物理学第3版习题解答第6章稳恒磁场.pdf

1 第六章 稳恒磁场 习题解答 6-1 在同一磁感应线上， 各点B B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定义 为磁感应强度B B的方向? 答: 在同一磁感应线上，各点B 的数值一般不相等因为磁场作用于运动电荷的磁力方向 不仅与磁感应强度B 的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁 场决定的，所以不把磁力方向定义为B 的方向 6-2 如图 6-24 所示，六根无限长导线互相绝缘，通过电流为 I， 区域、均为相等的正方形， 哪个区域指向纸内的磁通量最大？（） 6-24 思考题 6-2 图 6-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场? 答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路 定理并不适用 6-4 在图6-25中，假设两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a、b、c，分别写 出安培环路定理等式右边电流的代数和并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B B的大小是否相等? (2)在闭合曲线c上各点的B B是否为零?为什么? 解： a lB 0 8d ba lB 0 8d c lB0d (1)在各条闭合曲线上，各点B 的大小不相等 (2)在闭合曲线C上各点B 不为零只是B 的环路积分为零而非每点B 为零 图 6-25 思考题 6-4 图 2 6-5 安培定律BlF Idd 中的三个矢量，哪两个矢量是始终正交的？哪两个矢量可以 有任意角度？ 答：Fd 与B ,Fd 与lId是始终正交。lId与B 可以有任意角度。 6-6 在磁感应强度为B B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流 为I，如图6-26所示求其所受的安培力 图6-26 思考题6-6图 解：在曲线上取l d 则 b a ab BlIF d l d与B 夹角l d， 2 B 不变，B 是均匀的 b a b a ab BabIBlIBlIF )d(d 方向ab向上，大小BIFabab 6-7 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场? 答：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存 在互相垂直的电场和磁场， 电子受的电场力与磁场力抵消所致 如果它发生偏转也不能肯定 那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转 6-8 图6-27中的三条线表示三种不同磁介质的HB 关系曲线，虚线是B=H 0 关系的曲 线，试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质? 答: 曲线是顺磁质，曲线是抗磁质，曲线是铁磁质 图 6-27 图 6-27 思考题-6-8 3 习题 习题 6-1 如图 6-28 所示的正方形线圈 ABCD，每边长为 a，通有电流 I求正方形中心 O 处 的磁感应强度。 解解 正方形每一边到 O 点的距离都是 a/2，在 O 点产生的磁场 大小相等、方向相同以 AD 边为例，利用直线电流的磁场公式： 0 12 (coscos) 4 I B R ， 令 1 = /4、2 = 3/4、R = a/2，AD 在 O 产生的场强为 0 2 2 AD I B a ， O 点的磁感应强度为 0 2 2 4 AD I BB a ， 方向垂直纸面向里 6-2 一无限长直导线， 通有电流I， 导线的中部被弯成半 径为R半圆形状，如图 6-29 所示。试求：半圆圆心O处 的磁感应强度。 图 6-29 习题 6-2 图 解解 ： 由图可知，无限长直导线可以分成三部分，即两个半无限长直导线 和一个半圆环， 则根据磁场叠加原理， 圆心O处的磁感应强度由三部分叠加而成， 即 321 BBBB 式中 1 B、 2 B分别表示两段直电流在O点的磁感应强度。由于O点在两段直电流 的延长线上，根据例13-3结果可知0 21 BB，则 3 BB 在圆电流上任取一电流元lId，根据毕奥萨伐尔定律，此电流元在O的产 生的磁感应强度Bd的大小为 dl R I R Idl r Idl d 2 0 2 0 0 2 0 4 90sin 4 sin 4 B Bd的方向为垂直纸面向里，我们用表示。由于各Bd的方向相同，所以，整个 圆电流在O点的磁感应强度 3 B 方向也为垂直纸面向里。 根据磁场叠加原理，B的 大小为 R I R R I dl R I dl R I BB R L 4444 0 2 0 0 2 0 2 0 3 B的方向为垂直纸面向里。 6-3 如图 6-30 所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源 相连已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度 图 6-28 习题 6-1 图 B A O D C I 4 图6-30 习题 6-3图 解： 如图所示， 圆心O点磁场由直电流A和B及两段圆弧上电流 1 I与 2 I所产生， 但A 和B在O点产生的磁场为零。