第08章_加性高斯白噪声基带信道课件

第第8 8章章 加性高斯加性高斯 白噪声基带信道白噪声基带信道 中的数字调制中的数字调制 通信系统原理 江西财经大学 软件与通信工程学院 李刚 lg_ 目 录 p 信号波形的几何表示 p 二进制脉冲调制 p 加性白噪声环境中二进制已调信号的最佳接收机 p M进制脉冲调制 p M进制脉冲调制的差错概率 本章内容提要 本章集中分析携带数字信息的模拟信号波 形的特点，设计方法及其在AWGN信道中 的性能。 基带信道是通常包含零频率的频率通带的 信道。 本章研究one-shot通信，即仅传送对应于 一条消息的一个信号，并且一次传输后没 有其它的消息传送。 8.1 信号波形的几何表示 矢量分析法：把信号作为信号空间上的点（矢量）进行信 号的几何表示。 矢量分析法可以将波形信道表示为矢量信道，从而简化性 能分析。 矢量分析是针对M进制数字调制信号的。 假设通信信道中有M个信号波形sm(t)，1m M，用于信息传 输。首先由包含M个波形的集合构造一个包含N M的标准正 交波形的集合，其中N为该信号空间的维数。然后，把信号在 该集合上进行正交分解，从而得到信号的几何（矢量）表示 。矢量分析法的步骤 8.1 信号波形的几何表示 正交矢量空间 正交信号空间 正交信号空间 正交信号空间 正交信号空间 正交信号空间 正交信号空间 8.1 信号波形的几何表示 格兰施密特正交化过程构造规范(归一化)正交集 8.1 信号波形的几何表示 8.1 信号波形的几何表示 8.1 信号波形的几何表示 例8.1.2 8.1 信号波形的几何表示 8.2 二进制脉冲调制 二进制脉冲幅度调制PAM 0 0 Tb Tb t t 二进制 对极信 号 8.2 二进制脉冲调制 二进制脉冲幅度调制PAM 信号矢量： 0 例8.2.1 8.2 二进制脉冲调制 二进制脉冲宽度调制PPM 0 0 Tb Tb t t Tb/2 Tb/2 s1(t) s2(t) 0 0 Tb Tb t t Tb/2 Tb/2 1(t) 2(t) 归一化正交基 8.2 二进制脉冲调制 二进制脉冲宽度调制PPM 信号正交分解： 利用观察法，易得： 例8.2.2 考虑如图8.13所示的两个正交信号波形，证明这两个信号 波形与图8.10所示的两个PPM脉冲具有相似的几何表示。 t 0Tb t 0Tb/2Tb 提示：将此二信号在跟图8.11相同的正交基上分解。 8.3 加性高斯白噪声环境中二 进制已调信号的最佳接收机 AWGN信道接收信号模型 把接收机分为解调器和检测器两部分： l解调器将接收信号r(t)转成矢量r； l检测器判决发送信号是两个可能信号中的哪一个。 相关型解调器 在t=Tb时刻采样 m=1,2 似然函数 二进对极信号相干解调器 在t=Tb时刻采样 二进正交信号的相关解调器 发s1(t): 发s2(t): n1,n2不相关且服从： 条件概率密度函数（似然函数）： y1,y2高斯不 相关（独立 ） 0 例8.3.3,8.3.4 匹配滤波器型解调器 匹配滤波器： 在t=Tb时刻抽样 二进制对极信号 对应输出为： Tb时刻抽样： 同相关器Tb时刻的输出 二进制对极信号 匹配滤波器型解调器 N(0,N0/2 ) N(sm,N0/2 ) 假设信号s(t)为0tT上的时限信号，则冲激响 应为h(t) = s(T-t)的滤波器成为信号s(t)的匹配滤 波器(matched filter)。 自相关函数，关于 t=T对称，且在t=T取 得最大值 信号通过其匹配滤波器的输 出y(t)为： 补：自相关函数： 采用跟两个基函数匹配的滤波器取代相关器进行解调： 二进制正交信号 在t=Tb时刻抽样 相关型解调器与匹配滤波器在t=Tb时刻产生相同的输出。 