4.1　圆的方程2

圆的方程一、知识点1、圆的标准方程2、圆的一般方程3、圆的参数方程4、根据恰当的条件写出圆的方程5、由圆的方程写出圆的半径和圆心6、由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系7、由圆的方程讨论两个圆的位置关系二、能力点1、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程2、能根据恰当的条件写出圆的方程3、会由圆的方程写出圆的半径和圆心4、会由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程5、会由圆的方程讨论两个圆的位置关系6、进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力7、培养学生设参数、消参数解决问题的能力三、学法指导1、求圆的方程可大致分为五种不同情形给出圆的半径，隐含给出圆的圆心给出圆的圆心，隐含给出圆的半径给出圆经过两个定点及圆心通过某条已知直线给定圆上三点给出圆上一定点，一条圆的切线方程及圆心所在直线方程2、直线与圆的位置关系的判断方程观点：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式与0的大小来判别：0时，直线与圆相交；0时，直线与圆相切；0时，直线与圆相离。几何法(算出圆心到直线的距离d，然后比较d与半径R的关系)：当dR时直线与圆相交；dR时直线与圆相切；dR时直线与圆相离。3、两圆的位置关系用几何法较好，设两圆的圆心的距离为d，两圆的半径分别为R1、R2，则：dR1R2时两圆相离；dR1R2时两圆外切；d|R1R2|时两圆内切；R1R2dR1R2时两圆相交；dR1R2两圆内含。4、圆的参数方程是表示圆心为原点，半径为R的圆，由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的，用参数式求圆上的动点与某定点的距离，求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解，这样运算简洁，计算方便。四、重点与难点1、重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用2、难点：直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究五、课时安排三课时第一课时圆的标准方程教学目标1掌握圆的标准方程的形式特点；2能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；3能从圆的标准方程求出它的圆心和半径. 教学重点圆的标准方程教学难点根据条件建立圆的标准方程教学方法学导式教学过程设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径.按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.1圆的标准方程： (xa)2(yb)2r2其中圆心坐标为（a,b），半径为r推导：如图732，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为把式两边平方，得(xa)2(yb)2r2当圆心在原点，这时圆的方程是：x2y2r2小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。课堂练习：1、P77练习1写出下列各圆的方程圆心在原点，半径是3；圆心在点C(3,4)，半径是5；圆心在点C(8,3),经过点P(5,1)。2、说出下列圆的圆心、半径(x2)2(y3)225(x2)2(y1)236x2y243、判断下列各点与圆(x1)2(y1)24的位置关系：A(1,1)；B(0,1)；C(3,1)。小结：点P(x0,y0)与(xa)2(yb)2r2的位置关系是(x0a)2(y0b)2r2等价于点P在圆上；(x0a)2(y0b)2r2等价于点P在圆外；(x0a)2(y0b)2r2等价于点P在圆内。2例题讲解：例1 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x4y7=0相切的圆的方程.回忆初中直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则dr等价于直线与圆相离；dr等价于直线与圆相切；dr等价于直线与圆相交。从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式与0的大小来判别：0等价于直线与圆相交；0等价于直线与圆相切；0等价于直线与圆相离。解：因为圆C和直线3x4y7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识例2 已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是.经过点M的切线方程是：整理得：因为点M（x0，,y0）在圆上，所以所求切线方程为：当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.猜测：已知圆的方程是(xa)2+(yb)2=r2，则经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程是(xa) (x0a)+(yb) (y0b)=r2.说明：例2结论要求学生熟记.，一题多解例3 图734是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.解：建立直角坐标系如图734所示.圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(yb)2=r2因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组. 解得b=10.5, r2=14.52所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P的横坐标x=2代入圆方程得答：支柱A2P2的长度约为.说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.课堂练习课本P77 练习1，2，3，4思考题：1、圆x2y21上的点到直线3x4y250的最小距离是_。52直线3x4y+17=0被(x2)2(y2)225所截得的弦长是_.8归纳总结1数学思想：数形结合，2数学方法：解析法，图形法。通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。作业习题7.7 1，2，3，4第二课时圆的一般方程教学目标1掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；2掌握二元二次方程表示圆的充要条件；3进一步熟悉并掌握待定系数法.教学重点圆的一般方程应用教学难点待定系数法教学过程一、设置情境：1、求下列各圆的标准方程圆心在直线yx上，且过两点(2,0),(0,4)；圆心在直线2xy0上，且与直线xy10相切于点(2，1)；圆心在直线5x3y8上，且与坐标轴相切。(x3)2(y3)210；(x1)2(y2)22；(x4)2(y4)2162、已知圆x2y225，求：过点A(4，3)的切线方程；4x3y250过点B(5，2)的切线方程。21x20y1450或x52、圆的标准方程及其应用回顾：(xa)2(yb)2r2 其中圆心坐标为（a,b），半径为r变形圆的标准方程 x2y22ax2bya2b2r20由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0反过来，我们研究形如的方程的曲线是不是圆。将的左边配方，整理得当D2+E24F0时，比较方程和圆的标准方程，可以看出方程表示以(D/2,E/2)为圆心，半径为的圆；当D2+E24F0时，方程只有实数解xD/2,yE/2，所以表示一个点(D/2,E/2)；当D2+E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。