2016高中数学人教a必修1第一章1.3.1　单调性与最大(小)值

1.3.1单调性与最大(小)值1函数的单调性(1)增函数和减函数名称来源:定义几何意义图形表示增函数对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，区间D称为f(x)的单调递增区间f(x)的图象在区间D上是“上升”的减函数对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间f(x)的图象在区间D上是“下降”的(2)单调性如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性区间D叫做函数yf(x)的单调区间谈重点 对函数单调性的理解(1)函数在区间D上的单调性是针对定义域内某个区间D而言的这个区间可以是整个定义域：如yx在整个定义域(，)上是单调递增的，yx在整个定义域(，)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如yx22x1在整个定义域(，)上不具有单调性，但是在(，1上是减函数，在(1，)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质(2)x1，x2的三个特征一定要予以重视函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可(3)有的函数无单调性如函数y它的定义域是(，)，但无单调性可言【例11】若函数f(x)的定义域为(0，)且满足f(1)f(2)f(3)，则函数f(x)在(0，)上为()A增函数B减函数C先增后减D不能确定解析：由于函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可因此本题选D答案：D【例12】函数的单调递减区间是()A0，)B(，0)C(，0)和(0，)D(，0)(0，)解析：错解函数在(，0)和(0，)上单调递减，故其单调递减区间为(，0)(0，)错解原因函数在(，0)上是减函数，在(0，)上也是减函数，但不能说函数在(，0)(0，)上是减函数因为当x11，x21时有f(x1)1f(x2)1，不满足减函数的定义正解函数在(，0)和(0，)上单调递减，故其单调减区间为(，0)和(0，)答案：C谈重点 写函数的单调区间易忽略的问题(1)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能简单地认为函数f(x)在AB上是增(或减)函数，即单调区间不能并写；(2)当函数有两个或两个以上单调性相同的区间时，这些区间要用“，”或“和”连接【例13】已知函数yf(x)的图象如图所示试写出函数yf(x)的单调区间解：观察图象可知，函数yf(x)的图象在区间2,1和4,6上均是上升的，在区间(1,4)上是下降的，所以函数yf(x)的单调递增区间是2,1，4,6，单调递减区间是(1,4)谈重点 由图象确定函数的单调区间易忽略的问题(1)单调区间必须是定义域的子集；(2)单调区间应用“，”或“和”连接，不能用“”连接；(3)本题的单调增区间也可写为(2,1)，(4,6)，单调减区间也可写为，因为单独的一个点不影响函数的单调性，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点2函数的最值(1)最大值和最小值定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M(f(x)M)；存在x0I，使得f(x0)M那么，我们称M是函数yf(x)的最大(小)值几何意义：函数yf(x)的最大(小)值是其图象上最高(低)点的纵坐标(2)最值函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数yf(x)的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标释疑点 对函数的最值的理解(1)最大值(或最小值)必须是一个函数值，是值域中的一个元素如函数f(x)x2(xR)的最大值是0，有f(0)0(2)使函数f(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个如函数f(x)x2，x1,1的最大值是1，此时有f(1)f(1)1，即取得最大值的自变量有两个(3)不等式f(x)M或f(x)M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值；(4)不等号“”或“”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值【例21】函数yx1在区间3,6上的最大值和最小值分别是()A6,3 B5,2C9,3 