【真题】2017年山东省高考理科数学试题含答案解析

绝密启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的 . （ 1） 设函数 4- 的定义域 A，函数 y=定义域为 B,则 （ A）（ 1,2） （ B） (1,2 （ C） （ ） （ D） ) 【答案】 D 【解析】由 240x得 22x ，由 10x 得 1x ，故A B = | 2 2 | 1 | 2 1 x x x x x x ，选 D. （ 2）已知 ,i 是虚数单位，若 3 , 4z a i z z ，则 a= （ A） 1或 （ B） 7 - 7或 （ C） - 3 （ D） 3 【答案】 A 【解析】由 3 , 4z a i z z 得 2 34a ，所以 1a ，故选 A. （ 3）已知命题 p: 0 , l n 1 0；命题 q：若 a b，则 ，下列命题为真命题的是 （ A） （ B） （ C） （ D） 【答案】 B （ 4）已知 x,x y 30+ 5 030x，则 z=x+2（ A） 0 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 6 【答案】 C 【解析】由 x y 30+ 5 0300如图所示 ，平移 20发现， 当其经过直线 3x + y 5 0+ 与 x 的交点 ( 3,4) 时， 2z x y 最大为 3 2 4 5z ，选 C. （ 5）为了研究某班学生的 脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 y bx a已知 101225 ， 1011600 ， 4b 该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 （ A） 160 （ B） 163 （ C） 166 （ D） 170 【答案】 C 【解析】 2 2 . 5 , 1 6 0 , 1 6 0 4 2 2 . 5 7 0 , 4 2 4 7 0 1 6 6x y a y ,选 C. （ 6）执行 学科 #网 两次右图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7 ，第二次输入的 x 的值为 9 ，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为 （ A） 0， 0 （ B） 1， 1 （ C） 0， 1 （ D） 1，0 【答案】 D 【解析】第一次 227 , 2 7 , 3 , 3 7 , 1x b a ； 第二次 229 , 2 9 , 3 , 3 9 , 0x b a ， 选 D. （ 7）若 0 ，且 1，则下列不等式成立的是 （ A） 21 l o g2 a （ B） 2 1l o g2 ab a b a b （ C） 21 l o g 2 a （ D） 2 1l o g 2 b a b 【答案】 B 【解析】221 , 0 1 , 1 , l o g ( ) l o g 2 1 ,2 b a b a b 12112 l o g ( )a b a a b a a ， 所以选 B. （ 8）从分别标有 1 ， 2 ， 9 的 9 张卡片中不放回 地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （ A） 518（ B） 49（ C） 59（ D） 79【答案】 C 【解析】 12542 59 8 9,选 C. （ 9）在 C 中，角 ， ， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 C 为锐角三角形，且满足 s i n 1 2 c o s C 2 s i n c o s C c o s s i n C ，则下列等式成立的是 （ A） 2 （ B） 2 （ C） 2 （ D）2 【答案】 A 【解析】 s i n ( ) 2 s i n c o s 2 s i n c o s c o s s i B C A C A C 所以 2 s i n c o s s i n c o s 2 s i n s i n 2B C A C B A b a ， 选 A. （ 10）已知当 0,1x 时，函数 21y 的图象与 y x m的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 （ A） 0 , 1 2 3 , （ B） 0,1 3, （ C） 0 , 2 2 3 , （ D） 0 , 2 3 , 【答案】 B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 （ 11）已知 13的展开式中含有 2x 项的系数是 54 ，则 n . 【答案】 4 【解析】 1 C 3 C 3rr r r rr n ，令 2r 得： 22C 3 54n ，解得 4n （ 12）已知12,123 0 ，则实数 的值是 . 【答案】 33【解析】 221 2 1 2 1 1 2 1 2 23 3 3 3e e e e e e e e e e ， 2 221 2 1 2 1 1 2 23 3 3 2 3 2e e e e e e e e ， 2 22 221 2 1 2 1 1 2 221e e e e e e e e ， 223 2 1 c o s 6 0 1 ，解得： 33 (13)由一个长方体和两个 14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 . 【答案】 22【解析】该几何体的体积为 21V 1 1 2 2 1 1 242 （ 14）在平面直角坐标系 ，双曲线 22 1 0 , 0xy 的右支与焦点为 F 的抛物线 2 20x p x p交于 , 4A F B F O F，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 22（ 15）若函数 xe f x （ 是自然对数的底数）在 称函数 性质 性质的函数的序号为 . 2 3 3f x x 2 2f x x 【答案】 【解析】 22xx x x ee f x e 在 R 上单调递增，故 2 具有 性质； 33xx x x ee f x e 在 R 上单调递减，故 3 不具有 性质； 3f x e x，令 3xg x e x，则 3 2 232x x xg x e x e x x e x ， 当 2 时， 0 ，当 2x 时， 0 ， 3f x e x在 ,2 上单调递减，在 2, 上单调递增，故 3f x x 不具有 性质； 2 2f x e x，令 22xg e x ，则 22 2 2 1 1 0x x xg x e x e x e x ， 2 2f x e x在 R 上单调递增，故 2 2f x x具有 性质 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 ) s i n ( ) s i n ( )62f x x x ，其中 03 ) 06f . （）求 ； （）将函数 ()y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数 ()y g x 的图象，求 () 3 , 44上的最小值 . 【答案】 （） 2 .（）得最小值 32. （）由（）得 ( ) 3 s i n ( 2 )3f x x 所以 ( ) 3 s i n ( ) 3 s i n ( )4 3 1 2g x x x . 因为 3 , 44x ， 所以 2 , 1 2 3 3x ， 当12 3x ， 即4x 时， ()得最小值 32. 