北京市西城区2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 13 页） 2015年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1在复平面内，复数 z= 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2在（ x+2） 4 的展开式中， 系数为（ ） A 24 B 12 C 6 D 4 3已知函数 f（ x） = f（ x） =（ ） A B C D 4将一枚均匀硬币随机投掷 4 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为（ ） A B C D 5函数 f（ x） = x2+极值点是（ ） A x= 1 B x= C x=1 D x= 6 5 名大学生被分配到 4 个地区支教，每个地区至少分配 1 人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（ ） A 120 B 144 C 216 D 240 7设 a， b， c 是正整数，且 a 70， 80）， b 80， 90）， c 90， 100，当数据 a， b， a+b+c 的值为（ ） A 252 或 253 B 253 或 254 C 254 或 255 D 267 或 268 8已知函数 f（ x） =ex+2，其中 a R，若对于任意的 1， +），且 有 x2f（ x1f（ a（ 立，则 a 的取值范围是（ ） A 1， +） B 2， +） C（ ， 1 D（ ， 2 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分 .、共 30 分 . 9函 数 f（ x） = f（ ） = 10定积分 值为 11设（ 2x+1） 3= a0+a1+a2+ 12由数字 1， 2 组成的三位数的个数是 （用数字作答） 13在平面几何里，有勾股定理 “设 两边 相垂直，则 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的 侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是： “设三棱锥 A 三个侧面 两互相垂直，则 ” 第 2 页（共 13 页） 14研究函数 f（ x） = 的性质，完成下面两个问题： 将 f（ 2）、 f（ 3）、 f（ 5）按从小到大排列为 ； 函数 g（ x） = （ x 0）的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15在数列 ， ， an=n1， n=2， 3， 4， （ ）计算 值； （ ）根据计算结果，猜想 通项公式，并用数学归纳法加以证明 16已知函数 f（ x） =9x； （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 f（ x）在区间 4， c上的最小值为 5，求 c 的取值范围 17甲参加 A， B， C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立 科目 A 科目 B 科目 C 甲 （ ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率； （ ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为 X求 X 的分布列和数学期望 18口袋中装有 2 个白球和 n（ n 2， n N*）个红球，每次从袋中摸出 2 个球（每次摸球后把这 2 个球放回口袋中），若摸出的 2 个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖 （ ）用含 n 的代数式表示 1 次摸球中奖 的概率； （ ）若 n=3，求 3 次摸球中恰有 1 次中奖的概率； （ ）记 3 次摸球中恰有 1 次中奖的概率为 f（ p），当 f（ p）取得最大值时，求 n 的值 19已知函数 f（ x） =b，其中 b R （ ）证明：对于任意 （ ， 0，都有 f（ f（ ； （ ）讨论函数 f（ x）的零点个数（结论不需要证明） 20设 L 为曲线 C： y=点（ 0， 1）处的切线 （ ）证明：除切点（ 0， 1）之外，曲线 C 在直线 L 的上方； （ ）设 h（ x） =ax+x+1），其中 a R，若 h（ x） 1 对 x 0， +）恒成立，求a 的取值范围 第 3 页（共 13 页） 2015年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1在复平面内，复数 z= 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数 代数形式的乘除运算化简复数 z，求出在复平面内，复数 z 对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解： z= = ， 则在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为：（ ， ），位于第一象限 故选： A 2在（ x+2） 4 的展开式中， 系数为（ ） A 24 B 12 C 6 D 4 【考点】 二项式系数 的性质 【分析】 直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出 【解答】 解：（ x+2） 4 的展开式的通项公式为 =4 r 令 r=2，故展开式中 系数为 2=24， 故选： A 3已知函数 f（ x） = f（ x） =（ ） A B C D 【考点】 导数的运算 【分析】 根据复合函数的导数公式进行求解即可 【解答】 解： f（ x） = f（ x） = = = ， 故选： D 4将一枚均匀硬币随机投掷 4 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 第 4 页（共 13 页） 【分析】 将一枚均匀硬币随机投掷 4 次，利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出恰好出现 2 次正面向上的概率 【解答】 解：将一枚均匀硬币随机投掷 4 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为： p= = 故选： B 5函数 f（ x） = x2+极值点是（ ） A x= 1 B x= C x=1 D x= 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点 【解答】 解：由 f（ x） = x2+ f（ x） = （ x 0）， 当 0 x 1 时， f（ x） 0； 当 x 1 时， f（ x） 0 函数 f（ x）在（ 0， 1）上为增函数，在（ 1， +）上为减函数 函数 f（ x） = x2+极值点为 x=1 故选： C 6 5 名大学生被分配到 4 个地区支教，每个地区至少分配 1 人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（ ） A 120 B 144 C 216 D 240 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【 分析】 先求出没有限制要求的 5 名大学生被分配到 4 个地区支教，每个地区至少分配 1人的种数，再排除甲乙两名同学分配在同一地区的种数，问题得以解决 【解答】 解： 5 个人分成满足题意的 4 组只有 1， 1， 1， 2，即只有一个单位有 2 人，其余都是 1 人，故有 40 种， 其中甲乙两名同学分配在同一地区的方法为 4 种， 故甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为 24024=216 种， 故选： C 7设 a， b， c 是正整数，且 a 70， 80）， b 80， 90）， c 90， 100，当数据 a， b， a+b+c 的值为（ ） A 252 或 253 B 253 或 254 C 254 或 255 D 267 或 268 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 设 = ，则数据 a， b， c 的方差 （ a b） 2+（ b c） 2+（ a c） 2，设 a=b+m， c=b+n，则 m2+ m+n） 2，应该使得 b=85，而当 m+n=0， 1， 1 时， 可能取得最小值 第 5 页（共 13 页） 【解答】 解：设 = ， 则数据 a， b， c 的方差 = （ a b） 2+（ b c） 2+（ a c）2， 设 a=b+m， c=b+n， 则 m2+ m+n） 2， 取 b=85，当 m+n=0， 1， 1 时， 可能取得最小值， m= 16， n=15 时， 得最小值= 取 b=84，当 m+n=0， 1， 1 时， 可能取得最小值， m= 15， n=16 时， 得最小值= a+b+c=79+85+90=254，或 a+b+c=79+84+90=253 故选： B 8已知函数 f（ x） =ex+2，其中 a R，若对于任意的 1， +），且 有 x2f（ x1f（ a（ 立，则 a 的取值范围是（ ） A 1， +） B 2， +） C（ ， 1 D（ ， 2 【 考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 将不等式变形为： 恒成立，构造函数 h（ x） = ，转会为当 ， h（ h（ 成立，为了求 a 的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围 【解答】 解： 对于任意的 1， +），且 有 x2f（ x1f（ a（ 立， 不等式等价为 成立， 令 h（ x） = ，则不等式等价为当 ， h（ h（ 成立， 即函数 h（ x）在（ 0， +）上为增函数； h（ x） = ， 则 h（ x） = 0 在（ 0， +）上恒成立； a 0；即 a 2 成立， 第 6 页（共 13 页） 令 g（ x） = g（ x） =0； g（ x）在（ 0， +）上为增函数； g（ x） g（ 0） = 1； 2 a 1； a 1 a 的取值范围是（ ， 1 故选： C 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分 .