匹配滤波器的性质 匹配滤波器是AWGN信道中使输出在抽样时刻具有最大信噪比 的线性滤波器。 线性滤波器 在t=T时刻抽样 任务：求何时（S/N）o最大？ 匹配滤波器的性质 噪声为0均值，双边功率谱密度为Sn(f)=N0/2的加性高斯白噪声。 柯西-施瓦 茨不等式 匹配滤波器的性质 柯西-施瓦茨不等式 对于能量受限信号g(t)和f(t)，有 当且仅当f(t)=Cg(t)时等号成立。 用信号矢量表示为： 证明：对于任意的R，构造 令为 代入上式即可证得。 补充 匹配滤波器的性质 采用匹配滤波器所获得的输出（最大）SNR为 噪声分量n的平均功率为 匹配滤波器的性质 匹配滤波器的频域解释： 埃米特 对称性 信号s（t）通过其匹配滤波器的输出为 在t=T时刻采样： 匹配滤波器的性质 匹配滤波器输出端的噪声功率谱密度为 输出噪声功率为： 输出信噪比为： 例8.3.5 0 Tb t Tb/2 s1(t) 0 Tb t Tb/2 s2(t) 0 Tb t Tb/2 1(t) 0 Tb t Tb/2 2(t) 二进制正交 PPM信号 设发送 h1(t)h2(t) h1(t)和h2(t)分别和1(t)和2(t) 匹配。求解调器的输出波形。 8.3.3 二进制最佳检测器的性能 二进制对极信号 检测器的输入是一个标量，故检测器会将y与一个门限值相 比较。确定y，则得出发送信号为s1(t)的结论。否则，判决 发送信号为s2(t)。 对二进制对极信号而言，平均差错概率是的函数： 对求偏导数并令其为0，则得到门限的最佳值* 代入条件pdf公式： 得到： 其中： 先验等概时： 0 s2的判决 区域 s1的判决 区域 判决门限 令 成对差 错概率 误码率 二进制正交信号 解调器的输出为矢量y=(y1,y2)。y1和y2是相关器或匹配滤波器的 输出在t=Tb时的抽样值。当发送信号为s1(t)时， 先验等概时，使平均差错概率最小的检测器仅需将y1和y2进行 比较，前者大则判为s1(t)，后则大则判为s2(t)。 差错概率为：发s1(t)而y1y2的概率。令 当发s1(t)时。 随机变量z的概率密度函数为： 平均差错概率： 二进制正交信号 二进制对极信号 二进制信号的差错概率 8.4 M进制脉冲调制 二进制信息序列被划分成由k个比特构成的分组，一组一 组发送，每个分组称为码元（符号），共M=2k个可用码元 （符号）； M个码元跟M个信号波形相对应，发送某个码元符号的时 候实际上是发送该M个信号波形中对应该码元的那一个； 每个码元|符号持续时间（码元|符号间隔）为T。 这种类型的调制称为M进制调制。 码元速率 比特率比特间隔 M进制脉冲幅度调制 MPAM 跟M个消息序列相对应的发送信号波形： 0 T t 0 T t 各MPAM信号的能量： 发送信号的平均能量： 先验等 概 其中利用到 令N=M/2，即得前式。 比特平均能量 令 又因为： 0 M=6时的PAM信号星座点 例8.4.1 8.4.2 M进制正交信号 0,T上的M进制正交信号集： M进制PPM信号在时间上不重叠，故为正交信号集的特例。 8.4.2 M进制正交信号 0 0 t t T/M 1(t) m(t) M进制PPM信号的矢量表示为 例8.4.2 8.4.3 双正交信号 M个双正交信号组成的集合可以由M/2个正交信号 si(t), i=1, , M/2及其负值-si(t), i=1, , M/2来构建。而利用双正交 信号发送信息序列所需的信道带宽是发送M个正交信号所需 信号带宽的一半。 例8.4.3 8.4.4 单纯形信号 M个正交信号波形sm(t)中的每一个都减去这个M个正交信号的 均值，就可以得到另一个由M个信号波形组成的集合sm (t)。 