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机电与信息工程学院机电与信息工程学院 机械电子工程系机械电子工程系 第7章 机械的运转及其 速度波动的调节 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 第第7章 机械的运转及其速度波动的调节章 机械的运转及其速度波动的调节 7-1 概述概述 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 7-3 机械运动方程式的求解机械运动方程式的求解 7-4 稳定运转状态下机械的周期性速度稳定运转状态下机械的周期性速度 波动及其调节波动及其调节 7-5 机械的非周期性速度波动及其调节机械的非周期性速度波动及其调节 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 7-1 概 述概 述 7-1 概 述概 述 前面我们在研究机构的运动分析及力分析时，都假定：前面我们在研究机构的运动分析及力分析时，都假定： ?原动件的运动规律是已知的；原动件的运动规律是已知的； ?原动件作等速运动。原动件作等速运动。 实际上机构原动件的运动规律是由：实际上机构原动件的运动规律是由： ?各构件的质量、转动惯量各构件的质量、转动惯量 ?作用于其上的驱动力与工作阻力作用于其上的驱动力与工作阻力 等因素而决定的。等因素而决定的。 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 在一般情况下，在一般情况下，原动件的速度和加速度是随时间而变化 的 原动件的速度和加速度是随时间而变化 的。因此，为了对机构进行精确的运动分析和力分析，如为了 研究： 。因此，为了对机构进行精确的运动分析和力分析，如为了 研究： ?机械运转过程及其平稳性机械运转过程及其平稳性 ?确定各构件在运动过程中所产生的实际惯性力的大小等确定各构件在运动过程中所产生的实际惯性力的大小等 就需要首先确定机构原动件的真实运动规律。就需要首先确定机构原动件的真实运动规律。 这对于机械设计，特别是高速、重载、高精度和高自动化 程度的机械，是十分重要的。 这对于机械设计，特别是高速、重载、高精度和高自动化 程度的机械，是十分重要的。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 由于在一般情况下，机械原动件并非作等速运动，即机械 在运动过程中将会出现 由于在一般情况下，机械原动件并非作等速运动，即机械 在运动过程中将会出现速度波动速度波动，而这种速度波动的结果是：，而这种速度波动的结果是： ? 会导致在运动副中产生附加的动压力；会导致在运动副中产生附加的动压力； ? 引起机械的振动；引起机械的振动； ? 降低机械的寿命、效率和工作质量。降低机械的寿命、效率和工作质量。 因此，需要对机械运转速度的波动及其调节的方法加以研 究，以便设法将机械运转速度波动的程度限制在许可的范围之 内。 因此，需要对机械运转速度的波动及其调节的方法加以研 究，以便设法将机械运转速度波动的程度限制在许可的范围之 内。 7-1 概 述概 述 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 1本章研究的内容及目的本章研究的内容及目的 (1) 研究在外力作用下机械真实运动规律的求解研究在外力作用下机械真实运动规律的求解 机构的运动规律通常用其原动件的运动规律（即位移、速度 及加速度）描述。而其真实运动规律是由其各构件的质量、转动 惯量和作用于其上的驱动力与阻抗力等因素决定的。上述参数 往往是随时间而变化的。 机构的运动规律通常用其原动件的运动规律（即位移、速度 及加速度）描述。而其真实运动规律是由其各构件的质量、转动 惯量和作用于其上的驱动力与阻抗力等因素决定的。上述参数 往往是随时间而变化的。 要对机构进行精确的运动分析和力分析，就需要确定原动件 的真实运动规律。这对于机械设计，特别是高速、重载、高精度 和高自动化的机械是十分重要的。 要对机构进行精确的运动分析和力分析，就需要确定原动件 的真实运动规律。这对于机械设计，特别是高速、重载、高精度 和高自动化的机械是十分重要的。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 1本章研究的内容及目的本章研究的内容及目的 (2) 研究机械运转速度的波动及其调节研究机械运转速度的波动及其调节 机械在运转过程中经常会出现速度波动，这种速度波动会导机械在运转过程中经常会出现速度波动，这种速度波动会导 致在运动副中产生附加的动压力，并引起机械的振动，从而降低致在运动副中产生附加的动压力，并引起机械的振动，从而降低 机械的寿命、效率和工作质量。机械的寿命、效率和工作质量。 为了降低机械速度波动的影响，就需要研究其波动和调节方为了降低机械速度波动的影响，就需要研究其波动和调节方 法，以便设法将机械运动速度波动的程度限制在许可的范围之内。