且 2 1 2 2 1 R R I I 电阻 电阻 . 1 I产生 1 B 方向纸面向外 2 )2( 2 10 1 R I B， 2 I产生 2 B 方向纸面向里 22 20 2 R I B 1 )2( 2 1 2 1 I I B B 有 0 210 BBB 6-4 在一半径R=1.0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I=5.0 A通过， 电流分布均匀.如图6-31所示试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度 图 6-31 习题 6-4 图 解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取 坐标如图所示，取宽为ld的一无限长直电流l R I Idd ，在轴上P点产生B d与R垂直， 大小为 R I R R R I R I B 2 0 0 0 2 d 2 d 2 d d 5 R I BBx 2 0 2 dcos cosdd R I BBy 2 0 2 dsin ) 2 cos(dd 5 2 0 2 0 2 2 2 1037. 6) 2 sin( 2 sin 22 dcos R I R I R I Bx T 0) 2 dsin ( 2 2 2 0 R I By iB 5 1037. 6 T 6-5 如图6-32所示，载流长直导线的电流为I，试求通过矩形面积的磁通量。 图6-32 习题 6-5 图 分析分析 由于矩形平面上各点的磁感强度不同，故磁通量BS为此，可在矩形平面上取一 矩形面元dS ldx图（），载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 xl x l d 2 dd 0 SB 矩形平面的总磁通量 d 解解 由上述分析可得矩形平面的总磁通量 2 1 1 200 ln 2 d 2 d d d dIl xl x l 6-6 有一同轴电缆，其尺寸如图6-33所示两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导 6 体的磁性可不考虑试计算以下各处的磁感强度： （1） r R1 ； （2） R1 r R2 ； （3） R2 r R3 ；（4） r R3 画出B r 图线 图6-33 习题6-6图 分析分析 同轴电缆导体内的电流均匀分布， 其磁场呈轴对称， 取半径为r 的同心圆为积分路径， r2d BlB，利用安培环路定理 I0dlB，可解得各区域的磁感强度 解解 由上述分析得 r R1 2 2 1 01 1 2r R rB 2 1 0 1 2R Ir B R1 r R2 IrB 02 2 r I B 2 0 2 R2 r R3 I RR Rr IrB 2 2 2 3 22 03 2 2 2 2 3 22 30 3 2RR rR r I B r R3 02 04 IIrB 7 0 4 B 磁感强度B（r）的分布曲线如图（） 6-7 如图6-34所示，N 匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上求通入电流I 后，环 内外磁场的分布 图6-34 习题6-7图 分析分析 根据右手螺旋法则， 螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆， 若取半 径为r 的圆周为积分环路，由于磁感强度在每一环路上为常量，因而 r2d BlB 依照安培环路定理 I0dlB，可以解得螺线管内磁感强度的分布 解解 依照上述分析，有 IrB 0 2 r R1 02 1 rB 0 1 B R2 r R1 NIrB 02 2 r NI B 2 0 2 r R2 02 3 rB 0 3 B 8 在螺线管内磁感强度B 沿圆周，与电流成右手螺旋若 112 RRR 和R2 ，则环内的磁 场可以近似视作均匀分布，设螺线环的平均半径 12 2 1 RRR，则环内的磁感强度近似 为 R NI B 2 0 6-8 电流I 均匀地流过半径为R 的圆形长直导线， 试计算单位长度导线内的磁场通过图6-35 中所示剖面的磁通量 图 6-35 习题 6-8 图 分析分析 导线内部距轴线为r 处的磁感强度 2 0 2R Ir rB 在剖面上磁感强度分布不均匀，因此，需从磁通量的定义 SBd r来求解沿轴线方 向在剖面上取面元S lr， 考虑到面元上各点B 相同， 故穿过面元的磁通量BS， 通过积分，可得单位长度导线内的磁通量 S rBd 解解 由分析可得单位长度导线内的磁通量 4 d 2 0 0 2 0 I r R Ir R 6-9 如图6-36所示，长直电流 1 I附近有一等腰直角三角形线框，通以电流 2 I，二者 共面求ABC的各边所受的磁力 图 6-36 习题 6-9 图 9 解： A B AB BlIF d 2 d aII d I aIFAB 22 21010 2 方向垂直AB向左 C A AC BlIF d 2 方向垂直AC向下，大小为 ad d AC d adII r I rIFln 22 d 21010 2 同理 BC F 方向垂直BC向上，大小 ad d Bc r I lIF 2 d 10 2 45cos d d r l ad a BC d adII r rII Fln 245cos2 d 210120 6-10 一长直导线通有电流 1 I20A， 旁边放一导线ab， 其中通有电流 2 I=10A， 且两者共面， 如图6-37所示求导线ab所受作用力对O点的力矩 图6-37 习题6-10图 解：在ab上取rd，它受力 abF d向上，大小为 r I rIF 2 dd 10 2 F d对O点力矩FrM d M d方向垂直纸面向外，大小为 r II FrMd 2 dd 210 b a b a r II MM 6 210 106 . 