课时训练12 抛物线的简单几何性质

课时训练12抛物线的简单几何性质一、综合题1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是().A.x2=3yB.y2=6xC.x2=12yD.x2=6y答案:C来源:解析:依题意知抛物线方程为x2=2py(p0)的形式,又=3,p=6,2p=12,故方程为x2=12y.2.经过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值是().来源:A.4B.-4C.p2D.-p2答案:B解析:采用特例法,当直线与x轴垂直时,易得A,B,=-4.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F点作直线交抛物线C于A,B两点,则AOB的最小面积是().A.B.2C.4D.1答案:B解析:设直线AB的倾斜角为,由弦长公式得|AB|=,又原点O到直线AB的距离d=sin ,SAOB=sin .当sin=1时,(SAOB)min=2,故选B.4.抛物线y=x2上与直线2x-y=4距离最近的点的坐标是().A.B.(1,1)C.D.(2,4)答案:B解析:设抛物线上的点(x0,y0),则它到直线2x-y=4的距离d=,所以当x0=1,y0=1时,d取最小值.5.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,灯口直径为60cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是().A.11.25cmB.5.625cmC.20cmD.10cm答案:B解析:如图建立直角坐标系,则A(40,30).设抛物线方程为y2=2px(p0),将点(40,30)代入得p=,所以=5.625.6.已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是().A.x=pB.x=3pC.x=pD.x=p答案:D解析:由|OA|=|OB|,设点A,B的坐标分别为A(x0,y0),B(x0,-y0),满足kFAkOB=-1,即=-1.x0.又=2px0,x0=p.来源:7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).若x1+x2=6,则|AB|=.答案:8解析:如图,作AAl,BBl,垂足分别为A,B.由抛物线定义知|AF|=|AA|=x1+,|BF|=|BB|=x2+.|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=6+2=8.8.已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若,则p=.答案:2解析:过B作准线的垂线,垂足为B1,设l与x轴交于M1,则易得MM1l.由AM=MB得BB1=2MM1=AM=BM,所以点M恰为抛物线的焦点,即=1,p=2.9.过抛物线x2=4y上不同两点A,B分别作抛物线的切线相交于P点,=0.(1)求点P的轨迹方程;(2)已知点F(0,1),是否存在实数,使得+()2=0?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解:(1)直线PA,PB分别与抛物线相切,且=0,直线PA,PB的斜率均存在且不为0,且PAPB.设直线PA的方程是y=kx+m(k,mR,k0),由得x2-4kx-4m=0.=16k2+16m=0,即m=-k2,即直线PA的方程是y=kx-k2.同理可得直线PB的方程是y=-x-.由故点P的轨迹方程是y=-1.(2)由(1)得A(2k,k2),B,P,=(2k,k2-1),=-4+(k2-1)=-2-,()2=+4=2+.故存在=1,使得+()2=0.10.已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点,过M点作直线与抛物线交于A,B两点,若AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0).(1)求x0的取值范围;(2)若ABE是等边三角形,求x0的值.来源:解:(1)设过M点的直线l:y=k(x+1)(k0),将l的方程代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,所以=4(k2-2)2-4k40.解得-1k3,即x03.来源: