安徽省蚌埠市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题 1已知复数 z 满足 =1+i，则 z 在复平面内的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知随机变量 X 服从二项分布 X B（ 6， ），则 P（ X=2）等于（ ） A B C D 3在（ 1 2x） n（ n N*）的展开式中，各项系数的和是（ ） A 1 B 2n C 1 D 1 或 1 4已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点与抛物线 0x 的焦点重合，且其渐近线方程为 y= x，则双曲线 C 的方程 为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 5 下列说法正确的是（ ） A线性回归模型 y=bx+a+e 是一次函数 B在线性回归模型 y=bx+a+e 中，因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的 C在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适 D用 来刻画回归方程， 小，拟合的效果越好 6下列求导运算正确的是（ ） A（ x ） =1 B（ = 2（ 3x） =3（ = 7设随机变量 X N（ 2， 2），若 P（ X 0） = P（ 2 X 4） =（ ） A 椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 a 的值为（ ） A 10 或 B 4 或 C 4 或 D 10 或 第 2 页（共 18 页） 9根据历年气象统计资料，五月中旬某天某地刮大风的概率为 雨的概率为 刮大风又降雨的概率为 在刮大风的条件下降雨的概率为（ ） A B C D 10从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为 ， ， ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ） A B C D 11已知点 A（ 0， 1），抛物线 C： y2=a 0）的焦点为 F，射线 抛物线相交于 M，与其准线相交于点 N，若 | |2： ，则 a=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 12已知函数 f（ x） =x（ 两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C（ 0， 1） D（ 0， +） 二、填空题 13 + = ，则 中的数为 14 = 15函数 f（ x） =ex+（ 0， f（ 0）处的切线方程为 16某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光， 4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有 种（用数字作答） 三、解答题 17某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生就餐 “光盘习惯 ”的调查中，随机发放了120 份调查问卷对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下 2 2 列联表： 做不到光盘 能做到光盘 合计 男 45 10 55 女 x y 45 合计 75 m 100 （ ）求表中 x， y 的值； （ ）若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好 “光盘习惯 ”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的 P 的值应为多少？请说明理由 附：独立性检验统计量 ，其中 n=a+b+c+d P（ 8甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已 知两名运动员击中的环数 环、 8 环、 9 环、 10 环，他们比赛成绩的统计结果如下： 第 3 页（共 18 页） 7 8 9 10 甲 乙 你根据上述信息，解决下列问题： （ ）估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率； （ ）若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？ 19已知等比数列 n N*）的公比 q 1 （ 1）请用数学归纳法证明 ： a1+； （ 2）请用反证法证明： ， ， 不成等比数列 20已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 左焦点 2， 0）作 x 轴的垂线交椭圆于 P， Q 两点， y 轴交于 E（ 0， ）， A， B 是椭圆上位于 侧的动点 （ ）求椭圆的离心率 e 和 标准方程； （ ）当 ，直线 斜率 否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 21已知函数 f（ x） =x2+a R （ 1）若函数 f（ x）在 1， 2上是减函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）令 g（ x） =f（ x） 否存在实数 a，当 x （ 0， e（ e 是自然常数）时，函数 g（ x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， B=90，以 直径的 O 交 D，过点 D 作 O 的切线交 E， O 于点 F （ 1）证明： E 是 中点； （ 2）证明： C=F 选修 4标系与参数方程 第 4 页（共 18 页） 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），圆 C 的极坐标方程是 =4极点为原点，极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系， （ ）写出直线 l 的极坐标方程； （ ）求直线 l 被圆 C 截得的弦长 选修 4等式选讲 24已知 a、 b 都是实数， a 0， f（ x） =|x 1|+|x 2| （ 1）若 f（ x） 2，求实数 x 的取值范围； （ 2）若 |a+b|+|a b| |a|f（ x）对满足条件的所有 a、 b 都成立，求实数 x 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2015年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知复数 z 满足 =1+i，则 z 在复平面内的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的除法运算 法则化简求解即可 【解答】 解：复数 z 满足 =1+i， 可得 z 2= = = = i 可得 z=2 i复数对应点（ 2， 1）在第四象限 故选： D 2已知随机变量 X 服从二项分布 X B（ 6， ），则 P（ X=2）等于（ ） A B C D 【考点】 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 【分析】 根据二项分布的概率公式求解即可 【解答】 解： 随机变量 X 服从二项分布 X B（ 6， ）， P（ X=2） = （ ） 2 （ 1 ） 4= ， 故选： D 3在（ 1 2x） n（ n N*）的展开式中，各项系数的和是（ ） A 1 B 2n C 1 D 1 或 1 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在（ 1 2x） n 中，令 x=1 可得，（ 1 2 1） n=（ 1） n，分 n 为奇数、偶数讨论可得（ 1） n 的值，即可得答案 【解答】 解：在（ 1 2x） n 中，令 x=1 可得 ，（ 1 2 1） n=（ 1） n， n 为奇数时，（ 1） n= 1， n 为偶数时，（ 1） n=1， 则其展开式的各项系数的和为 1 或 1， 故选 D 第 6 页（共 18 页） 4已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点与抛物线 0x 的焦点重合，且其渐近线方程为 y= x，则双曲线 C 的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标 和抛物线的焦点关系，得到 c=5，根据双曲线的渐近线方程得到 = ，联立方程组求出 a， b 即可 【解答】 解：抛物线的焦点坐标为（ 5， 0）， 双曲线焦点在 x 轴上，且 c=5， 又渐近线方程为 y= x，可得 = ， 即 b= a， 则 a2=5 则 ， 6， 则双曲线 C 的方程为 =1， 故选 A 5下列说法正确的是（ ） A线性回归模型 y=bx+a+e 是一次函数 B在线性回归模型 y=bx+a+e 中，因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的 C在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明 选用的模型比较合适 D用 来刻画回归方程， 小，拟合的效果越好 【考点】 线性回归方程 【分析】 由条件利用残差、相关指数 意义、线性回归模型的意义即可作出判断 【解答】 解：线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析 A 不正确， 根据线性回归方程做出的 y 的值是一个预报值，不是由 x 唯一确定，故 B 不正确； 第 7 页（共 18 页） 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故 C 正确； 用相关指数 以刻画回归的效果， 值越大说明模型的拟合效果越好，故 D 不正确 故选： C 6下列求导运算正确的是（ ） A（ x ） =1 B（ = 2（ 3x） =3（ = 【考点】 导数的运算 【分析】 根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可 【解答】 解： A（ x+ ） =1 ， A 错误 B（ = 2 B 错误 C（ 3x） =3 C 错误 D（ = ，正确 故选： D 7设随机变量 X N（ 2， 2），若 P（ X 0） = P（ 2 X 4） =（ ） A 考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=2，根据正态曲线的特点，得到 P（ X 4） =P（ X 0），即可求出 P（ 2 X 4） 【解答】 解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2）， 正态曲线的对称轴是 x=2， P（ X 4） =P（ X 0） = P（ 2 X 4） = 故选： C 8椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 a 的值为（ ） A 10 或 B 4 或 C 4 或 D 10 或 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 对椭 圆的焦点分类讨论，利用椭圆离心率的计算公式即可得出 【解答】 解： 椭圆 + =1 的离心率 e= ， 当椭圆的焦点在 x 轴上时， a+8 9，由离心率的计算公式可得： = ，解得 a=4 第 8 页（共 18 页） 当椭圆的焦点在 y 轴上时， a+8 9，由离心率的计算公式可得 ： = ，解得 a= 解得 a=4，或 ， 故选： B 9根据历年气象统计资料，五月中旬某天某地刮大风的概率为 雨的概率为 刮大风又降雨的概率为 在刮大风的条件下降雨的概率为（ ） A B C D 【考点】 概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 利用条件概率的计算公式即可得出 【解答】 解：设事件 A 表示刮大风，事件 B 表示下雨 根据条件概率计算公式可得， 在刮大风的条件下下雨的概率为： P（ B|A） = = = ， 故选： D 10从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为 ， ， ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ） A B C D 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 【分析】 记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种： 2 红 1 白， 1 红 2 白，由此能求出所求概率 【解答】 解： 从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球， 