、共 30 分 . 9函数 f（ x） = f（ ） = 【考点】 导数的运算 【分析】 求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进 行计算即可 【解答】 解： f（ x） = f（ x） = f（ ） = ， 故答案为： 10定积分 值为 【考点】 定积分 【分析】 根据定积分的性质，然后运用微积分基本定理计算定积分即可 【解答】 解： 故答案为： 11设（ 2x+1） 3= a0+a1+a2+27 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 令 x=1 可得 a0+a1+a2+值 【解答】 解：令 x=1， a0+a1+a2+3=27， 故答案为： 27 12由数字 1， 2 组成的三位数的个数是 8 （用数字作答） 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 直接根据分步计数原理可得 【解答】 解：每一位置都有 2 种排法，故有 23=8 种， 故答案为： 8 13在平面几何里，有勾股定理 “设 两边 相垂直，则 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是： “设三棱锥 A 三个侧面 两互相垂直，则 S ” 第 7 页（共 13 页） 【考点】 类比推理 【分析】 从平面图形到空间图形的类比 【解答】 解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S 故答案为： S 14研究函数 f（ x） = 的性质，完成下面两个问题： 将 f（ 2）、 f（ 3）、 f（ 5）按从小到大排列为 f（ 5） f（ 2） f（ 3）； ； 函数 g（ x） = （ x 0）的最大值为 e 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 利用导数判断在（ 0， e）递增，（ e， +）递减得出 f（ 3） f（ 5），运用作差判断 f（ 2） f（ 5）， f（ 2） f（ 3）即可得出大小 构造函数 g（ x） = x 0），令 h（ x） = x 0），运用导数求解极大值，得出 h（ x）的极大值为 h（ e） = ，结合对数求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ x） = ， f（ x） = =0， x=e， f（ x） = ， 0， x （ 0， e） f（ x） = 0， x （ e， +） 在（ 0， e）递增，（ e， +）递减 f（ 3） f（ 5）， f（ 2） f（ 5） = = = 0 f（ 2） f（ 5） 第 8 页（共 13 页） f（ 2） f（ 3） = = 0 f（ 3） f（ 2） 故答案： f（ 5） f（ 2） f（ 3）； 函数 g（ x） = （ x 0）， g（ x） = x 0） 令 h（ x） = x 0）， h（ x） = （ 1 =0， x=e h（ x） = （ 1 0， x e h（ x） = （ 1 0， 0 x e h（ x） = x 0）， 在（ 0， e）递增，在（ e， +）递减， h（ x）的极大值为 h（ e） = ， 函数 g（ x） = （ x 0）的最大值为 e ， 故答案为： e 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15 在数列 ， ， an=n1， n=2， 3， 4， （ ）计算 值； （ ）根据计算结果，猜想 通项公式，并用数学归纳法加以证明 【考点】 数学归纳法；归纳推理 【分析】 （ ）利用已知条件通过 n=2， 3， 4， 5 直接计算 值， （ ）根据（ ）的计算结果，猜想的通 公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可 【解答】 解：（ ） ， an=n1， 可得 n=2 时， ； n=3 时， ； 4， 20 （ ）猜想 an=n! 证明： 当 n=1 时，由已知， !=1，猜想成立 假设当 n=k（ k N*）时猜想成立，即 ak=k! 则 n=k+1 时， =（ k+1） k+1） k!=（ k+1） ! 所以 当 n=k+1 时，猜想也成立 根据 和 ，可知猜想对于任何 n N*都成立 第 9 页（共 13 页） 16已知函数 f（ x） =9x； （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 f（ x）在区间 4， c上的最小值为 5，求 c 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（ 2）通过讨论 c 的范围，求出函数的最小值，从而求出 c 的具体范围 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域是 R， f（ x） =3x 9， 令 f（ x） 0，解得： x 1 或 x 3， 令 f（ x） 0，解得： 