法，以便设法将机械运动速度波动的程度限制在许可的范围之内。 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 如上所述，机械的真实运动规律是由作用于机械上的外 力、各构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题。 如上所述，机械的真实运动规律是由作用于机械上的外 力、各构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题。 本章研究的两个主要问题本章研究的两个主要问题： 1. 研究在外力作用下机械的真实运动规律研究在外力作用下机械的真实运动规律 主要研究单自由度机械系统在外力作用下的真实运动规 律。掌握通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微 分方程来研究真实运动规律的方法。 主要研究单自由度机械系统在外力作用下的真实运动规 律。掌握通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微 分方程来研究真实运动规律的方法。 2. 机械运转速度的波动及其调节的方法机械运转速度的波动及其调节的方法 主要研究机械运转速度波动产生的原因及其调节方法。主要研究机械运转速度波动产生的原因及其调节方法。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 为了研究机械在运转过程中出现的上述问题，下面将 首先介绍机械在其运转过程中各阶段的运动状态，以及作 用在机械上的驱动力和工作阻力的情况。 为了研究机械在运转过程中出现的上述问题，下面将 首先介绍机械在其运转过程中各阶段的运动状态，以及作 用在机械上的驱动力和工作阻力的情况。 机械是在外力（驱动力和各种阻力等）作用下运转 的。驱动力所作的功，在每一瞬时并不总是等于阻力所作 的功，这样，驱动力所作的功就会出现多余或不足，称 机械是在外力（驱动力和各种阻力等）作用下运转 的。驱动力所作的功，在每一瞬时并不总是等于阻力所作 的功，这样，驱动力所作的功就会出现多余或不足，称盈 亏功 盈 亏功。它将引起机械动能的增减，使其主轴的角速度随之 变化，从而产生机械转速的波动。 。它将引起机械动能的增减，使其主轴的角速度随之 变化，从而产生机械转速的波动。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 2. 机械运转的三个阶段机械运转的三个阶段 (1) 起动阶段（起动阶段（starting period of machinery) 下图所示为机械原动件的角速度下图所示为机械原动件的角速度随时间随时间 t 变化的曲线。变化的曲线。 7-1 概 述概 述 如图如图7-1所示，在起动阶段，机械原动件的角速度所示，在起动阶段，机械原动件的角速度由零 逐渐上升，直至达到正常运转的平均角速度 由零 逐渐上升，直至达到正常运转的平均角速度m为止。在这一 阶段由于机械所受的驱动力所作的 为止。在这一 阶段由于机械所受的驱动力所作的驱动功驱动功wd大于为克服工作 阻力所消耗的 大于为克服工作 阻力所消耗的阻抗功阻抗功wr(=wr+wf)，所以机械内积蓄了，所以机械内积蓄了动能动能 e. 图图7-1 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 7-1 概 述概 述 图图7-1 根据动能定理，在起动阶段的功能关系可以表示为：根据动能定理，在起动阶段的功能关系可以表示为： wd wre (7-1) 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 图图7-1 继起动阶段之后，机械进入稳定运转阶段。在这一阶段中 原动件的平均角速度 继起动阶段之后，机械进入稳定运转阶段。在这一阶段中 原动件的平均角速度m保持稳定，即为一常数。保持稳定，即为一常数。 (2) 稳定运转阶段（稳定运转阶段（steady motion period of machinery) 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 图图7-1 但是在通常情况下，在稳定运转阶段，原动件的角速度但是在通常情况下，在稳定运转阶段，原动件的角速度 还会出现周期性波动，即在一个周期还会出现周期性波动，即在一个周期t内的各个瞬时，原动件 的角速度 内的各个瞬时，原动件 的角速度常数，但在一个周期常数，但在一个周期t的始末，其角速度的始末，其角速度是相 等的，因而机械具有的动能也是相等的。 是相 等的，因而机械具有的动能也是相等的。