摸到红球、白球和黄球的概率分别为 ， ， ， 从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次， 记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种： 2 红 1 白， 1 红 2 白， 则所求概率： p= = 故选： C 11已知点 A（ 0， 1），抛物线 C： y2=a 0）的焦点为 F，射线 抛物线相交于 M，与其准线相交于点 N，若 | |2： ，则 a=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 抛物线的简单性质 第 9 页（共 18 页） 【分析】 作出 M 在准线上的射影，根据 | |定 | |值，进而列方程求得 a 【解答】 解：依题意 F 点的坐标为（ ， 0）， 设 M 在准线上的射影为 K， 由抛物线的定义知 | | |2： ， 则 | |1： 2， = ， ， =2，求得 a=2， 故选： A 12已知函数 f（ x） =x（ 两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C（ 0， 1） D（ 0， +） 【考点】 根据实际问题选择函数类型 【分析】 先求导函数，函数 f（ x） =x（ 两个极值点，等价于 f（ x） =2有两个零点，等价于函数 y= y=21 的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） =x（ 则 f（ x） =ax+x（ a） =2， 令 f（ x） =2=0 得 1， 函数 f（ x） =x（ 两个极值点，等价于 f（ x） =2 有两个零点， 等价于函数 y= y=21 的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当 a= 时，直线 y=21 与 y=图象相切， 由图可知，当 0 a 时， y= y=21 的图象有两个交点 第 10 页（共 18 页） 则实数 a 的取值范围是（ 0， ） 故选 B 二、填空题 13 + = ，则 中的数为 6 【考点】 组合及组合数公式 【分析】 根据组合公式计算出 + ，从而求出答案 【解答】 解： + =15， = =15， 故答案为： 6 14 = 【考点】 微积分基本定理 【分析】 由 = +3，可得 = ，进而求出答案 【解答】 解： = +3， = = = 故答案为 15函数 f（ x） =ex+（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=2x+1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出函数 f（ x） =ex+导函数 f（ x） =ex+切线的斜率 k=f（ 0），求出 f（ 0），利用点斜式方程求出切线方程 【解答】 解：函数 f（ x） =ex+导函数 f（ x） =ex+ 切线的斜率 k=f（ 0） =1+1=2， f（ 0） =1 第 11 页（共 18 页） 切线方程为 y 1=2x，即 y=2x+1 故答案为： y=2x+1 16某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光， 4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有 18 种（用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个 2 和一个 3 元的，若两个和 2 元或两个 3 元，根据分类计数原理可得 【解答】 解：若甲乙抢的是一个 2 和一个 3 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人 中的 2 个人抢走，有 2 种， 若甲乙抢的是两个和 2 元或两个 3 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 种， 根据分类计数原理可得，共有 12+6=18 种， 故答案为： 18 三、解答题 17某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生就餐 “光盘习惯 ”的调查中，随机发放了120 份调查问卷对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下 2 2 列联表： 做不到光盘 能做到光盘 合计 男 45 10 55 女 x y 45 合计 75 m 100 （ ）求表中 x， y 的值； （ ）若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好 “光盘习惯 ”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的 P 的值应为多少？请说明理由 附：独立性检验统计量 ，其中 n=a+b+c+d P（ 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ ）由表格列方程组，即可求得 x， y 及 m 的值； （ ）据所给的数据列出列联表，做出观测值，把观测值 同临界值进行比较，即可求得最精确的 P 的值 【解答】 解：（ ）由题意可知： ，解得： ， x=30， y=15， （ ） = 所以能在犯错误的概率不超过 前提下认为良好 “光盘习惯 ”与性别有关，即 P= 第 12 页（共 18 页） 18甲、乙两名射击 运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数 环、 8 环、 9 环、 10 环，他们比赛成绩的统计结果如下： 7 8 9 10 甲 乙 你根据上述信息，解决下列问题： （ ）估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率； （ ）若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？ 【考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、 平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）记甲运动员击中 n 环为事件 运动员击中 n 环为事件 1， 2， 3， ，10），甲运动员击中环数不少于 9 环为事件 运动员击中环数不少于 9 环为事件此能求出甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率 （ ）设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量 X， Y，由题意 X， Y 的可能取值为 7， 8， 9， 10，分别求出甲、乙运动员射击环数 X 的数学期望，由此能求出结果 【解答】 解：（ ）记甲运动员击中 n 环为事件 运动员击中 n 环为事件 1， 2，3， ， 10）， 甲运动员击中环数不少于 9 环为事件 运动员击中环数不少于 9 环为事件 甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率： P=P（ P（ =（ 1 （ = 甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率为 （ ）设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量 X， Y， 由题意 X， Y 的可能取值为 7， 8， 9， 10， 甲运动员射击环数 X 的概率 分布列为： X 7 8 9 10 P 运动员射击 X 的均值： 0 乙运动员射击环数 Y 的概率分布列为： Y 7 8 9 10 P Y=7 0 从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适 19已知等比数列 n N*）的公比 q 1 第 13 页（共 18 页） （ 1）请 用数学归纳法证明： a1+； （ 2）请用反证法证明： ， ， 不成等比数列 【考点】 反证法与放缩法；等比数列的通项公式；数学归纳法 【分析】 （ 1）直接利用数学归纳法的证明步骤证明即可； （ 2）假设 ， ， 成等比数列，可得（ ） 2=（ ）（ ），代入后推矛盾即可 【解答】 证明：（ 1） 当 n=1 时，左边 =S1=边 =式成立 假设 n=k（ k 1）时，等式成立，即 成立 那么，当 n=k+1 时， =Sk+ = + = = ， 即当 n=k+1 时，等式也成立 根据 可知等式对任意的正整数 n 都成立 （ 2）假设 ， ， 成等比数列， 则（ ） 2=（ ）（ ） （ ） 2=（ ）（ ） 展开化简可得 2q+1=0，解得 q=1， 这与 q 1 矛盾， ， ， 不成等比数列 20已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 左焦点 2， 0）作 x 轴的垂线交椭圆于 P， Q 两点， y 轴交于 E（ 0， ）， A， B 是椭圆上位于 侧的动点 （ ）求椭圆的离心率 e 和标准方程； （ ）当 ，直线 斜率 否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）把 x= 2 代入椭圆方程可得： =1，解得 P ，直线 x+ 把点 P 代入直线方程与 a2=，联立 解出即可得出 （ ，直线 斜率 定值 ，下面给出证明分析由（ I）可得： P（ 2， 3）设 A（ B（ 不妨设直线 方程为： y=k（ x+2） +3则直线 方程为： y= k（ x+2） +3与椭圆方程联立，化为：（ 3+4 164k） x+168k 12=0利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出 第 14 页（共 18 页） 【解答】 解：（ I）把 x= 2 代入椭圆方程可得： =1，解得 y= 取 P ，直线 方程为： ，即 x+ 把点 P 代入直线方程可得： = （ 2） + ，化为： a，又 a2=，联立解得a=4， 2 = = ，椭圆的标准方程为： =1 （ ，直线 斜率 定值 ，下面给出证明 由（ I）可得： P（ 2， 3） 设 A（ B（ 不妨设直线 方程为： y=k（ x+2） +3则直线 方程为： y= k（ x+2） +3 联立 ，化为：（ 3+4 164k） x+168k 12=0 2，解得 ， 同理可得： ， = = ，为定值 21已知函数 f（ x） =x2+a R （ 1）若函数 f（ x）在 1， 2上是减函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）令 g（ x） =f（ x） 是否存在实数 a，当 x （ 0， e（ e 是自然常数）时，函数 g（ x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 （ 1）由函数 f（ x）在 1， 2上是减函数得 在1， 2上恒成立，即有 h（ x） =2x2+1 0 成立求解 （ 2）先假设存在实数 a，求导得 = ， a 在系数位置对它进行讨论，结合 x （ 0， e分当 a 0 时，当 时，当 时三种情况进行 第 15 页（共 18 页） 【解答】 解：（ 1） 在 1， 2上恒成立， 令 h（ x） =2x2+1， 有 得 ， 得 （ 2）假设存在实数 a，使 g（ x） =x （ 0， e）有最小值 3， = 当 a 0 时， g（ x）在（ 0， e上单调递减， g（ x） g（ e） =1=3， （舍去）， g（ x）无最小值 当 时， g（ x）在 上单调递减，在 上单调递增 ， a=足条件 当 时， g（ x）在（ 0， e上单调递减， g（ x） g（ e） =1=3， （舍去）， f（ x）无最小值 综上，存在实数 a=得当 x （ 0， e时 g（ x）有最小值 3 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， B=90，以 直径的 O 交 D，过点 D 作 O 的 切线交 E， O 于点 F （ 1）证明： E 是 中点； （ 2）证明： C=F 【考点】 相似三角形的判定；与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）欲证明 E 是 中点，即证 C，即要证 C，这个可通过证明 C 得到； （ 2）因由相似三角形可得： ED欲证 C=F，只要由B 得到即可 【解答】 证明：（ ）证明：连接 第 16 页（共 18 页） 因为 O 的直径， 所以 B=90， 所以 O 于点 B，且 于 O 于点 E， 因此 D， 0= C， 所以 C， 得 C，因此 C，即 E 是 中点 （ ）证明：连接 然 边上的高， 可得 于是有 ，即 E 同理可得 D以 C=F 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数 方程为 （ t 为参数），圆 C 的极坐标