第六篇 第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1在等比数列an中，a18，a4a3a5，则a7()A. B. C. D.解析在等比数列an中aa3a5，又a4a3a5，所以a41，故q，所以a7.答案B2已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an()A4n B4nC4n1 D4n1解析(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，an4n1.答案C3(2013西安模拟)已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q()A2 B. C2或 D3解析2(anan2)5an1，2an2anq25anq，化简得，2q25q20，由题意知，q1.q2.答案A4(2013江西盟校二模)在正项等比数列an中，Sn是其前n项和若a11，a2a68，则S8()A8 B15(1)C15(1) D15(1)解析a2a6a8，aq68，q，S815(1)答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013广州综合测试)在等比数列an中，a11，公比q2，若an64，则n的值为_解析因为ana1qn1且a11，q2，所以642612n1，所以n7.答案76(2012辽宁)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.答案2n三、解答题(共25分)7(12分)(2013上饶调研)已知数列an满足a11，an12an1(nN*)(1)求证：数列an1是等比数列，并写出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足4b114b214b314bn1(an1)n，求数列bn的前n项和Sn.(1)证明an12an1，an112(an1)，又a11，a1120，an10，2，数列an1是首项为2，公比为2的等比数列an12n，可得an2n1.(2)解4b114b214b314bn1(an1)n，4b1b2b3bnn2n2，2(b1b2b3bn)2nn2，即2(b1b2b3bn)n22n，Snb1b2b3bnn2n.8(13分)已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比是以为首项，公比为的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2012全国)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn ()A2n1 B.n1C.n1 D.解析当n1时，a11.当n2时，anSnSn12an12an，解得3an2an1，.又S12a2，a2，an从第二项起是以为公比的等比数列，anSnn1.答案B2(2013威海模拟)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为 ()A. B. C1 D解析因为a3a4a53a，所以a43.log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，所以sin(log3a1log3a2log3a7).答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)22，a3f(3)f(2)f(1)f(1)33，anf(n)f(1)nn，Sn23n1n，nN*，Sn0，则Sn一定有最大值其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析对于，注意到an1and是一个非零常数，因此数列是等比数列，正确对于，S1313，因此正确对于，注意到Snna1dnan(n1)ddnand，因此正确对于，Snna1d，d0时，Sn不存在最大值，因此不正确综上所述，其中正确命题的序号是.答案三、解答题(共25分)5(12分)(2011江西)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解(1)设数列an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以数列an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设数列an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.6(13分)(2012合肥模拟)数列an的前n项和记为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上，nN*.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解(1)点(Sn，an1)在直线y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n1，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，an14an(n1，nN*)，a23S113a113t1，当t1时，a24a1，数列an是等比数列(2)在(