单纯形信号(simplex signal waveforms) 具有等能量： 互相关系数： 单纯形信号的矢量表示 其中均值信号矢量 信号能量： 归一化互相关系数： 8.4.5 二进制编码信号波形 传输数字信息的信号波形也可以由具有如下形式的包含M个二 进制码字 的集合生成： 码元 cmj=0 or 1,对所有m和j。 N称为码字的分组长度或维数。给定M个码字，将码比特cmj=1 映射为持续时间为T/N的脉冲gT(t)，将码比特cmj=0映射为持续 时间为T/N的脉冲-gT(t)。 参考例题：P288 例8.4.4 8.4.6 AWGN信道中M进制 信号的最佳接收机 AWGN信道接收信号模型 同样把接收机分为解调器和检测器两部分： l解调器负责将接收信号r(t)转成矢量r； l检测器判决发送信号是M个可能信号中的哪一个。 最小差错 概率准则 相关型解调器 在t=Tb时刻采样 在t=Tb时刻采样 匹配滤波器型解调器 解调器输出： 函数集k(t)对信号构成完备正交函数系，但对噪声不张成噪声 空间。 事实上，在0,T上，接收信号r(t)可以表示为： 残余噪声信号： 其中， 解调器输出的矢量 各分量独立 且同分布 N(0,N0/2) 各分量独立高 斯，均值为smk, 方差为N0/2 发sm(t)时的条件PDF为 y是充分统计量(sufficient statistics)即从剩余的n(t)中不能再提 取到其他跟发送信号相关的信息。也即，n(t)跟N个相关器的输 出yk是不相关的。 所有的信息都 含在解调器的 输出yk中 例8.4.5MPAM 例8.4.6MPPM 最佳检测器 各噪声分量均服从高斯分 布N(0,N0/2)且两两独立 在N维空间中呈 球形分布 分量 用以sm为中心的N维空间 上的球形分布云图表示 噪声方差N0的大小决定球形噪声云的密度，N0越小越密。 N=2, PPM 信号 的噪 声云 图 最佳检测器 我们的目的是设计一个检测器，该检测器根据 每个信号区间内矢量y的观测值，对该区间内 的发送信号作出判决，并使得正确判决的概率 最大化（错误判决的概率最小）。 最小差错概 率准则 后验概率 P (发送信号为sm|y) 或P(sm|y)。 最大后验概率准则 最大后验概率（MAP）准则 根据后验概率集P(sm|y)的 最大值选择相应的信号，采用这一准则可使正确判决的概 率最大化，从而使差错概率最小化。 直观上看，当没有任何接收信息y的情况下，最好的判决办法就 是选择具有最大先验概率P(sm)的信号sm。 在接收到信息y之后，先验概率P(sm)被后验概率P(sm|y)取代 ，接收机将选择使得P(sm|y)最大的sm。 发射机发sm的先 验概率 发射机发sm的条件下观测 矢量的条件概率密度函数 Bayes Rule: MAP准则：选使 得此后验概率最 大的sm 因为f(y)不含信息sm，故计算时只需算分子部分然后找最大的一个。 最大似然准则 当M个发射信号先验等概 (P(sm)=1/M)时，基于寻找使 P(sm|y) 最大的信号判决准则就等价于寻找使f(y|sm)最大的信号。 条件概率密度函数f(y|sm)或它的任何单调函数通常称 为似然函数（likelihood function）。 在M个信号中寻求最大f(y|sm)的判决准则称为最大 似然(ML)准则(Maximum Likelihood Criterion) 最小距离准则 AWGN信道下，条件概率密度函数(似然函数) 两边取对数（对数似然函数，log likelihood function) 常量 ML等价于 使其最小 最小距离准则 定义距离测度 寻找使似然函数 f(sm|y)最大的信号sm，等价于寻找使得上述 欧氏距离(Euclidean Distance)最小的信号sm。 