3d 2 d mN 10 6 -11 已知地面上空某处地磁场的磁感强度 4 0.4 10TB ，方向向北若宇宙射线中有一 质子以5.0 10 7 m/速率，自上而下垂直地通过该处求：（1）洛伦兹力的方向；（2） 洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较 解解 （1） 依照BFvq L 可知洛伦兹力 L F的方向为Bv的方向，如图所示 （2） 因Bv，质子所受的洛伦兹力 N102 . 3 16 BFvq L 在地球表面质子所受的万有引力 N1064. 1 16 gmG p 因而，有 10 1095. 1/GFL，即质子所受的洛伦兹力远大于重力 6-12 从太阳射来的速率为0.80 10 8 m/ 的电子进入地球赤道上空高层范艾伦辐射带中， 该处磁场为4.0 10 7， 此电子回转轨道半径为多大？ 若电子沿地球磁场的磁感线旋进到 地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0 10 5，其轨道半径又为多少？ 解解 由带电粒子在磁场中运动的回转半径高层范艾伦辐射带中的回转半径 m101 . 1 3 1 1 eB m R v 地磁北极附近的回转半径 m23 2 2 eB m R v 6-13 霍尔效应可用来测量血流的速度，其原理如图6-38所示在动脉血管两侧分别安装电 极并加以磁场设血管直径为d 2.0 mm，磁场为B0.080 T，毫伏表测出血管上下两端 11 的电压为UH 0.10 mV，血流的流速为多大？ 图6-38 习题6-13图 分析分析 血流稳定时，有 H qEBqv 由上式可以解得血流的速度 解解 依照分析 m/s63. 0 dB U B E HH v 6-14 一直流变电站将电压为500kV的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远 方已知两输电导线间单位长度的电容为3.010 11Fm1 ，若导线间的静电力与安培力正 好抵消求：（1） 通过输电线的电流；（2） 输送的功率 分析分析 当平行输电线中的电流相反时， 它们之间存在相互排斥的安培力， 其大小可由安培定 律确定若两导线间距离为d，一导线在另一导线位置激发的磁感强度 d I B 2 0 ,导线单位 长度所受安培力的大小BIFB 将这两条导线看作带等量异号电荷的导体， 因两导线间单 位长度电容C 和电压U 已知，则单位长度导线所带电荷CU，一导线在另一导线位置所 激发的电场强度 d E 0 2 ，两导线间单位长度所受的静电吸引力EFE依照题意， 导线间的静电力和安培力正好抵消，即 0 EB FF 从中可解得输电线中的电流 解解 （1） 由分析知单位长度导线所受的安培力和静电力分别为 12 d I BIFB 2 2 0 d UC EFE 0 22 2 由0 EB ff可得 d UC d I 0 222 0 22 解得 A105 . 4 3 00 CU I （2） 输出功率 W1025. 2 9 IUN 6-15一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，如图6-39所示，磁介质的相对磁导率 为r（r 1），导体的磁化可以忽略不计沿轴向有恒定电流I 通过电缆，内、外导体上 电流的方向相反求空间各区域内的磁感强度。 图6-39 习题6-15图 分析分析 电流分布呈轴对称， 依照右手定则， 磁感线是以电缆对称轴线为中心的一组同心圆 选 取任一同心圆为积分路径，应有rHd2lH，利用安培环路定理 f IdlH 求出环路内的传导电流，并由HB ，HM r 1，可求出磁感强度和磁化强度再 由磁化电流的电流面密度与磁化强度的关系求出磁化电流 解解 （1） 取与电缆轴同心的圆为积分路径，根据磁介质中的安培环路定理，有 f IrH 2 13 对r R1 2 2 1 r R I I f 得 2 1 1 2R Ir H 忽略导体的磁化（即导体相对磁导率r =1），有 0 1 M， 2 1 0 1 2R Ir B 对R2 r R1 IIf 得 r I H 2 2 填充的磁介质相对磁导率为r ，有 r I M r 2 1 2 ， r I B r 2 0 2 对R3 r R2 2 2 2 3 2 2 3 Rr RR I II f 得 2 2 2 3 22 3 3 2RRr rRI H 同样忽略导体的磁化，有 0 3 M， 2 2 2 3 22 30 3 2RRr rRI B 对r R3 0 IIIf 得 0 4 H，0 4 M，0 4 B 14 （2） 由rMIs2，磁介质内、外表面磁化电流的大小为 IRRMI rsi 12 112 IRRMI rse 12 222 对抗磁质（1 r ），在磁介质内表面（r R1 ），磁化电流与内导体传导电流方向相反； 在磁介质外表面（r R2 ），磁化电流与外导体传导电流方向相反顺磁质的情况与抗磁 质相反H（r）和B（r）分布曲线分别如图（）和（c） 6-16 一螺绕环中心周长 l = 10cm，线圈匝数 N = 200 匝，线圈中通有电