何体是圆柱的一部分，它是由矩形 及其内部）以 所在直线为旋转轴旋转120 得到的， G 是 中点 .学 （）设 P 是 的一点， 且 E ，求 的大小； （）当 3， 2，求二面角 E 的大小 . 【答案】 （） 30 .（） 60 . 【解析】 解：（）因为 E ， E ， 平面 P A ， 所以 平面 又 平面 所以 P ，又 120 ， 因此 30 （）解法一： 取 中点 H ，连接 因为 120 ， 所以四边形 菱形， 解法二： 以 B 为坐标原点，分别以 在的直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题意得 (0,0,3)A (2,0,0)E ， (1, 3, 3)G ， ( 1, 3, 0)C ，故 ( 2 , 0 , 3 )， (1, 3 , 0 ) ，(2, 0, 3) ， 设1 1 1( , , )m x y z是平面 一个法向量 . 由 00m G 可得 11112 3 0 ,3 0 ,取1 2z ，可得平面 一个法向量 (3, 3 , 2)m . 设2 2 2( , , )n x y z是平面 一个 法向量 . 由 00n G 可得22223 0 ,2 3 0 ,取2 2z ，可得平面 一个法向量 ( 3 , 3 , 2 )n . 所以 1c o s ,| | | | 2 . 因此所求的角为 60 . （ 18）（本小题满分 12 分） 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理 暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 名 中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示。 （ I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 3的频率。 （ X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 【答案】（ I） I)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1425211021521142X 的数学期望是 2. 【解析】解：（ I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1包含3，则485105( ) (题意知 X 可取的值为： 0,1,2,3,565101( 0 ) ,42 41645105( 1 ) ,21 326451010( 2 ) ,21 23645105( 3 ) ,21 14645101( 4 ) ,42 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1425211021521142X 的数学期望是0 ( 0 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 ( 3 ) 4 ( 4 )E X P X P X P X P X P X =1 5 1 0 5 10 1 2 3 4 2 2 1 2 1 2 1 4 2 （ 19）（本小题满分 12 分） 已知 各项均为正数的等比数列，且 x1+， （）求数列 通项公 式； （）如图，在平面直角坐标系 ，依次连接点 P1(1)， P2(2) (, n+1)得到折线 2 ，学 y=0， x=x 所围成的区域的面积【答案】 (I) （ ( 2 1 ) 2 1 【解析】解： (I)设数列 q，由已知 q0. 由题意得 11232x x qx q x q，所以 23 5 2 0 ， 因为 q0,所以12, 1， 因此 数列 - 得 1 2 1 13 2 ( 2 2 . . . . . . 2 ) ( 2 1 ) 2 = 1 13 2 ( 1 2 ) ( 2 1 ) 2 2 n 所以 ( 2 1 ) 2 1 （ 20）（本小题满分 13 分） 已知函数 2 2 c o sf x x x ， c o s s i n 2 2xg x e x x x ，其中 是自然对数的底数 . （）求曲线 y f x 在点 , 处的切线方程； （）令 h x g x a f x a R ，讨论 极值时求出极值 . 【答案】（） 222 . （）综上所述： 当 0a 时， ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增， 函数 小值是 0 2 1 ； 当 01a时，函数 , 和 0, 0, 上单调递增，在 0a 上单调递减，函数 有极小值， 极大值是 2l n l n 2 l n s i n l n c o s l n 2h a a a a a a 极小值是 0 2 1 ； 当 1a 时，函数 , 上单调递增，无极值； 当 1a 时，函数 ,0 和 a 上单调递增， 在 0,单调递减，函数 有极小值， 极大值是 0 2 1 ； 极小值是 2l n l n 2 l n s i n l n c o s l n 2h a a a a a a . 【解析】解：（）由题意 2 2f 又 2 2 s i nf x x x ， 所以 2f ， 因此 曲线 y f x 在点 , f处的切线方程为 2 22 ， 即 222 . （）由题意得 22c o s s i n 2 2 2 c o sh x e x x x a x x ， 因为 c o s s i n 2 2 s i n c o s 2 2 2 s i x e x x x e x x a x x 2 s i n 2 s i x x a x x 2 s i a x x ， 令 x x x 则 1 c o s 0m x x 所以 上单调递增 . 所以 当 0x 时， 当 0x 时， 0 (2)当 0a 时， s i x e e x x 由 0 得 1 2=0x当 01a时， a ， 当 , 时， , 0e h x ， 当 0时， , 0e h x ， 当 0,x 时， , 0e h x ， 所以 当 时 极大值为 2l n l n 2 l n s i n l n c o s l n 2h a a a a a a ， 当 0x 时 小值是 0 2 1 ； 当 1a 时， a ， 所以 当 ,x 时， 0 ，函数 , 上单调递增，无极值； 极小值是 2l n l n 2 l n s i n l n c o s l n 2h a a a a a a . 综上所述： 当 0a 时， ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增， 函数 小值是 0 2 1 ； 当 01a时，函数 , 和 0, 0, 上单调递增，在 0a 上单调递减，函数 有极小值， 极大值是 2l n l n 2 l n s i n l n c o s l n 2h a a a a a a 极小值是 0 2 1 ； 当 1a 时，函数 , 上单调递增，无极值； 当 1a 时，函数 ,0 和 a 上单调递增， 在 0,单调 递减，函数 有极小值， 极大值是 0 2 1 ； 极小值是 2l n l n 2 l n s i n l n c o s l n 2h a a a a a a . （ 21）（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 ，椭圆 E ： 221 0的离心率为 22，焦距为 2 . （）求椭圆 E 的方程； （）如图，动直线 l ：1 32y k x交椭圆 E 于 ,C 是椭圆 E 上一点，直线 斜率为2k，且12 24 M 是线段 长线上一点，且 :