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中考数学专题讲析（一）分类讨论问题【简要分析】分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为 例2：o的半径为5，弦abcd，ab=6，cd=8，则ab和cd的距离是（ ） （a）7 （b）8 （c）7或1 （d）1例3：如图2-4-2，正方形abcd的边长是2，be=ce，mn=1，线段mn的两端在cd、ad上滑动当dm= 时，abe与以d、m、n为项点的三角形相似例4：如图2-4-3，在直角梯形abcd中，adbc，c=900，bc=16，dc=12，ad=21，动点p从d出发，沿射线da的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点q从点c出发，经线段cb上以每秒1个单位长度的速度向点b运动，点p、q分别从d、c同时出发，当点q运动到点b时，点p随之停止运动设运动时间为秒（1） 设bpq的面积为s，求s与之间的函数关系式（2） 当为何值时，以b、p、q三点为项点的三角形是等腰三角形？题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证【提高训练12】 1已知等腰abc的周长为18，bc=8若abcabc，则abc中一定有一定有条边等于（ ）a7 b2或7 c5 d2或72已知o的半径为2，点p是o外一点，op的长为3，那么以p这圆心，且与o相切的圆的半径一定是（ ）a1或5 b1 c5 d1或则3a、b两地相距450千米，甲、乙两车分别从a、b两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ ）a2或25 b2或10 c10或125 d2或125已知点是半径为的外一点，pa是o的切线，切点为a，且pa=2，在o内作了长为的弦ab，连续pb，则pb的长为 5在直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点a，与轴交于点b（1）苈以原点o这圆心的圆与直线ab切于点c，求切点c的坐标（2）在轴上是否存在点p，使pab为等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由【提高训练12参考答案】1d 2a 3a 4 5（1） （2）满足条件的点p存在，它的坐标是（二）信息题【简要分析】信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题解答信息题时，首先要仔细观阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息（如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等），然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解【典型考题例析】例1：长沙市某公司的门票价格如下表所示购票人数，150人51100人100人以上票价10元/人8元/人5元/人某校初三年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只付515元问甲、乙班分别有多少人？说明： 本题书籍条件由图表给出，题型新颖，是近年来的热点题型解这类问题要学会读懂图表信息，分析题设与图表信息的联系，巧设未知数，建立方程或方程组求解例2：张欣和李明相约到图书城去买书，请你根据全心全意的对话内容（图2-4-4），图出李明上次买书籍的原价例3：某商定公司为指导某种应季商品的生产和销售，对3月份至7月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价m（元）与时间(月)的关系可用一长线段上的点来表示（如图2-4-5）；一件商品的成本q（元）与时间(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2-4-6）根据提供的信息解答下列问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少?(2)求图226中表示的一件件的成本q(元)与时间(月)之间的函数关系式，(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润w(元)与时间(月)之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算一下该公司在一个月内的最少获利 说明：此题紧密联系点生产、经营实际，用函数图象反映售价、成本与时间的关系，解题目时，要善于读民生 图象所给信息，弄清图象反映的是哪些变量之间的关系，然后再用相关的函数知识给予解答【提高训练13】1某超市购进了一批不同价格的皮鞋,下表是该超市在近几年统计的平均数据：皮鞋价(元)160140120100销售百分率60%75%83%95%要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购进( )皮鞋.a160元 b140元 c120元 d100元3南宁市是广西最大的罗非鱼养殖产区，被国家农业部列为罗非鱼优势区域，某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼，要求这两个品种总产值g（吨）满足：，总产值为1000万元已知相关数据如上表所示，问该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围？（产值=产量单价） 4某公司推销一种新产品，设（件）是推销新产品的数量，（元）是推销费，图2-4-8表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案看图解答下列问题：（1）求与的函数关系式（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的（3）如果你是推销员，应该如何选择付费方案？ 