1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

1993年试题(理工农医类) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为【 】【 】(A)45(B)60(C)90(D)120【 】(A)1(B)-1(C)i(D)-i【 】(5)直线bx+ay=ab(a0,bb,则【 】(11)已知集合E=cossin,02,F=tgsin,那么EF为区间【 】(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆【 】(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥【 】(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是【 】(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项【 】(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么【 】(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种【 】(18)已知异面直线a与b所成的角为50,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30的直线有且仅有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条【 】二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为 m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共 种(用数字作答).(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.()判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;()若A1A=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求顶点到直线l的距离.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根,.证明:()如果2,2,那么24+b且b4;()如果24+b且b4,那么2,2. 1993年试题(理工农医类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)C(2)B(3)C(4)D(5)C(6)B(7)B(8)A(9)A(10)D(11)A(12)C(13)D(14)A(15)B(16)B(17)B(18)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.(19)2(20)17.3(21)4186三、解答题.(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.解:()lA1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1平面A1BC1,直线l=平面A1BC1平面ABC.根据两平面平行的性质定理有lA1C1.()解法一:过点A1作A1El于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A平面ABC. 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AEl.由棱柱的定义知A1C1AC,又lA1C1, lAC.作BDAC于D,则BD是RtABC斜边AC上的高,且BD=AE,在RtA1AE中, A1A=1,A1AE=90,解法二:同解法一得lAC.由平行直线的性质定理知CAB=ABE,从而有RtABCRtBEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一.(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.(c,0)和(x0,y0). tg=tg(-N)=2, 由题设知解法二:(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.证法一:依题设,二次方程有两个实根,所以判别式=a2-4b0.平方得a2-4b16-8a+a2,a2-4b16+8a+a2,由此得-4(4+b)8a4(4+b),2a4+b.()2a4+b,b0;且=a2-4ba2-4(2a-4)=a28a+16=(4a)2,又0,-22,得2,2.证法二:()根据韦达定理b=4.因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,2,0,即4+2a+b0,2a-(4+b);4-2a+b0,2a4+b.2a4+b.()由2a0即22+2a+b0,f(2)0.及4-2a+b0即(-2)2+(-2)a+b0,f(-2)0.由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间