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 图图7-1 所以就一个周期（机械原动件角速度变化的一个周期又称 为机械的一个运动循环）而言，机械的总驱动功与总阻抗功是 相等的，即： 所以就一个周期（机械原动件角速度变化的一个周期又称 为机械的一个运动循环）而言，机械的总驱动功与总阻抗功是 相等的，即： wd wr(7-2) 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 图图7-1 上述这种稳定运转称之为上述这种稳定运转称之为周期性变速稳定运转周期性变速稳定运转，如活塞式 压缩机等机械的运转情况即属此类。而另外一些机械（如鼓风 机、风扇等 ，如活塞式 压缩机等机械的运转情况即属此类。而另外一些机械（如鼓风 机、风扇等)，其原动件的角速度，其原动件的角速度在稳定运转过程中恒定不 变，即 在稳定运转过程中恒定不 变，即常数，则称之为常数，则称之为等速稳定运转等速稳定运转。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 ewr(7-3) 图图7-1 在机械停止运转的过程中在机械停止运转的过程中(降为降为0)，一般均已撤去驱动 力，即驱动功 ，一般均已撤去驱动 力，即驱动功wd0。当阻抗功逐渐将机械具有的功能消耗完 了时，机械便停止运转。这一阶段的功能关系可用下式表示： 。当阻抗功逐渐将机械具有的功能消耗完 了时，机械便停止运转。这一阶段的功能关系可用下式表示： (3) 停车阶段（停车阶段（stopping period of machinery) 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 图图7-1 在一般情况下，在停车阶段机械上的工作阻力也不再作 用，而为了缩短停车所需的时间以加速停车，在某些机械上可 以安装制动装置。图 在一般情况下，在停车阶段机械上的工作阻力也不再作 用，而为了缩短停车所需的时间以加速停车，在某些机械上可 以安装制动装置。图7-1所示的虚线表示机械在安装制动器 后，停车阶段原动件的角速度 所示的虚线表示机械在安装制动器 后，停车阶段原动件的角速度随时间随时间 t 的变化关系。的变化关系。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 图图7-1 起动阶段与停车阶段统称为机械运转的起动阶段与停车阶段统称为机械运转的过渡阶段过渡阶段。多数机 械是在稳定运转阶段进行工作的，但也有一些机械（如起重机 等 。多数机 械是在稳定运转阶段进行工作的，但也有一些机械（如起重机 等)，其工作过程却有相当一部分是在过渡阶段进行的。，其工作过程却有相当一部分是在过渡阶段进行的。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 阶段阶段速度特征速度特征能量特征能量特征 启 动启 动 原动件的速度从零逐渐上 升到开始稳定的过程 原动件的速度从零逐渐上 升到开始稳定的过程 wdwre0 原动件速度保持常数或在 正常工作速度的平均值上 下作周期性的速度波动 原动件速度保持常数或在 正常工作速度的平均值上 下作周期性的速度波动 wdwr0 wdwre0 原动件速度从正常工作速 度值下降到零 原动件速度从正常工作速 度值下降到零 稳定运行稳定运行 停 车停 车 机械三个运转阶段的特征：机械三个运转阶段的特征： 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 在研究上述问题时，必须知道作用在机械上的力及其变化 规律。 在研究上述问题时，必须知道作用在机械上的力及其变化 规律。当构件的重力以及运动副中的摩擦力等可以忽略不计 时 当构件的重力以及运动副中的摩擦力等可以忽略不计 时，则，则作用在机械上的力将只有作用在机械上的力将只有原动机发出的原动机发出的驱动力驱动力和执行构 件完成有用功时所承受的 和执行构 件完成有用功时所承受的工作阻力工作阻力。这两种力是确定机构运动 特性的基本力 这两种力是确定机构运动 特性的基本力。它们随着机械工作情况的不同及所使用的。它们随着机械工作情况的不同及所使用的原动 机 原动 机 (driving motor) 的不同而是多种多样的。的不同而是多种多样的。 3. 作用在机械上的驱动力和工作阻力作用在机械上的驱动力和工作阻力 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 为研究在力作用下机械的运动，我们可以把作 用力按其机械特性来分类。 为研究在力作用下机械的运动，我们可以把作 用力按其机械特性来分类。 机械特性（机械特性（mechanical behavior）：通常是 指各种原动机的作用 ：通常是 指各种原动机的作用力力 (force) 或或力矩力矩 (torque) 与 其 与 其运动参数运动参数 (kinematic parameter)（位移、速 度、时间等） （位移、速 度、时间等）之间的函数关系之间的函数关系，称为原动机的，称为原动机的机械 特性 机械 特性。 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 如用重锤作为驱动件时其机械特性为常数（图如用重锤作为驱动件时其机械特性为常数（图7-2a)，用 弹簧作为驱动件时其机械特性是位移的线性函数（图 ，用 弹簧作为驱动件时其机械特性是位移的线性函数（图7-2b）， 三相交流异步电动机的机械特性是速度的函数（图 ）， 三相交流异步电动机的机械特性是速度的函数（图7-2c）。）。 图图72 (a) (b) (c) 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 当用解析法研究机械的运动时，原动机的驱动力必须以解 析式表达。为了简化计算，常将原动机的机械特性曲线用简单 的代数式来近似地表示。如交流异步电动机的机械特性曲线的 当用解析法研究机械的运动时，原动机的驱动力必须以解 析式表达。为了简化计算，常将原动机的机械特性曲线用简单 的代数式来近似地表示。如交流异步电动机的机械特性曲线的 bc部分是工作段，就常近似地以通过部分是工作段，就常近似地以通过n点和点和c点的直线代替。点的直线代替。 图图72 (a) (b) (c) 7-1 概 述概 述 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 n点的转矩点的转矩mn为电动机的额定转矩，角速度为电动机的额定转矩，角速度n为电动机 的额定角速度。 为电动机 的额定角速度。c点的角速度点的角速度0为同步角速度，转矩为零。该 直线上任意一点的驱动力矩 为同步角速度，转矩为零。该 直线上任意一点的驱动力矩md为：为： md= mn(0-)/(0-n) (7-4) 式中，式中，mn、n、0可由电动机产品目录中查出。可由电动机产品目录中查出。 图图72 (a) (b) (c) 7-1 概 述概 述 至于机械执行构件所承受的生产阻力的变化规律，则取 决于机械工艺过程的特点，生产阻力可以是常数（起重机、 车床等），可以是执行构件位置的函数（如曲柄压力机、活 塞式压缩机等），可以是执行构件速度的函数（如鼓风机、 离心泵等），也可以是时间的函数（如揉面机、球磨机 等）。 至于机械执行构件所承受的生产阻力的变化规律，则取 决于机械工艺过程的特点，生产阻力可以是常数（起重机、 车床等），可以是执行构件位置的函数（如曲柄压力机、活 塞式压缩机等），可以是执行构件速度的函数（如鼓风机、 离心泵等），也可以是时间的函数（如揉面机、球磨机 等）。 驱动力和生产阻力的确定涉及到许多专业知识，已不属 于本课程的范围。在本章讨论中认为外力是已知的 驱动力和生产阻力的确定涉及到许多专业知识，已不属 于本课程的范围。在本章讨论中认为外力是已知的 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 7-1 概 述概 述 第第7章 机械的运转及其速度波动的调节章 机械的运转及其速度波动的调节 7-1 概述概述 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 7-3 机械运动方程式的求解机械运动方程式的求解 7-4 稳定运转状态下机械的周期性速度稳定运转状态下机械的周期性速度 波动及其调节波动及其调节 7-5 机械的非周期性速度波动及其调节机械的非周期性速度波动及其调节 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 1. 机械运动方程的一般表达式机械运动方程的一般表达式 研究机械的运转问题时，需要建立作用在机械上的力、构 件的质量 研究机械的运转问题时，需要建立作用在机械上的力、构 件的质量 (mass)、转动惯量、转动惯量 (moment of inertia) 和其运动参 数之间的函数关系，亦即建立机械的运动方程。 对于只有一个自由度的机械，描述它的运动规律只需要一 个广义坐标。因此，在研究机械在外力作用下的运动规律时， 只需要确定出该坐标随时间变化的规律即可。 下面以图 和其运动参 数之间的函数关系，亦即建立机械的运动方程。 对于只有一个自由度的机械，描述它的运动规律只需要一 个广义坐标。因此，在研究机械在外力作用下的运动规律时， 只需要确定出该坐标随时间变化的规律即可。 下面以图7-3所示的曲柄滑块机构为例说明单自由度机械 系统的运动方程式的建立方法。 所示的曲柄滑块机构为例说明单自由度机械 系统的运动方程式的建立方法。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 在图在图7-3所示的曲柄滑块机构由三个活动构件组成。设已 知曲柄 所示的曲柄滑块机构由三个活动构件组成。设已 知曲柄1为原动件，其角速度为为原动件，其角速度为1，曲柄，曲柄1的的质心质心 (mass center) s1在在o点，其转动惯量为点，其转动惯量为j1；连杆；连杆2的角速度为的角速度为2，质 量为 ，质 量为m2，其对质心，其对质心s2的转动惯量为的转动惯量为js2，质心，质心s2的速度为的速度为vs2； 滑块 ； 滑块3的质量为的质量为m3，其质心，其质心s3在在b点，速度为点，速度为v3。则该机构在。则该机构在 dt 时刻动能的增量为：时刻动能的增量为： 图图7-3 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理图图7-3 又如图又如图7-3所示，设在此机构上作用有驱动力矩所示，设在此机构上作用有驱动力矩m1与工作 阻力 与工作 阻力f3，在瞬间，在瞬间dt 所作的功为所作的功为: dw (m11f3v3) dt 设设dt 时刻外力产生的功率为时刻外力产生的功率为p，则上式可成为：，则上式可成为： dw (m11f3v3) dtpdt 故其瞬时功率为：故其瞬时功率为： pm11f3v3 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理图图7-3 dw (m11f3v3) dt pdt 根据动能定理，机械系统在某一瞬间其根据动能定理，机械系统在某一瞬间其总动能的增量总动能的增量应应等 于 等 于在该瞬间内作用于该机械系统的各在该瞬间内作用于该机械系统的各外力所作的元功之和外力所作的元功之和，于 是由上式可得出此曲柄滑块机构的运动方程式为： ，于 是由上式可得出此曲柄滑块机构的运动方程式为： (7-5) 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 设 第 设 第i个构件的作用力为个构件的作用力为fi、力矩为、力矩为mi， 对于具有 ， 对于具有n个活动构件的机械，个活动构件的机械， 式中式中mi与与 i同相时，取同相时，取“”号，反相时，取号，反相时，取“”号。号。 i 力力fi的作用点的速度为的作用点的速度为vi、构件的角速 度为 、构件的角速 度为 i， ，f i与 与vi间的夹角为间的夹角为i。 机械运动方程式的一般表达式为： 。 机械运动方程式的一般表达式为： si mi jsi fimi vi i i d (mivsi/2jsi i/2)(fivicos imi i)dt n i=1 n i=1 22 (7-6) 在应用在应用(7-6)式时，由于各构件的运动参量均为未知量，不 便求解。为了求得简单易解的机械运动方程式，对于单自由度 机械系统可以先将其简化为一等效动力学模型，然后再列出其 运动方程式。现将这种方法介绍如下。 式时，由于各构件的运动参量均为未知量，不 便求解。为了求得简单易解的机械运动方程式，对于单自由度 机械系统可以先将其简化为一等效动力学模型，然后再列出其 运动方程式。现将这种方法介绍如下。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 2. 机械系统的等效动力学模型机械系统的等效动力学模型 现仍以图现仍以图7-3所示的曲柄滑块机构为例来说明。该机构为 一单自由度机械系统，现选曲柄 所示的曲柄滑块机构为例来说明。该机构为 一单自由度机械系统，现选曲柄1的转角的转角 1为独立的广义坐 标，并将式 为独立的广义坐 标，并将式(7-5)改写成如下形式：改写成如下形式： (7-7) (7-8) (7-9) 图图7-3 为了简化计算，令：为了简化计算，令： 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 (7-8) 图图7-3 由由 (7-8)式可以看出，式可以看出，je具有转动惯量的量纲，故称为具有转动惯量的量纲，故称为等 效转动惯量 等 效转动惯量。式中的各速比。式中的各速比2 /1，vs2 /1，以及，以及2 /1， 都是独立广义坐标 ， 都是独立广义坐标 1的函数。因此等效转动惯量的一般表达式 可以写成如下函数式： 的函数。因此等效转动惯量的一般表达式 可以写成如下函数式： (7-10) 故故dt 时刻机构的动能可表示为：时刻机构的动能可表示为： )( 1 ee jj = = = = 2 1 2 1 e jdde 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理图图7-3 (7-9) 又由又由(7-9)式可知，式可知，me具有力矩的量纲，故称之为具有力矩的量纲，故称之为等效力 矩 等效力 矩。同理，式中的传动比。同理，式中的传动比v3/1也是广义坐标也是广义坐标 1的函数。又因 外力 的函数。又因 外力m1与与f3在机械系统中可能是运动参数在机械系统中可能是运动参数 1、1及及t 的函数， 所以等效力矩的一般函数表达式为： 的函数， 所以等效力矩的一般函数表达式为： (7-11),( 11 tmm ee = = 则则dt 时刻的功率可表示为：时刻的功率可表示为： 1 e mp = = 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理图图7-3 根据根据je与与me的表达式的表达式(7-8)式式(7-11)，则式，则式(7-7)可以写成 如下形式的运动方程式： 可以写成 如下形式的运动方程式： dttmjd ee111 2 11 ),(2/)(= =(7-12) 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 图图7-3 上述推导可以理解为：对于一个单自由度机械系统的运动 的研究，可以简化为对该系统中某一个构件 上述推导可以理解为：对于一个单自由度机械系统的运动 的研究，可以简化为对该系统中某一个构件(如图如图7-3所示的曲 柄 所示的曲 柄)运动的研究，但该构件上的转动惯量应等于整个机械系统 的等效转动惯量 运动的研究，但该构件上的转动惯量应等于整个机械系统 的等效转动惯量je( )，作用于该构件上的力矩应等于整个机 械系统的等效力矩 ，作用于该构件上的力矩应等于整个机 械系统的等效力矩me ( , , t )。