D7,4解析：函数yx1在区间3,6上是增函数，则当3x6时，f(3)f(x)f(6)，即2y5，所以最大值和最小值分别是5,2答案：B【例22】函数yf(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为_、_解析：由函数最值的定义，结合函数的图象可知，f(x)的最大值为，最小值为答案：【例23】下图为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值解：观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(1.5，2)，所以当x3时，函数yf(x)取得最大值ymax3；当x1.5时，取得最小值ymin23单调性的证明与判断(1)单调性的证明函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；第二步：作差，即作差f(x1)f(x2)；第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式利用单调性定义的等价形式证明：来源:设x1，x2m，n，x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在区间m，n上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在区间m，n上是减函数(2)单调性的判断判断函数的单调性常用的方法有：定义法：即“设元作差变形判号定论”；图象法：先作出函数图象，利用图象的直观性判断函数的单调性；利用已知函数的单调性及运算来判断函数的单调性，具体方法如下：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上：1f(x)与f(x)C具有相同的单调性；2f(x)与af(x)，当a0时单调性相同；当a0时，单调性相反；3当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数；4当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)g(x)当两者都恒大于0时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数5当f(x)恒不为零时，f(x)与具有相反的单调性6当f(x)0时，f(x)与具有相同的单调性注意：(1)判断单调性不等同于证明单调性(2)f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)不一定是增(减)函数如f(x)x，g(x)2x，则f(x)g(x)2x2在R上不是增(减)函数同理，也不一定是增(减)函数【例31】判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性解：作函数f(x)1，x(0，)的图象由图象可知函数f(x)1在(0，)上为增函数证明：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x1x2，(设元)则f(x1)f(x2)(作差)(变形)因此，f(x)1在(0，)上是增函数(定论)谈重点 定义法证明函数单调性的四点注意(1)“任意取x1，x2”的“任意”二字绝对不能去掉，更不可随意用两个特殊值代替；(2)x1，x2有大小之分，通常规定x1x2；(3)x1，x2同属于一个单调区间；(4)最重要的步骤是将f(x1)f(x2)变形为能够与0比较大小的形式，常把它转化为几个因式的积或商的形式或者平方和的形式，采用的方法多为分解因式、配方、有理化等，要求化出来的形式能够直接与0比较，不能看不出正负就下结论【例32】利用函数单调性的定义，证明函数f(x)在区间0，)上是增函数证明：错证任取x1，x20，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)0x1x2，0f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在0，)上是增函数错证原因由0x1x2，直接得到是错误的，因为这个结论的得出恰恰是利用了函数f(x)的单调性，而这一点是需要证明的正确证明任取x1，x20，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)0x1x2，x1x20，0f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在0，)上是增函数【例33】下列函数中，在区间(，0)上单调递增，且在区间(0，)上单调递减的函数是()A BCyx2 Dyx3解析：对于A，令yf(x)，任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数在区间(0，)上单调递减同理可得函数在区间(，0)上单调递增对于B，易知函数在区间(，0)和(0，)上都单调递减对于C，易知函数yx2在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增对于D，令yf(x)x3，任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)x13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数yx3在R上单调递增答案：A4函数的单调区间的求法(1)基本初等函数的单调区间以上单调函数的单调区间可作为结论记住，可提高解题速度(2)用图象法求函数的单调区间利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间(3)利用单调性定义求函数的单调区间用单调性定义求函数单调区间，具体做法是：明确函数的定义域；在定义域内任取两