若连续型随机变量 x 的概率密度函数为精选课件

若连续型随机变量 X 的概率密度 函数为 则称 X 服从参数为 和 的正态分布， 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态 分布， 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这 一公式被认为是正态分布的首次露面. 定义3(P62.定义13) 记为 XN( , 2 ). f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 - 0 为常数， 3. 正态分布 所以通常称为高斯分布. 由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看 看正态分布的密度函数有什么特点. 在各种分布中 具首要地位 正态分布密度的性质 (1) 在 x = 处取到最大值 故 f (x) 以为对称轴， 令 x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得 且 f (+c)=f (-c) f (+c) f (), f (-c)f () x =为 f (x) 的两个拐点的横坐标. (2) 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方, 且关于 x = 对称， 对密度函数求导： = 0 ， (3) 密度曲线 y = f (x) 有拐点 即曲线 y = f (x) 向左右伸展时,越来越贴近 x 轴. 当 x 时，f (x) 0+, 决定了图形中峰的陡峭程度 若固定 ，改变 的值，反之亦然， 则密度曲线左右整体平移. (4) f (x) 以 x 轴为水平渐近线; 正态分布 N( , 2 )的密度函数图形的特点: 两头低,中间高,左右对称的 “峰” 状 若固定 ，改变 的值， 决定了图形的中心位置 决定图形的中心位置; 大量的随机变量都服从或者近似服 从正态分布. 但每个因素所起的作用不大. 经济学中的股票价格、产品的销量等等，都 服从或近似服从正态分布. 正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度； 射击目标的水平或垂直偏差，测量误差， 如某地的年降雨量,某地区成年男子的身高、体重， 农作物的产量，小麦的穗 长、株高； 生物学中同 一群体的形态指标， 电子元器件的信号噪声、电压、电流； 有很多分布还可以用正态分布近似. 而正态分布自身还有很多良好的性质. 若影响某一数量指标的随机因素很多， 每一因素独立， 服从正态分布 在自然现象和社会现象中, 若随机变量 X N( , 2 )， 则 正态分布的分布函数 X 的分布函数 下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布 = 0 , = 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 (x) 和 (x)表示： 可查表 得其值 ！ 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都 可以通过线性变换转化为标准正态分布. 求 P(X 2. 5)及 Y N(0, 1) 设 XN ( , 2 )， P(-1.64 X 2. 5)= 1-(2. 5) P(X 0 整个概率密度曲线都在 x 轴的上方 以为对称轴 在 x=处达到最大值 f ( x)以 x 轴为渐近线 x=为f ( x) 的两个拐点的横坐标 正态分布通过线性变换可转化为标准正态分布 最重要的正态分布标准正态分布X N(0,1) 正态分布 X N( , 2 ) ！ 并求该地区明年 8 月份降雨量 超过250mm的概率. 例8(P65.例22) 某地区8月份降雨量 X 服从 =185mm , = 28mm 的正态分布， XN (185 , 282)， 写出 X 的概率密度， 解 所求概率为 P(X 250) = 1- P(X 250) = 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 . 再看几个应用正态分布的例子 我们已经看到，当 n 很大，p 接近 0 或 1 时，二项分布近似 泊松分布; 可以证明，如果 n 很大，而 p 不接近于 0 或 1 时， 二项分布近似于正态分布. 例9 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以 下来设计的. 问门高度应如何确定? 解 设车门高度为 h cm, 按设计要求应有 P(Xh)0.01或 P(X 0. 99 ， h=170+13.98 184 . 设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01. 若 XN( , 2 )时，要求满足 P(X x0)= p 的 x0 ： P(X x0)= p 如果某考生得48分, 求有多少 考生名列该考生之前? 已知1987年全国普通 高校统考物理成绩 XN(42,36), 这表明有16% 的考生成绩超过48分， 例10 (确定超前百分位数、排定名次) 解 由条件知即求 P(X 48)， 查表可知 即 84% 的考生名列该考生之后. = 1 - (1), 即成绩高于甲的人数应占考生 的16.9%, 对于录取考试人们最关心的是 自己能否达到录取分数线？ 自己的名次？ 某公司招工300名(正式工280,临时 工20名), 例11(预测录取分数和考生名次) 解 166, X N(166,932)， (1)(预测分数线) 考生甲得 256分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？ 考后由媒体得知： 考试总平均成绩为166分, 360分以上的高分考生有31人. 有1657人参加考试,考试满分为400分. 高于此线的 考生频率为 300 / 1657 高于360分的考生频率为 (2)(预测甲的名次) 当 X=256 时, P(X256) 这表明高于256分的频率应为0.169, 排在甲前应有 甲大约排在283名. 故甲能被录取, 但成为正式工的可能性不大. P(X360) 设考生成绩为X,最低分数线为 x0, 类似计算可得， = 0. 9974 例12 解 求 P(|X-| u ) = 的数 u 为标准正态分布的上侧 分位数； 定义4(P66.定义14) 设 XN(0 , 1 )， 0 u )= 1- P(Xu ) 称满足等式 P(|X|u/2 ) = 的数 u/2 为标准正态分布的双侧 分位数； (x) O x u (x) O x / 2 / 2 -u/2u/2 = ， = 1-(u ) (u )= 1- ， 可查表得值类似可得 (u/2 )= 1- /2 ， 若 XN( , 2 )时，要求满足 P(X x0 )= 的 x0 ： (u )= 1- u 已知圆轴截面直径 d 的分布， 求截面面积 A= 的分布. 4 随机变量函数的分布 再如, 求功率 W=V 2/ R (R为电阻）的分布等. 已知t =t 0 时刻噪声电压V 的分布, 0 V 在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数Y= g (X) 所表示的随机变量 Y 更感兴趣 设随机变量X 的分布已知,又Y= g (X) (设g是连续函数) 无论在实践中还是 在理论上都是重要的 如何由 X 的分布 求出 Y 的分布？ 通过实例找方法 例1(P67 例24) ( X 取某值与 Y 取其对应值是相同的事件,两者的概率应相同 ) 一、离散型随机变量函数的分布 解 Y=2X-1 -3 -1 1 3 5 pk 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 则 Y=g( X )的分布列为 X 取值分别为 -2, -1, 0, 1, 2 时, Y=2X+1 对应值为-3, -1, 1, 3, 5. 求Y=2X+1,Y=X 2 的分布列. X Y=X 2 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 X -2 -1 0 1 2 pk1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 -2, 2 4 -1, 1 1 0 0 Y=X 2 0 1 4 pk 2/5 2/5 1/5 一般地，离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xn pk p1 p2 pn Y= g(X) g(x1) g(x2) g(xn) pk p1 p2 pn 将它们对应的概率相加后和并成一项即可 若g(xk)中有相等值 , 则 FY ( y ) = P(Y y) 解 设Y 的分布函数为 FY ( y )， 例2(P69 例25) 设 X 具有概率密度 求 Y = -2X + 8 的概率密度. 