这样的假想构件称为。这样的假想构件称为等效构 件 等效构 件(equivalent link)，如图，如图7-4(a)所示，由之所建立的动力学 模型称为原机械系统的 所示，由之所建立的动力学 模型称为原机械系统的等效动力学模型等效动力学模型(equivalent dynamic models)。 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 图图7-4(a) 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 (1) 等效动力学模型的概念：等效动力学模型的概念： 小结 小结 对于一个单自由度机械系统的运动的研究，可简化为对其 一个等效转动构件或等效移动构件的运动的研究。 对于一个单自由度机械系统的运动的研究，可简化为对其 一个等效转动构件或等效移动构件的运动的研究。 等效转动惯量等效转动惯量（或（或等效质量等效质量）是等效构件具有的假想的转 动惯量（或质量），且使等效构件所具有的动能应等于原机械 系统中 所 有运动构件的动能之和。 ）是等效构件具有的假想的转 动惯量（或质量），且使等效构件所具有的动能应等于原机械 系统中 所 有运动构件的动能之和。 等效力矩等效力矩（或（或等效力等效力）是作用在等效构件上的一个假想力 矩（或假想力），其瞬时功率应等于作用在原机械系统各构件 上的所 有外力在同一瞬时的功率之和。 ）是作用在等效构件上的一个假想力 矩（或假想力），其瞬时功率应等于作用在原机械系统各构件 上的所 有外力在同一瞬时的功率之和。 我们把具有等效转动惯量（或等效质量），其上作用的等 效力矩（或等效力）的等效构件称为原机械系统的 我们把具有等效转动惯量（或等效质量），其上作用的等 效力矩（或等效力）的等效构件称为原机械系统的等效动力学 模型 等效动力学 模型。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 结论：结论： ? 具有等效转动惯量具有等效转动惯量je( )的等效构件的动能将等于 原机械系统的动能； 的等效构件的动能将等于 原机械系统的动能； ? 作用于其上的等效力矩作用于其上的等效力矩me ( , , t )的瞬时功率 将等于作用在原机械系统上的所有外力在同一瞬时 的功率之和； 的瞬时功率 将等于作用在原机械系统上的所有外力在同一瞬时 的功率之和； ? 具有等效转动惯量具有等效转动惯量je( )，其上作用有等效力矩，其上作用有等效力矩me ( , , t ) 的等效构件称为原机械系统的的等效构件称为原机械系统的等效动力学 模型 等效动力学 模型。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 (2) 等效动力学模型的建立等效动力学模型的建立 首先，可选取机械中待求速度的转动或移动构件为等效构 件，并以其位置参数为广义坐标。 首先，可选取机械中待求速度的转动或移动构件为等效构 件，并以其位置参数为广义坐标。 其次，确定系统广义构件的等效转动惯量其次，确定系统广义构件的等效转动惯量je或等效质量或等效质量me 和等效力矩和等效力矩me或等效力或等效力fe。 其中其中je或或me的大小是根据等效构件与原机械系统的大小是根据等效构件与原机械系统动能相等 的条件 动能相等 的条件来确定；来确定； 而而me或或fe的大小则是根据等效构件与原机械系统的的大小则是根据等效构件与原机械系统的瞬时 功率相等的条件 瞬时 功率相等的条件来确定。来确定。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 不难看出，利用等效动力学模型建立的机械运动方程式， 不仅形式简单，而且方程式的求解也将大为简化。 等效构件也可选用移动构件。如在图 不难看出，利用等效动力学模型建立的机械运动方程式， 不仅形式简单，而且方程式的求解也将大为简化。 等效构件也可选用移动构件。如在图7-3所示的曲柄滑块机 构中，也可选滑块 所示的曲柄滑块机 构中，也可选滑块3为等效构件（其广义坐标为滑块的位移为等效构件（其广义坐标为滑块的位移 s3，如图，如图7-4(b)，则式，则式(7-5)可改写成下列形式：可改写成下列形式： 图图7-4(b) (7-13) 上式左端方括号内的量具有质量的量纲，设以上式左端方括号内的量具有质量的量纲，设以me表示，即令表示，即令: (7-14) 上式右端括号内的量具有力的量纲，设以上式右端括号内的量具有力的量纲，设以fe表示，即令表示，即令: (7-15) 于是可得以滑块于是可得以滑块3为等效构件时所建立的运动方程式为：为等效构件时所建立的运动方程式为： (7-16) 式中：式中：me称为称为等效质量等效质量，fe称为称为等效力等效力。