个自变量x1，x2；作差f(x1)f(x2)并将差变形；根据上一步差的变形结果，确定自变量x1和x2在定义域内一个子集E上差的符号，则该区间E是函数f(x)的一个单调区间；写出函数的单调区间【例41】求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|；(3)f(x)x22|x|3解：(1)f(x)3|x|图象如图所示函数f(x)的单调递减区间为(，0，单调递增区间为0，)(2)令g(x)x22x3(x1)24先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数f(x)的递增区间是3，1，1，)；函数f(x)的递减区间是(，3，1,1(3)f(x)x22|x|3图象如图所示由图象可知，函数f(x)的单调区间为(，1，(1,0，(0,1，(1，)，其中单调减区间为(1,0和(1，)，单调增区间为(，1和(0,1【例42】求函数yx，x0的单调区间分析：函数的定义域是(0，)，在定义域中任取两值x1，x2，利用函数单调性的定义来确定单调区间解：设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，由于0x1x2，则x1x20，x1x20，当x1，x2(0,1时，有x1x210，此时f(x1)f(x2)，当x1，x2(1，)时，有x1x210，此时f(x1)f(x2)故函数yx的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1析规律 函数f(x)x(a0)的单调性函数f(x)x(a0)是一类非常重要的函数，在以后的学习中会经常遇到，其图象如图由图象可知其单调增区间为(，)，单调减区间为(，0)，(0，)记住它的图象，对我们以后的学习会有很大的帮助5复合函数单调性的判断(1)复合函数yf(g(x)的单调性：g(x)f(x)f(g(x)增来源:增增增减减减增减减减增复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内层函数g(x)与外层函数f(x)的单调性相同时yf(g(x)是增函数，单调性相反时yf(g(x)是减函数(2)判断复合函数单调性的步骤以复合函数yf(g(x)为例可按下列步骤操作：将复合函数分解成基本初等函数：yf(t)，tg(x)；分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则yf(g(x)为增函数；若为一增一减，则yf(g(x)为减函数_【例51】函数f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_解析：原函数可化为f(x)|x3|x3|其图象如图所示，由图可得(，3为函数f(x)的递减区间，3，)为函数f(x)的递增区间答案：3，)(，3【例52】已知函数f(x)82xx2，g(x)f(2x)，试求g(x)的单调区间解：令t2x，则f(t)82tt2；由t2x可知t是关于x的减函数由f(t)82tt2可知，当t1时，f(t)是增函数；当t1时，f(t)是减函数(1)令t2x1，即x1，此时内函数为减函数，外函数f(t)是增函数，故当x1时，g(x)为减函数(2)令t2x1，即x1，此时内函数为减函数，外函数f(t)为减函数，故当x1时，g(x)为增函数综上可得，g(x)的单调增区间为(，1，g(x)的单调减区间为1，)析规律 复合函数单调性的判断方法(1)利用“同增异减”判断；(2)复合函数的单调区间必须在定义域内并且要确定内层函数g(x)的值域，否则就无法确定f(g(x)的单调性特别是当f(g(x)的单调区间是由几个区间组成时6函数最值的求法(1)观察法对一些简单函数可直接观察求其最值例如，求y1在区间0,9上的最值解：由题目条件可知03，从而y11,4即当x0时，ymin1，当x9时，ymax4(2)用单调性求最值利用定义法判断出函数yf(x)的单调性；再利用其单调性求最值函数f(x)在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(b)，最小值是f(a)，如图a所示；函数yf(x)在区间a，b上是减函数，则函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(b)，如图b所示；归纳结论有时也用以下结论来确定函数的最值：如果函数f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)；如果函数f(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)(3)利用图象求最值利用图象求函数yf(x)最值的步骤：画出函数yf(x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值要注意：画函数的图象时，要尽量准确，如果条件允许可以借助于计算机有时由于所画图象不够准确，不能确定最高点或最低点的纵坐标，这时，可以利用函数的解析式将所有关键点的纵坐标计算出来，这些点的纵坐标中的最大值就是函数的最大值，这些点的纵坐标中的最小值就是函数的最小值【例61】求函数的值域解：由x0，且x10，得函数的定义域为1，)而函数y和在1，)上都是增函数，则也是增函数，当x1时，它取得最小值故的最小值为1，即它的值域为1，)点技巧 