二、解决问题1、圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2+E24F0)，其中圆心(D/2,E/2)，半径为。2、二元二次方程表示圆的充要条件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的系数比较， （1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C0；（2）没有xy项，即B=0；（3）D2+E24AF0.练习：1、下列方程各表示什么图形？x2 + y2 = 0x2 + y2 2x + 4y 6 = 0x2 + y2 + 2axb2 = 02、求下列各圆的圆心与半径x2 + y2 6y = 0x2 + y2 + 2by = 0x2 + y2 4x + 6y 12= 0三、反思应用例1 求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得 解得于是所求圆方程为：x2+y28x+6y=0化成标准方程为：（x4）2+y(3)2=52所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，3）说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， 将式两边平方，得化简得x2+y2+2x3=0 化为标准形式得：(x+1)2+y2 = 4所以方程表示的曲线是以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图735所示.例3求过原点及点A(1,1)且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。解：设所求圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则又圆被x轴上截得的线段长为3，即|D|3D3，当D3时，E5，F0；当D3时，E1，F0故所求的圆的方程为：x2 + y2 + 3x 5y = 0或x2 + y2 3x y = 0课堂小结圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程.课后作业习题7.7 5，6，7，8第三课时圆的方程教学目标进一步掌握圆的标准方程与一般方程能根据条件选择适当的形式求出圆的方程进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力，培养学生对数学知识的理解能力、运用能力、判断能力。教学过程知识掌握A组：1、点M在圆(x5)2(y3)29上，则点M到直线3x4y20的最短距离为（）A、9B、8C、5D、22、由点M(1,4)向圆(x2)2(y3)21所引的切线的长是（）A、3D、53、过点M(2,3)且与圆x2y24相切的直线方程是_.4、若直线axby1与圆x2y21相交，则点M(a,b)与圆的位置关系是_.5、求与y轴相切，圆心在直线x3y0上且截直线yx所得弦长为的圆的方程。答案：1、D；2、A；3、x2和5x12y200；4、圆外；5、设圆的方程为(xa)2(yb)2r2圆心在直线x3y0上,a3b圆与y轴相切，r|a|3b|圆心(a,b)到直线yx的距离，即d22b2 ,又圆截直线yx所得弦长为9b22b27,由解得：a=3,b=1,r=3或a=3,b=1,r=3故所求圆的方程是(x3)2(y1)29或(x1)2(y3)29B组：1、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是（）A、k8/3 B、k8/3 C、1k4 D、k42、两圆x2+y2=4与 x2+y2+4x4y+4=0关于直线l对称，则l的方程是（）A、xy0B、xy20C、xy20D、xy203、点A(3,5)是圆x2y24x8y800的一条弦的中点，则这条弦所在直线方程是_.4、直线l过点P(3,0)，且被圆x2y28x2y120截得的弦最短，则直线l方程是_.5、求经过两圆x2+y2+6x40与 x2+y2+6y28=0的交点且圆心在直线xy40的圆的方程。答案：1、D；2、D；3、xy20；4、xy30；5、设过两圆交点的圆为：x2+y2+6x(x2+y2+6y28)=0则其圆心为，代入xy40得解得：7，故所求圆的方程是x2y2x7y320能力提高例1已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490，求t为何值时，方程表示圆？当方程表示圆时，t为何值时，圆的面积最大？并求此时的圆的面积。分析：D2+E24F4(t3)24(14t2)24(16t49)28t224t40，解之得：1/7t1；由于Sr2，当r2最大时，S最大又r2(D2+E24F)/47t26t17(t3/7)216/7当t3/7时，r2有最大值16/7，此时Smaxr216/7。例2如果直线l将圆x2y22x4y0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（）A、0,2B、0,1C、0，1/2D、（0，1/2分析：圆x2y22x4y0的圆心为C（1,2），由l将圆x2y22x4y0平分知l过点C，结合图形知：0k2.课堂练习1、圆x2y29与圆x2y26x8y210的公切线的条数。分析：两个圆的位置关系是外切，故公切线的条数为32已知实数x，y满足x2y22x4y200，求xy；y/x；x2y2的取值范围。分析： 由x2y22x4y200得(x1)2(y2)225，知圆心C(1,2)，半径r5设txy，则所求转化直线l：yxt与圆C：(x1)2(y2)225有交点，求t的取值范围从而有：，解之得：，即设，则所求转化圆C：(x1)2(y2)225上任一点P(x,y)与原点连线的斜率的取值范围。从而有：，解之得：，即设，则所求转化圆C：(x1)2(y2)225上任一点P(x,y)到原点的距离平方的取值范围。归纳总结数学思想：数形结合，等价转化数学方法：配方法、待定系数法、交轨法、向量法知识点：圆的标准方程、一般方程、直线与圆的位置关系作业：创新作业3第四课时圆的参数方程教学目标1了解参数方程的概念；2理解圆的参数方程中的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；3会把圆的参数方程与普通方程进行互化.教学重点圆的参数方程教学难点圆的参数方程的理解和应用.设置情境：1圆的标准方程与一般方程及其应用的回顾.2对圆的标准方程进行联想变形得圆的参数方程. 1参数方程与普通方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即.并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.2圆的参数方程：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图736）设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，P0OP=，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得 即圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程： （为参数）推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量=（a,b）平移得到.即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使因为，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）所以，由于点P1（x1,y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数，使 所以.3圆的参数方程化普通方程：方程组 由得 xa=rcos 由得 yb=rsin 2+2得：（xa）2+(yb)2=r2即圆的普通方程。课堂练习：1、已知圆O的参数方程是：（02）如果圆上点P所对应的参数5/3，则点P的坐标是_；如果点,则点Q所对应的参数_.2、把圆的参数方程化为普