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 曲柄和滑块的等效动力学模型曲柄和滑块的等效动力学模型 等效力矩：等效力矩：me 等效转动惯量：等效转动惯量：je 等效力：等效力：fe 等效质量：等效质量：me pe31 e m 1 3 e j 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 综上所述：综上所述： ? 如果取如果取转动构件转动构件为为等效构件等效构件，则其，则其等效转动惯量等效转动惯量和和等效力 矩 等效力 矩的一般计算公式分别为：的一般计算公式分别为： (7-17) = +=+= n i i si n i si ie j v mj 1 2 1 2 )()( = = = = n i i i i iie m v fm 1 cos ? 如果取如果取移动构件移动构件为为等效构件等效构件，则其，则其等效质量等效质量和和等效力等效力的一 般计算公式分别为： 的一 般计算公式分别为： (7-18) = = += += n i i si si ie v j v v mm 1 22 )()( = = = = n i i i i iie v m v v ff 1 cos (7-19) (7-20) 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 等效动力学模型的建立等效动力学模型的建立 目的：通过建立外力与运动参数间的函数表达式，研究机 械系统的真实运动 目的：通过建立外力与运动参数间的函数表达式，研究机 械系统的真实运动 原则：使系统转化前后的动力学效果保持不变原则：使系统转化前后的动力学效果保持不变 等效构件的动能，应等于整个系统的总动能等效构件的动能，应等于整个系统的总动能 等效构件上所做的功，应等于整个系统所做功之和等效构件上所做的功，应等于整个系统所做功之和 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 等效参量的计算总结等效参量的计算总结 1. 作定轴转动的等效构件的等效参量的计算作定轴转动的等效构件的等效参量的计算 等效转动惯量的计算等效转动惯量的计算: 等效构件的动能： 原机械系统中各类不同运动形式构件的动能： 等效构件的动能： 原机械系统中各类不同运动形式构件的动能： 2 2 1 e je = = 2 2 1 isii je = = 2 2 1 siii vme = = 22 2 1 2 1 siiisii vmje+=+= 定轴转动：定轴转动： 直线移动：直线移动： 平面运动：平面运动： 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 整个机械系统的动能整个机械系统的动能： = +=+= n i sii n i isi vmje 1 2 1 2 2 1 2 1 等效构件的动能与机械系统的动能相等，则：等效构件的动能与机械系统的动能相等，则： = +=+= n i sii n i isie vmjej 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 方程两边统除以方程两边统除以2 / 2，可求得等效转动惯量：，可求得等效转动惯量： = +=+= n i si i n i i sie v mjj 1 2 1 2 )() （ （ 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 等效力矩的计算等效力矩的计算: 等效构件的瞬时功率：等效构件的瞬时功率：pme 原机械系统中各类不同运动形式构件的瞬时功率：原机械系统中各类不同运动形式构件的瞬时功率： 定轴转动：定轴转动： 直线移动：直线移动： 平面运动：平面运动： iii mp = = iiii vfp cos= = iiiiii mvfp = =cos 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 整个机械系统的瞬时功率为整个机械系统的瞬时功率为： 等效构件的瞬时功率与机械系统的瞬时功率相等，则等效构件的瞬时功率与机械系统的瞬时功率相等，则: 方程两边统除以方程两边统除以，可求得等效力矩：，可求得等效力矩： = +=+= n i ii n i iii mvfp 11 cos = +=+= n i ii n i iiie mvfpm 11 cos = +=+= n i i i n i i iie m v fm 11 )()(cos 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 同理，等效构件的动能与机械系统的动能相等和 等效构件的瞬时功率与机械系统的瞬时功率相等，可 分别求得等效质量 同理，等效构件的动能与机械系统的动能相等和 等效构件的瞬时功率与机械系统的瞬时功率相等，可 分别求得等效质量me和等效力和等效力fe： = +=+= n i i si n i si ie v j v v mm 1 2 1 2 )()( + = + = = v m v v ff i n i i n i i iie 11 cos 2. 