y=Asin(x+)(A0,0)的 图象及其图象变换 【方法点睛】 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象的作法 (1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)(A0,0)的简 图，主要是通过变量代换，设z=x+，由z取0， ， 2 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. (2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到 y=Asin(x+)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”. 【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数 图象变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同. 【例1】画出函数y3sin(2x )，xR的简图. 【解题指南】作函数y3sin(2x )的图象可用五点作图或图 象变换法. 【规范解答】方法一：五点法 由T 得T，列表： x 2x+02 3sin(2x+ ) 030-30 描点画图： 将所得图象按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+ )在R上的图象. 方法二：图象变换法 将所得图象按周期向两侧扩展可得 在R上的图象. 【反思感悟】1.五点法作图的关键是正确确定五个点,而后列 表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，应向 两侧伸展，以表示整个定义域上的图象. 2.用图象变换法作图仅能作出简图. 【变式训练】试述如何由y= sin(2x+ )的图象得到y=sinx的 图象. 【解析】方法一：y= sin(2x+ )的图象 y= sin(x+ )的图象 y= sinx的图象 y=sinx的图象 方法二： (1)先将y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位，得到y= sin2x的图象； (2)再将y= sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不 变)，得到y= sinx的图象； (3)再将y= sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐 标不变)，即可得到y=sinx的图象. 由图象求解析式 【方法点睛】 确定y=Asin(x+)+b(A0,0)的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m, 则 (2)求，确定函数的周期T，则可得 (3)求，常用的方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，,b已知)或 代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上 还是在下降区间上). 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点 为突破口.具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x+=0;“第二 点”(即图象的“峰点”)时x+= “第三点”(即图象下 降时与x轴的交点)时x+=;“第四点”(即图象的“谷点”) 时x+= “第五点”时x+=2. 【提醒】在求时要注意已知中所给的的范围. 【例2】(1)如图是函数yAsin(x)2(A0,0)的图 象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( ) (A)A3， (B)A1， (C)A1， (D)A1， (2)函数y=Asin(x+)(0,|)在一个周期内的图象 如图，则此函数的解析式为( ) (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin( - ) (D)y=2sin(2x- ) (3)如图是f(x)Asin(x)，A0，0, 的 一段图象，则函数f(x)的解析式为_. 【解题指南】由图象确定三角函数yAsin(x)中的各值， 首先确定A的值，其次根据图象求周期T，根据周期求；最后根 据所给的数据求. 【规范解答】(1)选C.由图象知， 所以T= 由 + +2k得= +2k,kZ， 当k=-1时，= (2)选A.由图象知A=2， T=,=2, 函数解析式为y=2sin(2x+), 又当x= 时，y=2, 即sin( +)=1,= (3)由图象得A=2，当x=0时，sin 因为 所以 所以由题图可知 =，=3.所以 y=2sin(3x+ ). 答案：y=2sin(3x+ ) 【互动探究】把本例中(3)的图象改为如图，其他不变，如何求 解？ 【解析】由图象知 所以T=16，则= 由6 +=+2k,kZ,| 得 所以函数的表达式 为：y= sin( ). 【反思感悟】1振幅A与最值有关；与周期T有关；初相 用待定系数法求解; 2利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重; 3要善于观察图象，抓住图象的特征. 【变式训练】函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| )的 部分图象如图所示. (1)求，. (2)求函数的图象的对称轴和对称中心. 【解析】(1)由图象知A=1， T=,= =2, 由2 +=2k+ 得=2k+ (kZ), | = y=sin(2x+ ). (2)由2x+ =k+ 得x= (kZ), 函数f(x)的对称轴为x= (kZ). 又由2x+ =k得x= (kZ), 故对称中心为( 0)(kZ). 三角函数性质的应用 【方法点睛】 函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 (1)奇偶性 =k(kZ)时，函数y=Asin(x+)为奇函数；=k+ (kZ)时，函数y=Asin(x+)为偶函数. (2)周期性 y=Asin(x+)存在周期性，其最小正周期为T= (3)单调性 根据y=sint和t=x+的单调性来研究，由 - +2kx+ +2k,kZ得单调增区间；由 +2kx+ +2k,kZ得单调减区间. (4)对称性 利用ysinx的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令 x+=k,(kZ)求得x. 利用y=sinx的对称轴为x=k+ (kZ)求解,令x+=k+ (kZ),得其对称轴. 【例3】(2012德州模拟)已知函数f(x)=Asin(x+) (A0,0,|0,0,00,-0,0, )的部 分图象如图所示，则y=f(x)的图象可由函数 y=sinx的图象(纵坐标不变)变换如下( ) (A)先把各点的横坐标缩短到原来的 倍 ，再向右平移 个单位 (B)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位 (C)先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位 (D)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位 【解析】选A.由图象及f(x)=Asin(x+)可知：A=1， 又 T=,= =2, f(x)=sin(2x+). 又图象过点( 1), 1=sin( +), +=2k+ kZ, 又 = f(x)=