于是Y 的概率密度为 二、连续型随机变量函数的分布 注意到 0 0 时, 注意到 Y = X 2 0，故当 y 0时，FY ( y) = 0; 解 设Y 和X 的分布函数分别为FY ( y) 和 FX (x)， 例3 则 Y=X 2 的概率密度为 Y 服从自由度为 1 的 分布 求Y=X 2 的概率密度. (P70 例26) 从上述两例中可看到，在求P Y y 的过程中, 关键是第一步中: 设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到 与 g(X) y 等价的关于 X 的不等式 . 用 代替 X 2 y 即利用已知的 X 的分布,求出 X 的函数的分布 用 代替 -2 X + 8 y 求连续型随机变量的函数的分布的常用方法 如例2中, 如例3中, 定理 则 Y = g(X) 是一 个连续型随机变量,其概率密度为 又 y = g(x) 处处可导,且有g (x)0 (或恒有g (x)0), 类似可证 g (x)0 时, 定理的证明与前面的解题思路完全类似. 设连续型随机变量 X 具有概率密度 fX(x),定理(P71 Th2.4) 下面求Y 的分布函数FY(y): 证 由于 g 保号 h( y)是g(x) 的反函数 综合以上即有结论成立. a b a b 试证 X 的线性函数 Y=aX+b (a 0) 也服从正态分布. 证 X 的概率密度为 例4(P72例27) 设随机变量 XN(, 2 ), 显然 y = g(x) = a x+b可导且g =a 保号 Y=aX+b 的概率密度为由定理知 Y = aX + b (a + b , (|a| )2 ) 即 注 取 , 验证函数可导且单调 求反函数及其导数 代入定理公式即得函数的密度 注意取绝对值 有 确定y的取值范围 求 Y = 1- e X 的概率密度. 解 例5(P72例28) 设 X 的概率密度为 显然 y = g(x) = 1- e x 可导, 且g = - e x 保号, Y = 1- e X 的概率密度为由定理知 即 注意取绝对值 先转化为分布 函数, 再求导 已知 X 的概率密度为 求Y = sinX 的概率密度. 例6(P73 例29) 利用分布函数求概率密度： 函数 y = g(x) = sinx 在0,上为非单调函数， 解故不能用定理求. x0, 时, y 0 时, 0y1时, = P(0 X arcsin y)( -arcsin y X ) y 1时, = P(0 X arcsin y) + P( -arcsin y X ) = 1. 分布函数法 不必计算积分 小结 对于连续型 随机变量 对于离散型随机变量，先找出Y 与 X 的对应 值g(xk) ，再利用 X 的分布列来求Y 的分布列, g(xk) 中有相同值时,将其概率相加并项. 当Y = g(X) 不具有单调性时，用 分布函数法来求得 Y 的分布. 当Y = g(X) 具有单调性时，用定 理求得 Y 的分布;(4步) (2步) Np1Oq2Pr3Ps4Qt5Ru6Sv7Tw8Uw9VxaWybXzcYAdZBd#Ce!Df$Eg%Fh%Gi&Hj*Ik(Jl)Km-Kn+Lo0Mp1Nq2Or3Pr4Qs5Rt6Su7Tv8Uw8Vx9WyaXzbYAcYBdZCe#Df!Eg$Fh%Fi&Gj*Hk(Il)Jm-Km+Ln0Mo1N7Tw8Ux9VyaWybXzcYAdZBe#Ce!Df$Eg%Fh&Gi*Hjq2Or3Ps4Qt5Rt6Su7Tv8Uw9VxaWyaXzbYAcZBd#Ce#Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Hk(q2Pr3Qs4Rt5Su6Tv7Tw8Ux9VyaWzbXAcYAdZBe#Cf!Dg$Eh%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl)Km-Ln+Mo0Np1Oq2Or3Ps4Qt5Ru6Sv7Tv8Uw9VxaWybXzcYAcZBd#Ce!Df$Eg$Fh%Gi&Hj*Ik(Jl)Jm- Kn+Lo0Mp1Nq2Oq3Pr4Qs5Rt6Su6Tv7Uw8Vx9WyaXzbXAcYBdZCe#Df!Eg$Eh%Fi&WzbXAcYBdZCe#Df!Dg$Eh%Fi&Gj*Hk(Ik)Jl-Km+Ln0Mo0Np1Oq2Pr3Qs4Rt5Ru6Sv7Tw8Ux9VyaWybXzcYAdZBe#Cf!Df$Eg%Fh&Gi*Hj*Ik(Jl)Km-Ln+Mo0Mp1Nq2Or3Ps4Qt5