2015-2016学年高中数学 2.1.1合情推理课后习题 新人教a版选修2-2

2.1.1合情推理课时演练促提升A组1.已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,则数列的第k项是()A.ak+ak+1+a2kB.ak-1+ak+a2k-1C.ak-1+ak+a2kD.ak-1+ak+a2k-2解析:利用归纳推理可知,第k项中第一个数为ak-1,且第k项中有k项,且次数连续,故第k项为ak-1+ak+a2k-2.故选D.答案:D2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色()A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大解析:由图,知三白二黑周期性排列,36=57+1,故第36颗珠子的颜色为白色.答案:A3.已知bn为等比数列,b5=2,且b1b2b3b9=29.若an为等差数列,a5=2,则an的类似结论为()A.a1a2a3a9=29B.a1+a2+a9=29C.a1a2a9=29D.a1+a2+a9=29解析:等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积),得a1+a2+a9=29.答案:D4.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,则这个数列的一个通项公式为()A.an=3n-1B.an=3nC.an=3n-2nD.an=3n-1+2n-3解析:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,猜想an=3n-1.答案:A5.如图所示,n个连续自然数按规律排列如下:根据规律,从2 004到2 006的箭头方向依次为()A.B.C.D.解析:观察总结规律为:以4个数为一个周期,箭头方向重复出现.因此,2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的.故选C.答案:C6.设an是首项为1的正数项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(nN*),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为.解析:由首项为1,得a1=1;当n=1时,由2-1+a2=0,得a2=;当n=2时,由3-2a3=0,即6+a3-1=0,解得a3=;归纳猜想该数列的通项公式为an=(nN*).答案:an=(nN*)7.在平面中,ABC的ACB的平分线CE分ABC面积所成的比,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E,则类比的结论为.解析:平面中的面积类比到空间为体积,故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积,故类比成.故有.答案:8.已知sin230+sin290+sin2150=,sin25+sin265+sin2125=,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.解:通过观察可得一般性的命题为sin2(-60)+sin2+sin2(+60)=.证明如下:左边=cos(2-120)+cos 2+cos(2+120)=(cos 2cos 120+sin 2sin 120+cos 2+cos 2cos 120-sin 2sin 120)=右边,所以该一般性的命题成立.9.在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为,则cos2+cos2=1,在立体几何中,通过类比,给出猜想并证明.解:如图,在矩形ABCD中,cos2+cos2=1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为,则cos2+cos2+cos2=1.证明如下:如图,cos2+cos2+cos2=1.B组1.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)解析:由可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,故A*D是(2),A*C是(4).答案:C2.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,则72 011的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49解析:由75=16 807,76=117 649,77=823 543,观察发现后两位数字呈周期变化,且周期为4,又2 011=4502+3,故72 011的末两位数字是43.答案:B3.设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r=()A.B.C.D.解析:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体S-ABC=(S1+S2+S3+S4)R,故R=.答案:C4.设函数f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.解析:根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.答案:5.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想数列an的通项公式.解:(1)当n=1时,a1=1,由an+1=2an+1,得a2=3,a3=7,a4=15,a5=31.(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,可归纳猜想出an=2n-1(nN*).6.设nN*且sin x+cos x=-1,试猜想sinnx+cosnx的值.解:当n=1时,sin x+cos x=-1.当n=2时,有sin2x+cos2x=1.当n=3时,有sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(sin2x+cos2x-sin xcos x),而sin x+cos x=-1,1+2sin xcos x=1,sin xcos x=0.sin3x+cos3x=-1.当n=4时,有sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1.由以上可以猜想,当nN*时,sinnx+cosnx=(-1)n.7.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1给出具有类似特征的性质,并加以证明.解:类似的性质为:若M,N是双曲线=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