【提高训练13参考答案】1b2每件t恤衫20元，每瓶泉水2元3设该该养殖场下半年罗非鱼的产量为吨，则，解得8575x900故该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制有在8575吨到900吨的范围4（1） （2）是不推销产品没有推销费,每推销10件产品得推销费200元，是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元 （3）若业务能力强，平均每月能保证推销30件时，就选择的付费方案，否则选择的付费方案（三）阅读理解题【简要分析】阅读理解题的篇幅一般都较长，试题结构大致分两部分：一部分是阅读材料，别一部分是根据阅读材料需解决的有关问题阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的考查目标除了初中数学和基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力【典型考题例析】例1：若关于的一元二次方程两实数根的平方和是2，求的值解：设方程的两个实数根为，那么，即答：的值是3请把上述解答过程的错误或不完整之处写出来，并给出正确解答例2：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这图形的一个转角例如：下班正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合（如图2-4-9），所以正方形是一个旋转对称图形，它有一个转角为（1）判断下列命题的真假（在相应的特号内填上“真”、“假”）： 等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为1800矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为1800（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个转角是1200的是 （写出所有正确结论的序号）正三角形 正方形 正六边形 正八边形（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为720，并且分别满足下列条件；是轴对称图形，但不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形 例3：阅读：我们知道，在数轴上，表示一个点而在平面直角坐标系中，表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线，如图2-4-10可以得出：直线与直线的交点p的坐标（1，3）就是方程组在直角坐标系中，表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图2-4-11；也表示一个平面区域，即直线以及它下方的部分，如图2-4-12回答下列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中，（1）用作图象的方法求出方程组的解（2）用阴影表示，所围成的区域 【提高训练14】1 先阅读下列材料，然后解答题后的问题 材料：从a、b、c三人中选择取二人当代表，有a和b、a和c、b和c三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作一般地，从个元素中选取个元素组合，记作问题：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法有 种2 阅读下列一段话，并解决后面的问题观察下面一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2一般地，如果一列数等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（1）等比数列5，-15，45，的第4项是 （2）如果一列数，是等比数列，且公比为，那么根据规定，有所以 （用和的代数式表示）（3）一大体上等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项 先阅读下材料，然后按要求解答有关问题已知关于的一元二次方程有两个实数根和，且，求实数的值小虹同学对上面的问题是这样解的：解：由根与系数的关系有：，即解方程，得，的值为或老师看了小虹的这个解答后，写了如下评语：“你的解题方向是正确的，但过程欠严密，请再思考一下，相信你一定会求出正确结果”请你帮助小虹同学订正此题，好吗？ 如果将点p绕定点m旋转1800后与点q重合那么称点p与点q关于点m对称，定点m叫做对称中心此时p与点o关于点m是线段pq的中点 如图2-4-14，在直角坐标系中，abo的顶点a、b、o的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0），点列，中的相信两点都关于abo的一个顶点对称；点与点关于点a对称，点与点关于点b对称，点与关于o对称，点与点关于点a对称，点与点关于点b对称点与点关于点o，对称中心分别是a、b、o、a、b、o、且这些对称中心依次循环，已知点坐标是（1，1），试求出点，坐标 3 阅读以下短文，然后解决问题 如果一个三角形和一个矩形满期足下列条件：三角形的三边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”如图2-4-15所示，矩形abef即为abc的“友好三角形”显然，当abc是钝角三角形时，其“友好三角形”只有一个（1）仿照以上叙述，说明了什么是一个三角形的“友好平行四边形”（2）如图2-4-16中画出abc所有的“友好矩形”（3）若abc是锐角三角形，且，在图2-4-17中画出abc年有的“友好矩形” 【提高训练14参考答案】1152（1） （2） （3）3由方程有两个实数根知=由根与系数的关系有,而,即解得又，舍去的值为4的坐标为（1，-1）， 的坐标为（1，1） 的坐标为（1，-3）5（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”（2）共有2个友好矩形，如图（1）的四边形bcad、abef（3）共有3个友好矩形，如图（2）的bcde、cafg及abhk（四）综合题综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点综合题所考查的内容涉及初中代数或几何中若干不同的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运用数学知识解决问题的能力在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也有一定程度的创新（）方程型综合题【简要分析】方程是贯穿初中代数的一条知识主线方程型综合题也是中考命题的热点，中考中的方程型综合题主要有两类题：一类是与地、一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题，另一类是与几何相结合的问题【典型考题例析】例1：已知关的一元二次方程 有实数根（1）求的取值范围（2）若两实数根分别为和，且求的值例：已知关于的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁（1） 求实数的取值范围当时，求的值 说明 运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证0例3： 如图2-4-18，o是ab上的一点，以o为圆心，ob为半径的圆与ab交于点e，与ac切于点d若ad=，且ab的长是关于的方程的两个实数根（1）求o的半径（2）求cd的长 【提高训练15】1已知关于的方程的两根是一矩形两邻边的长（1）取何值时，方程有两个实数根？（2）当矩形的对角线长为时，求的值2已知关于的方程的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数，使关于的方程的两个实数根、之差的绝对值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 3已知方程组有两个不相等的实数解（1）求有取值范围（2）若方程组的两个实数解为和是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 4如图2-4-19，以abc的直角边ab为直径的半圆o与斜边ac交于点d，e是bc边的中点，连结de（1）de与半圆o相切吗？若不相切，请说明理由（2）若ad、ab的长是方程的个根，求直角边bc的长 【提高训练15答案】（1） （2） 存在， （1） （2）满足条件的存在， （1）相切，证明略 （2）（）函数型综合题【简要分析】中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题，不仅综合了函数及其图象一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键【典型考题例析】例1：如图2-4-20，二次函数的图象与轴交于a、b两点，与轴交于点c，点c、d是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点b、d（1）求d点的坐标（2）求一次函数的解析式（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等例2 如图2-4-21，二次函数的图象与轴交于a、b两点，其中a点坐标为（1，0），点c（0，5）、d（1，8）在抛物线上，m为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式（2）求mcb的面积说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解例3 ：已知抛物线与轴交于、，与轴交于点c，且、满足条件（1）求抛物线的角析式；（2）能否找到直线与抛物线交于p、q两点，使轴恰好平分cpq的面积？求出、所满足的条件 说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化例如：二次函数与轴有交点可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等例4 已知：如图2-4-23，抛物线经过原点（0，0）和a（1，5）（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线与轴的另一个交点为c以oc为直径作m，如果过抛物线上一点p作m的切线pd，切点为d，且与轴的正半轴交于点为e，连结md已知点e的坐标为（0，），求四边形eomd的面积（用含的代数式表示）（3）延长dm交m于点n，连结on、od，当点p在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得？请求出此时点p的坐标【提高训练16】1已知抛物线的解析式为，（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点（2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值2如图2-4-24，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于p、q两点，并且p点的纵坐标是6（1）求这个一次函数的解析式（2）求poq的面积3在以o这原点的平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点c（0，3）与轴正半轴交于a、b两点（b点在a点的右侧），抛物线的对称轴是，且（1）求此抛物线的解析式（2）设抛物线的顶点为d，求四边形adbc的面积oabc是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，o为原点，点a在轴上，点c在轴上，oa=10，oc=6（1）如图2-4-25，在ab上取一点m，使得cbm沿cm翻折后，点b落在轴上，记作b点，求所b点的坐标（2）求折痕cm所在直线的解析式（3）作bgab交cm于点g，若抛物线过点g，求抛物线的解析式，交判断以原点o为圆心，og为半径的圆与抛物线除交点g外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标 5如图2-4-26，在rtabc中，acb=900，以斜边ab所在直线为轴，以斜边ab上的高所在的直线为轴，建立直角坐标系，若，且线段oa、ob的长是关于的一元二次方程的两根（1）求点c的坐标（2）以斜边ab为直径作圆与轴交于另一点e，求过a、b、e三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图（3）在抛物线的解析式上是否存在点p，使abp和abc全等？若相聚在，求出符合条件的p点的坐标；若不存在，请说明理由【提高训练16答案】1（1），抛物线与轴必有两个不同的交点（2）或2（1）（2）3（1）（2）4（1）b（8，0）；（2） （3）抛物线方程为除了交点g外，另有交点为点g关于轴的对称点，其坐标为（8，）5（1）c（0，2）（2）（3）存在，其坐标为（0，2）和（3，-2）（）几何型综合题【简要分析】几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类，一般以相似为中心，以圆为重点，还常与代数综合它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目值得一提的是，在近两年各地的中考试题，几何综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何型综合题命题的新趋势【典型考题例析】例1：如图2-4-27，四边形abcd是正方形，ecf是等腰直角三角形，其中ce=cf，g是cd与ef的交点（1）求证：bcfdce（2）若bc=5，cf=3，bfc=900，求dg：gc的值例2：已知如图2-4-28，be是o的走私过圆上一点作o的切线交eb的延长线于p过e点作edap交o于d，连结db并延长交pa于c，连结ab、ad（1）求证：（2）若pa=10，pb=5，求ab和cd的长例2：如图2-4-29，和相交于a、b两点，圆心在上，连心线与交于点c、d，与交于点e，与ab交于点h，连结ae（1）求证：ae为的切线（2）若的半径r=1，的半径，求公共弦ab的长（3）取hb的中点f，连结f，并延长与相交于点g，连结eg，求eg的长 例4 如图2-4-30，a为o的弦ef上的一点，ob是和这条弦垂直的半径，垂足为h,ba的延长线交o于点c，过点c作o的切线与ef的延长线交于点d （1）求证：da=dc （2）当df：ef=1：8且df=时，求的值 （3）将图2-4-30中的ef所在的直线往上平移到o外，如图2-4-31，使ef与ob的延长线交o于点c，过点c作o的切线交ef于点d试猜想da=dc是否仍然成立，并证明你的结论 【提高训练17】1如图2-4-32，已知在abc中，ab=ac，d、e分别是ab和bc上的点，连结de并延长与ac的延长线相交于点f若de=ef，求证：bd=cf 2点o是abc所在平面内一动点，连结ob、oc，并将ab、ob、oc、ac的中点d、e、f、g依次连结，如果defg能构成四边形（1）如图2-4-33，当o点在abc内时，求证四边形defg是平行四边形（2）当点o移动到abc外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由（3）若四边形defg为矩形，o点所在位置应满足什么条件？试说明理由 3如图2-4-35，等腰梯形abcd中，adbc，dbc=450翻折梯形abcd，使点b重合于点d，折痕分别交边ab、bc于点f、e若ad=2，bc=8，求：（1）be的长（2）cde的正切值 4如图2-4-35，四边形abcd内接于o，已知直径ad=2，abc=1200，acb=450，连结ob交ac于点e（1）求ac的长（2）求ce：ae的值（3）在cb的延长上取一点p，使pb=2bc，试判断直线pa和o的位置关系，并加以证明你的结论5如图2-4-36，已知ab是o的直径，bc、cd分别是o的切线，切点分别为b、d，e是ba和cd的延长线的交点（1）猜想ad与oc的位置关系，并另以证明（2）设的值为s，o的半径为r，试探究s与r的关系（3）当r=2，时，求ad和oc的长 【提高训练17答案】1过d作dgac交bc于g，证明dgefce 2（1）证明dgef即可 （2）结论仍然成立，证明略 （3）o点应在过a点且垂直于bc的直线上（a点除外），说理略 3（1）be=5 （2） 4（1） （2） （3），pb=2bc，ce：ae=cb：pbbeapaoappa为o的切线 5（1）adoc，证明略 （2）连结bd，在abd和ocb中，ab是直径，adb=obc=900又ocb=bad，rtabdrtocb， （3），（）动态几何综合题【简要分析】函数是中学数学的一个重要概念加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”以“不变”应“万变”同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件【典型考题例析】例1：如图2-4-37，在直角坐标系中,o是原点,a、b、c三点的坐标分别为a（18，0）、b（18，6）、c（8，6），四边形oabc是梯形点p、q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点p沿oa向终点a运动，速度为每秒1个单位，点q沿oc、cb向终点b运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动（1）求出直线oc的解析式（2）设从出发起运动了秒，如果点q的速度为每秒2个单位，试写出点q的坐标，并写出此时的取值范围（3）设从出发起运动了秒，当p、q两点运动的路程之和恰好等于梯形oabc的周长的一半时，直线pq能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出的值；如不可能，请说明理由例2： 如图2-5-40，在rtpmn中，p=900，pm=pn，mn=8，矩形abcd的长和宽分别为8和2，c点和m点重合，bc和mn在一条直线上令rtpmn不动，矩形abcd沿mn所在直线向右以每秒1的速度移动（图2-4-41