作直线移动的等效构件的等效参量的计算作直线移动的等效构件的等效参量的计算 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 等效力矩等效力矩me和等效力和等效力fe计算小结计算小结 功率和不变 等效力矩 等效力 功率和不变 等效力矩 等效力 = +=+= n i ii n i iii mvfp 11 cos = +=+= n i ii n i iiie mvfpm 11 cos = + = + = n i i i i n i iie m v fm 11 cos + = + = = v m v v ff i n i i n i i iie 11 cos同理可得：同理可得： 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 等效力矩的特征：等效力矩的特征： 等效力矩是一个假想力矩；等效力矩是一个假想力矩； 等效力矩为正，是等效驱动力矩，反之，为等效阻力矩；等效力矩为正，是等效驱动力矩，反之，为等效阻力矩； 等效力矩不仅与外力（矩）有关，而且与各构件相对于等 效构件的速度比有关； 等效力矩不仅与外力（矩）有关，而且与各构件相对于等 效构件的速度比有关； 等效力矩与机械系统驱动构件的真实速度无关。等效力矩与机械系统驱动构件的真实速度无关。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 动能不变 等效转动惯量 等效质量 动能不变 等效转动惯量 等效质量 = +=+= n i isi n i sii jvme 1 2 1 2 2 1 2 1 = +=+= n i isi n i siie jvmej 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 = +=+= n i i si n i si ie j v mj 1 2 1 2 )()( = +=+= n i i si n i si ie v j v v mm 1 2 1 2 )()( 等效转动惯量等效转动惯量je和等效质量和等效质量me计算小结计算小结 同理可得：同理可得： 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 等效转动惯量的特征：等效转动惯量的特征： 等效转动惯量是一个假想转动惯量；等效转动惯量是一个假想转动惯量； 等效转动惯量不仅与各构件质量和转动惯量有关，而且与 各构件相对于等效构件的速度比平方有关； 等效转动惯量不仅与各构件质量和转动惯量有关，而且与 各构件相对于等效构件的速度比平方有关； 等效转动惯量与机械系统驱动构件的真实速度无关。等效转动惯量与机械系统驱动构件的真实速度无关。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 中国矿业大学(北京)中国矿业大学(北京) 机械原理机械原理 结论 结论 从以上分析和公式可以看出，各从以上分析和公式可以看出，各等效量等效量 仅与仅与构件间构件间的的速比有关速比有关，而与构件的，而与构件的真实 速度无关 真实 速度无关，故可在不知道构件真实运动的 情况下求出。 ，故可在不知道构件真实运动的 情况下求出。 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 例例7-1 图图7-5所示为齿轮所示为齿轮-连杆机构。设已知轮连杆机构。设已知轮 1的齿数的齿数z120,转动惯量为转动惯量为j1;轮轮2的齿数为的齿数为z260, 它与曲柄它与曲柄2的质心在的质心在b点，其对点，其对b轴的转动惯量 为 轴的转动惯量 为j2，曲柄长为，曲柄长为l；滑块；滑块3和构件和构件4的质量分别为的质量分别为 m3、m4，其质心分别在，其质心分别在c及及d点。在轮点。在轮1上作用有 驱动力矩 上作用有 驱动力矩m1，在构件，在构件4上作用有阻抗力上作用有阻抗力f4，现取 曲柄为等效构件，试求在图示位置时的 ，现取 曲柄为等效构件，试求在图示位置时的je及及me。 图图7-5 解：解：根据式根据式(7-17)可得：可得： je j1( 1/ 2) 2 j2m3(v3/ 2) 2 m4(v4/ 2) 2 (a) 而由速度分析而由速度分析(图图7-5b)可知：可知： v3 vc 2l (b) v4 vcsin 2 2l sin 2 (c) 因此，有：因此，有： (d) 根据式根据式(7-18)可得：可得： (e) 7-2 机械的运动方程式机械的运动方程式 例例7-1 图图7-5所示为齿轮所示为齿轮-连杆机构。设已知轮连杆机构。设已知轮 1的齿数的齿数z120,转动惯量为转动惯量为j1