大学课件高等数学ppt课件03导数

第一节 导数的概念 一、导数概念的引例 二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 四、小结 一、导数概念的引例 例1 变速直线运动的速度 - - 播放 例2 平面曲线的切线斜率 割线的极限位置 切线？ 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位 置MT,直线MT就称为 曲线C在点M处的切线 . 极限位置即 二、导数的概念与几何意义 1.导数的概念 定义1 其它形式: 即 关于导数的说明： 注意: 右导数: 左导数: 单侧导数定义2 定理1 函数在点 处可导 左导 数和右导数都存在且相等. 步骤: 2.用定义求导数 例3 解 更一般地, 例如, 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 3.导数的几何意义 切线方程为: 法线方程为: 解 因 ，由导数几何意义,曲线在 的切线与法线的斜率分别为 于是所求的切线方程为 ， 即 法线方程为 ， 即 例8 求曲线 在点 处的切线和法 线方程 三、可导与连续的关系 证 定理2 如果函数 在点 处可导 ，则 在点 处连续 注意：定理2的逆命题不成立. 例9 因为 则 而 证 1. 导数的实质:增量比的极限; 3. 导数的几何意义:切线的斜率; 5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导 。 4. 求导数最基本的方法:由定义求导数; 四、小结 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 播放 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置 第二节 求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数 五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数 设函数 与 在点 处均可 导，则它们的和、差、积、商（当分母不为 零时）在点 处也可导，且有以下法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 (1)求增量:给自变量一个增量 ，则 证(1)、(2)略. 证(3)令 (2)算比值: (3)取极限:因在点 处可导，则在该 点处必连续，故当 时, ， . 又当 时， 所以， 特别地，若 则可得公式 定理推广： 例1 设,求 解 例2 设 ,求 解 用类似地方法，可得 解 例3 求 的导数 即 例4 求 的导数 用类似地方法，可得 即 解 定理2 即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法） 或 或 二、复合函数的求导法则 证 如三层复合， 或 或 推广 对于多次复合的函数，其求导公式 类似， 解 可看作是由 复合而成的，因此 例5 设 ，求 例6 设 ，求 解 三、反函数的求导法则 如果单调连续函数 在某区间 内可导,且 ，则它的反函数 在对 应的区间内可导，且有 定理3 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 因 是 的反函数，故可将 函数 中的 看作中间变量，从而组成复 合函数 上式两边对 求导， 应用复合函数的链导法，得 证 或 因此 是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间 内，有 求函数 的导数 例7 解 即 同理可得 例8 求函数 的导数 是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ,因此在对应的区间 上，有 解 即 同理可得 1.常数和基本初等函数的导数公式 四、初等函数的导数 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(),(xvvxuu= 可导，则 （1） vuvu = )(, （2）uccu = )( （3）vuvuuv += )(, （4）)0()( 2 - =v v vuvu v u . ( 是常数) 3.复合函数的求导法则 注意：(1)利用上述公式及法则初等函数 求导问题可完全解决. (2)初等函数的导数仍为初等函数. 例9 设 ，求 解 所以 例10 解 解 方法1 函数 可以写成 所以 例11求 将函数 两边取自然对数，即 两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有 因此 方法2 方法2称为对数求导法，一般地对于函数 （称为幂指函数） 对数求导法除适用于幂指函数外，还适 用于多个因式连乘的函数 解 等式两边取对数得 例12 五、隐函数和由参数方程确定函数得导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何 求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则 直接对方程两边求导. 1.隐函数的导数 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点 . 2.由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 例6 解 所求切线方程为 于是所求的切线方程为 例15 求曲线 在 处的切线方程 解曲线上对应 的点为 ，曲线在 处的切线斜率为 六、高阶导数 如果函数 的导函数 仍是 的可导函数，就称 的导数为函数 的二阶导数,记作 或 即 或 类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数 , 而加速度 是速度对时间的导数,是位置 函数对时间的二阶导数,即 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 . 二阶导数有明显的物理意义:考虑物体 的直线运动，设位置函数为 则速度为 如 阶导数 例16 设 ，求 解 特别地， 根据高阶导数的定义，求函数的高阶导 数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的 导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于 高阶导数的计算 , 例17 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数） 解 例18 设 ，求 解 即 同理可得 第三节 微 分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似法则中的应用 例1 设有一个边长为 的正方形金属 片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增 加了多少？ 正方形金属片的面积 与边长 的函数关系为 由图可以看出， 解 一、微分的概念 受热后，当 边长由 伸长到 时， 面积 相应的增量为 从上式可以看出, 可分成两部分: （1）（ 2) （2）是 时，与 高阶的无 穷小； 的线性函数 , 是 时， 与 同阶的无穷小； (1) 这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比 (1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用 （2)作为 的近似值： 定义1 设函数 在点 的某邻 域内有定义，如果函数 在点 处的增 量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的微分，记作 或 于是 由此引进函数微分的概念： 导数一种比值的极限，即函数增量 与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的 极限. 微分函数增量的近似值，即自变量 取得微小增量时函数值增量的近似值. 那么，导数与微分之间存在什么样的联 系呢？ 可以证明，函数 在点 处可微 函数 在点 处可导；并且有 于是 自变量的微分：通常把自变量的增量 记为 ，称为自变量的微分.于是 可微函数：如果函数 在区间 内 每一点都可微，则称该函数在 内可微， 或称函数 是在 内的可微函数此 时， 函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即 由此有， 因此，通常把函数的导数与微分的运算统 称为微分法在高等数学中，把研究导数和 微分的有关内容称为微分学 因此，微分与导数紧密相关，求出了导 数立即可得微分，求出了微分亦可得导数， 例2 求函数 当 ， 时的微分 解 函数在任意点的微分 于是 例3 半径为 的圆的面积为 当半 径增大 时，求圆面积的增量与微分 面积的微分为 面积的增量解 当自变量 有增量 时， 切线 的纵坐标相应地有增 量 二、微分的几何意义 过曲线 上一 点 作切线 ，设 的 倾角为 ，则 当 有增量 时，曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量 因此，微分 几何上表示: 用 近似代替 ,就是用曲线 在点 处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量. 三、微分的运算法则 1基本初等函数的微分公式 2函数的和、差、积、商的微分运算法则 设函数 ， 均可微，则 （ 为常数） 3复合函数的微分法则 而 于是 设函数 都是可导函数， 则复合函数 的微分为 设 ，求 与 例4 解 求