该准则是ML准则应用于AWGN信道时的特例，称为最小距离 检测(Minimum Distance Detection)。 最大相关准则 定义相关测度（Correlation Metrics）： 最小距离准则等价于最大相关准则（即寻找使得 C(y,sm)最大的sm作为判决输出） 当发送信号sm(t)等能量（如2PAM，MPPM）时，计算 相关测度C和距离测度D时可以忽略|sm|2项。 等能量时 可忽略 MAP 最大似然 最小距离 所有场合 先验等概 各最佳判决准则的关系及应用条件 最大相关 先验等概 AWGN 先验等概 AWGN 信号等能量 例8.4.7 二进制PAM信号的两个可能信号点是s1=s2=-sqrt(Eb),其 中Eb是每比特能量，先验概率为P(s1)和P(s2)。计算发送 信号受到AWGN损伤时，最佳MAP检测器的测度。 解： 判决准则： s1 s2 s1 s2 在先验概率不等的情况下，为了计算上述门限值，需 要知道：先验概率、信号能量、噪声方差。但如果先 验等概，门限值为0，就不用知道这些值了。 采用基带波形编码来实现先验等概，如双极性归零RZ 、不归零NRZ编码等。详参考北邮版通信原理。 8.5 M进制脉冲调制的差错 概率(AWGN) 求差错概率，就是要根据最佳检测准则(MAP)及其衍生 准则（ML,最小距离，最大相关）确定使得差错概率最 小的信号sm的正确判决的区域Rm，然后用1减去正确判 决的概率，或算出各信号错误判决的概率再做平均。 8.5 M进制脉冲调制的差错 概率(AWGN) 8.5.1 M进制脉冲幅度调制MPAM的差错概率 M=2，等概： AWGN信道中两个先 验等概的信号点错为对 方的概率 s1 s2 8.5.1 M进制脉冲幅度调制 MPAM的差错概率 先验等概AWGN最小距离判决 要判为si，则接收信号y距离其他任一信号点的距离要比 它离si的距离大，即si的正确判决区域为y-d+si, d+si 。 MPAM信号星座图 8.5.1 M进制脉冲幅度调制 MPAM的差错概率 平均误码率为： 对先验等概的MPAM信号而言， 8.5.1 M进制脉冲幅度调制 MPAM的差错概率 分析：d一定 Eb/N0一定 PM一定 Eb/N0、M、PM之间的关系 8.5.1 M进制脉冲幅度调制 MPAM的差错概率 d一定 根据公式，当M增加时，需要Eav也增加,才能获得跟 原来一样的PM （大M，系数近似不变）。 Eb/N0一定 M增加，导致Q函数的自变量减小，PM变大。 PM一定 要获得相同的性能，当M增加一倍时，需要Eb/N0 增加4dB（小M）或6dB（大M）。 8.5.2 M进制正交信号的差 错概率 先验等概AWGN等能量最大相关准则 假设发送信号为s1,则检测器输入端的信号矢量为 8.5.2 M进制正交信号的差 错概率 正确判决的准则就是把上面的相关度量中值最大的一个 对应的信号sm进行输出。因为发送的是s1，所以正确接 收时，C(y,s1)应该是所有相关度量中最大的一个。 因为ym相互独立，有 8.5.2 M进制正交信号的差 错概率 由独立性和对称性，正确判决的概率为： 码元差错概率为： 令x=y1/sqrt(N0/2) 为了合理比较通信系统，要计算出SNR/bit和Eb/N0 的表示的差错概率，而不是用SNR/symbol和Es/N0 表示的差错概率。因为根据星座图规模的不同，不 同系统中信号所携带的比特数是不同的。Es=kEb， 代入上式，即可得到以Eb/N0表示的误符号率。 某些情况下，还需要把误符号率化成误比特率。 对等概率正交信号而言，发sm时，错成其他M-1个码 元的概率都是相等的，都等于 每个符号有k个比特，则一旦出错，就可能是这k个 比特中的任n个比特(n=1,2,k)出错。故一个符号错 带来的平