Rt6Su7Tv8Uw9Vx9WyaXzbYAcZBd#Ce#Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Hk(Il)Jm-Kn+Lo0MoTv7Tw8Ux9VyaWzbXAcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl)Km-Ln+Mo0Np1Oq2Or3Ps4Qt5Ru6Sv7Tv8Uw9VxaWybXzbYAcZBd#Ce!Df$Eg$Fh%Gi&Hj*Ik(Jl)Jm- Kn+Lo0Mp1Np2Oq3Pr4Qs5Rt6Su6Tv7Uw8Vx9WyaXzbXAcYBdZCe#Df!Eg$Eh%Fi&GzbXAcYBdZCe#Df!Dg$Eh%Fi&Gj*Hj(Ik)Jl-Km+Ln0Mo0Np1Oq2Pr3Qs4Rt5Ru6Sv7Tw8Ux9VyaWybXzcYAdZBe#Ce!Df$Eg%Fh&Gi*Hj*Ik(Jl)Km-Ln+Mo0Mp1Nq2Or3Ps4Qs5Rt6Su7Tv8Uw9Vx9WyaXzbYAcZBd#Ce#Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Hk(ZBdZCe#Df!Eg$Fh%Gi&Gj*Hk(Il)Jm-Kn+Ln0Mo1Np2Oq3Pr3Qs4Rt5Su6Tv7Uw8Ux9VyaWzbXAcYBdZBe#Cf!Dg$Eh%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl-Km-Ln+Mo0Np1Oq2Pr3Ps4Qt5Ru6Sv7Tw8Uw9VxaWybXzcYAcZBd#Ce!Df$m- Kn+Lo0Mo1Np2Oq3Pr4Qs5Rt5Su6Tv7Uw8Vx9WyaWzbXAcYBdZCe#Cf!Dg$Eh%Fi&Gj*Hj(Ik)Jl-Km+Ln0Mo0Np1Oq2Pr3Qs4Rt5Ru6Sv7Tw8Ux9VxaWybXzcYAdZBe#Ce!DfYAcZBdZCe#Df!Eg$Fh%Fi&Gj*Hk(Il)Jm-Km+Ln0Mo1Np2Oq3Pr3Qs4Rt5Su6Tv7Uw8Ux9VyaWzbXQs4Rt5Su6Tv7Tw8Ux9VyaWzbXAcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl)Km-Ln+Mo0Np1Oq2Or3Ps4Qt5Ru6Su7Tv8Uw9VxaWybXzbYAcZBd#Ce!Df$Eg$Fh%Gi&Hj*Ik(Jl)Jm-Kn+Lo0Mp1Np2Oq3Pr4QIl)Jm- Kn+Lo0Mo1Np2Oq3Pr4Qs5Rt5Su6Tv7Uw8Vx9WyaWzbXAcYBdZCe#Df!Dg$Eh%Fi&Gj*Hj(Ik)Jl-Km+Ln0Mo0Np1Oq2Pr3Qs4Rt5Ru6Sv7Tw8Ux9VxaWybXzcYAdZBe#Ce!Df$Eg%Fh&Gi*Hj*Ik(Jl)Km-Ln+MoSu7Tv7Uw8Vx9WyaXzbYAcYBdZCe#Df!Eg$Eh%Fi&Gj*Hk(Il)Jl-Km+Ln0Mo1Np2Oq2Pr3Qs4Rt5Su6Tv7Tw8Ux9VyaWzbXzcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl)Km-Ln+Mo0Nph&Gi*Hj(Ik(Jl)Km-Ln+Mo0Np1Nq2Or3Ps4Qt5Rt6Su7Tv8UwYBdZCe#Cf!Dg$Eh%Fi&Gj*Hj(Ik)Jl- Km+Ln0Mo0Np1Oq2Pr3Qs4Qt5Ru6Sv7Tw8Ux9VxaWybXzcYAdZBe#Ce!Df$Eg%Fh&Gi*HjcYAdZBd#Ce!Df$Eg%Fh&Gi&Hj*Ik(Jl)Km-Kn+Lo0Mp1Nq2Or3Pr4Qs5Rt6Su7Tv8Uw8Vx9WyaXzbYAcZBdZCe#Df!Eg$Fh%Fi&Gj*Hk(Il)Jm-Km+Ln0Mo1Np2Oq3Pr3Qs4Rt5Su6Tv7Uw8Ux9VyaWzbXAcYAdZBe6Tv7Tw8Ux9VyaWzbXzcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl)Km-Ln+Mo0Np1Oq2Or3Ps4Qt5Ru6Su7Tv8Uw9VxaWybXzbYAcZBdHk(Il)Jm-Kn+Ln0Mo1Np2Oq3Pr4Qs4Rt5Su6Tv7Uw8Ux9VyaWzbXAcYBdZBe#Cf!Dg$Eh%Fi&Gi*Hj(Ik)Jl- Km+LBe#Ce!Df$Eg%Fh&Gi*Hj*Ik(Jl)Km-Ln+Lo0Mp1Nq2Or3Ps4Qs5Rt6Su7Tv8Uw9Vx9WyaXzbYAcZBd#Ce#Df!Eg$Fh%G0Mo1Np2Oq2Pr3Qs4Rt5Su6Sv7Tw8Ux9VyaWzbXzcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl)Km-Ln+Mo0Np1Nq2Or3Ps4Qt5Ru6Su7Tv8Uw9VxaWybXzbYAcZBd#Ce!Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Ik(Il)#Ce!Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Hk(Il)Jm-Kn+Lo0Mo1Np2Oq3Pr4Qs5Rt5Su6Tv7Uw8Vx9VyaWzbXAcYBdZCe#Cf!Dg$Eh%Fi&Gj*Hj(Ik)Jl- Km+Ln0Mo0Np1Oq2Pr3Qs4Qt5Ru6Sv7Tw8Ux91Oq2u7Tv8Uw8Vx9WyaXzbYAcYBd6Su7Tv7Uw8Vx9WyaXzbYAcYBdZCe#Df!Eg$Eh%Fi&Gj*Hk(Il)Jl-Km+Ln0Mo1Np2Oq2Pr3Qs4Rt5Su6Sv7Tw8Ux9VyaWzbXzcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik)Jl)Km-Ln+Mo0Np1Nq2Orj(Ik(Jl)Km-Ln+Mo0Mp1Nq2Or3Ps4Qt5Rt6Su7Tv8Uw9VxaWyaXzbYAcZBd#Ce!Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Hk(Il)Jm-Kn+Lo0Mo1Np2Oq3Pr4Qs5Rt5Su6Tv7Uw8Vx9WyaWzbXAcYBdZCe#C)Jl-Km-Ln+Mo0Np1Oq2Or3Ps4Qt5Rs4Qsl)Km- Kn+Lo0Mp1Nq2Or3Pr4Qs5Rt6Su7Tv8Uw8Vx9WyaXzbYAcZBdZCe#Df!Eg$Fh%Fi&Gj*Hk(Il)Jm-Km+Ln0Mo1Np2Oq3Pr3Qs4Rt5Su6Tv7Tw8Ux9VyaWzbXAcYAdZBeIk(Jl)Km-Ln+Mo0Mp1Nq2Or3Ps4Qt5Rt6Su7Tv8Uw9VxaWyaXzbYAcZBd#Ce#Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Hk(Il)Jm-Kn+Lo0Mo1Np2Oq3Pr4Qs4Rt5Su6Tv7Uw8Vx9VyaWzbXAcYBd5Su6Tv7Uw8Ux9VyaWzbXAcYBdZBe#Cf!Dg$Eh7Tw8Ux9VxaWybXzcYAdZBe#Ce!Df$Eg%Fh&Gi*Hj*Ik(Jl)Km-Ln+Lo0Mp1Nq2Or3Ps4Qs5Rt6Su7Tv8Uw9Vx9WyaXzbYAcZBd#Ce#Df!E- Km+Ln0Mo1Np2Oq2Pr3Qs4Rt5Su6Sv7Tw8Ux9VyaWzbXzcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik(Jl)KCf!Df$Eg%Fh&Gi*Hj(Ik(Jl)Km-Ln+Mo0Mp1Nq2Or3Ps4Qt5Rt6Su7Tv8Uw9VxaWyaXzbYAcZBd#Ce#Df!Eg$Fh%Gi&Hj*Hk(XzbXAcYBdZCe#Df!Dg$Eh%Fi&Gj*Hk(Ik)Jl-K4Qt5Ru6Sv7Tw8Uw9VxaWybXzcYAdZBd#Ce!Df$Eg%Fh%Gi&Hj*Ik(Jl)Km-Kn+Lo0Mp1Nq2Or3Pr4Qs5Rt6Su7Tv8Uw8Vx9WyaXzbYAcYBdZCe#Df!Eg$Fh%Fi&Gj*XAcYBdZCe#Df!Eg$Eh%Fi&Gj*Hk(Il)Jl- Km+Ln0Mo1Np2Oq2Pr3Qs4Rt5Su6Sv7Tw8Ux9VyaWzbXzcYAdZBe#Cf!Dg$Eg%Fh&m-Kn+Lo0Mp1Np2Oq3Pr4Qs5Rt6Su6Tv7Uw8Vx9WyaWPr4Qs5Rt5Su6Tv7Uw8Vx9VyaWzbXAcYBdZCe#Cf!Dg$Eh%Fi&Gj*Hj(