3 x 1， f（ x）在（ ， 3）递增，在（ 3， 1）递减，在（ 1， +）递增； （ 2）由 f（ 4） =20 结合（ 1）得： c 1 时，函数 f（ x）在 4， c上的最小值是 f（ 1） = 5， 4 c 1 时，函数 f（ x） 在区间 4， c上的最小值大于 5， 故 c 的范围是 1， +） 17甲参加 A， B， C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立 科目 A 科目 B 科目 C 甲 （ ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率； （ ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为 X求 X 的分布列和数学期 望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）记 “甲至少有一个科目考试成绩合格 ”为事件 M，利用对立事件概率计算公式能求出甲至少有一个科目考试成绩合格的概率 （ ）由题意得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能出 X 的分布列和 【解答】 解：（ ）记 “甲至少有一个科目考试成绩合格 ”为事件 M， 则 P（ ） =（ 1 ）（ 1 ）（ 1 ） = ， 甲至少有一个科目考试成绩合格的概率： P（ M） =1 P（ ） =1 （ ）由题意得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） =（ 1 ）（ 1 ）（ 1 ） = ， P（ X=1） = + +（ 1 ） ， P（ X=3） = ， 第 10 页（共 13 页） P（ X=2） =1 P（ X=0） P（ X=1） P（ X=3） = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P = 18口袋中装有 2 个白球和 n（ n 2， n N*）个红球，每次从袋中摸出 2 个球（每次摸球后把这 2 个球放回口袋中），若摸出的 2 个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖 （ ）用含 n 的代数式表示 1 次摸球中奖的概率； （ ）若 n=3，求 3 次摸球中恰有 1 次中奖的概率； （ ）记 3 次摸球中恰有 1 次中奖的概率为 f（ p），当 f（ p）取得最大值时，求 n 的值 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）设 “1 次摸球中奖 ”为事件 A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含 n 的代数式表示 1 次摸球中奖的概率 （ ）由（ ）得若 n=3，则 1 次摸球中奖的概率为 p= ，由此能求出 3 次摸球中，恰有 1次中奖的概率 （ ）设 “1 次摸球中奖 ”的概率为 p，则 3 次摸球中，恰有 1 次中奖的概率为 f（ p） =3p，（ 0 p 1），由此利用导数性质能求出当 f（ p）取得最大值时， n 的值 【解答】 解：（ ）设 “1 次摸球中奖 ”为事件 A， 则 P（ A） = = （ ）由（ ）得若 n=3，则 1 次摸球中奖的概率为 p= ， 3 次摸球中，恰有 1 次中奖的概率为 1） = =3 = （ ）设 “1 次摸球中奖 ”的概率为 p， 则 3 次摸球中，恰有 1 次中奖的概率为： f（ p） = =36p，（ 0 p 1）， f（ p） =912p+3=3（ p 1）（ 3p 1）， 当 p （ 0， ）时， f（ p）取得最大值， 令 = ，解得 n=2 或 n=1（舍）， 当 f（ p）取得最大值时， n 的值为 2 19已知函数 f（ x） =b，其中 b R 第 11 页（共 13 页） （ ）证明：对于任意 （ ， 0，都有 f（ f（ ； （ ）讨论函数 f（ x）的零点个数（结论不需要证明） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明 （ ）根据最大值为； f（ 2） = b， f（ x）的最小值为： b， 分类当 b 0 时，当 b=0 时，当 b= 时，当 0 b 时，当 b 时，判断即可 【解答】 解：（ ） f（ x）的定义域 R，且 f（ x） =x（ x+2） 令 f（ x） =0 则 ，或 2， f（ x） =x（ x+2） x （ ， 2） 2 （ 2， 0） f（ x） + 0 f（ x） 增函数 极大值 减函数 f（ x）在区间（ ， 0上的最大值为； f（ 2） = b， x （ ， 0， f（ x） =b b， f（ x）的最小值为： b， 对于任意 （ ， 0，都有 f（ f（ f（ x） 最大值 f（ x） ； （ ） f（ x） =x（ x+2） 数 f（ x） =b， 当 b 0 时，函数 f（ x） =b 0 恒成立，函数 f（ x）的零点个数为： 0 当 b=0 时，函数 f（ x） =数 f（ x）的零点个数为： 1 当 b= 时，函数 f（ x）的零点个数为； 2， 当 0 b 时，函数 f（