巧用“增函数增函数增函数”判断单调性若两个函数在公共区间上均为增函数，则它们的和函数也为增函数，当两个函数在公共区间上均为减函数，则它们的和函数也为减函数本题就是利用这个性质，判断函数的单调性【例62】已知函数，x3，2，求此函数的最大值和最小值分析：先判断函数的单调性，再利用函数的单调性求得最值解：(方法一)设3x1x22，则f(x1)f(x2)由于3x1x22，则x1x20，x110，x210所以f(x1)f(x2)所以函数在区间3，2上是增函数又因为f(2)4，f(3)3，所以函数的最大值是4，最小值是3(方法二)，而函数在(，0)上单调递增，所以函数在(，1)上单调递增，所以函数y2，即在(，1)上单调递增所以函数在区间3，2上单调递增所以当x2时，函数取得最大值4，当x3时，函数取得最小值3点技巧 分离常数法对于形如y(ac0)的函数，我们常用分离常数法解决其单调性或最值问题，具体方法如下：通过y将问题转化为函数y的单调性问题，进而转化为函数y的单调性问题，而y的单调性可利用反比例函数的单调性轻松得到【例63】求函数f(x)的最大值与最小值解：画出函数的图象，如图所示由图可知，函数的最大值是f(3)3，最小值是f(1)17二次函数在闭区间上的最值问题求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n上的最值问题一般分以下几种情况：(1)若对称轴在区间m，n内，则最小值为，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与距离较远的一个对应的函数值为最大值)(2)若对称轴xm，f(x)在区间m，n上是增函数，则最大值为f(n)，最小值为f(m)；(3)若对称轴xn，f(x)在区间m，n上是减函数，则最大值为f(m)，最小值为f(n)例如，已知函数yx2x1，求：(1)x1,2的值域；(2)x1,3的值域分析：本题考查二次函数在某个给定区间上的值域问题解题的关键是先配方再利用函数的单调性处理解：yx2x12，这个函数图象开口向上，对称轴为x(1)1,2，当x时，y有最小值又当x1时，y1；x2时，y5，y的最大值为5所求的函数值域为(2)1,3，且1，函数在区间1,3上单调递增当x1时，y取最小值1；当x3时，y取最大值11所求的函数值域为1,11【例71】求函数f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值与最小值分析：画图象分类讨论解：f(x)(xa)21a2，对称轴为xa(1)当a0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a；(2)当0a1时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a；(3)当1a2时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1；(4)当a2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1【例72】求函数yx2x1在区间a，a1上的值域解：函数yx2x1的对称轴为，开口方向向上当a1，即a时，区间a，a1在对称轴的左侧，函数yx2x1在区间a，a1上单调递减当xa1时，ymina23a1；当xa时，ymaxa2a1当a时，区间a，a1在对称轴的右侧，函数yx2x1在区间a，a1上单调递增当xa时，ymina2a1；当xa1时，ymaxa23a1当aa1，即a时，当x时，ymin；当aa，即1a时，当xa1时，ymaxa23a1；当aa1，即a1时，当xa时，ymaxa2a1综上可知，当a时，函数yx2x1在区间a，a1上的值域为a23a1，a2a1；当a1时，函数yx2x1在区间a，a1上的值域为；当1a时，函数yx2x1在区间a，a1上的值域为；当a时，函数yx2x1在区间a，a1上的值域为a2a1，a23a18利用函数的单调性求参数的取值范围根据函数的单调性求参数的取值范围有以下几种方法：(1)利用具体函数本身所具有的特性例如，二次函数的对称轴把二次函数分成两个单调区间，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的值或范围(2)利用图象先画出函数的图象，借助于函数的图象分析出参数的值，再用单调性的定义来证明，这样做起来方便快捷，不易出现错误(3)单调性的定义法设单调区间内x1x2，由f(x2)f(x1)0(或0)恒成立，求参数的范围其步骤是：第一步：在所给区间内任取两值x1，x2，且x1x2；第二步：作差f(x1)f(x2)，并将差变形为因式的积或商的形式；第三步：根据函数的单调性，确定差的符号；第四步：讨论当差的符号确定时，参数满足的条件【例81】已知函数f(x)x2mx1在区间1，)上是减函数，求m的取值范围分析：画出函数图象，根据对称轴与区间端点的关系求解解：根据题意画出函数的草图，由于二次函数f(x)在区间1，)上是减函数，则其对称轴在点(1,0)的左侧或过该点，所以有1，解得m2所以实数m的取值范围是(，2【例82】已知函数f(x)在区间(2，)上是减函数，求实数a的取值范围分析：由于函数f(x)的图象不能画出，则只能利用单调性的定义来解决在区间(2，)内任取两值x1，x2，作差f(x1)f(x2)，将差变形，转化为讨论当差的符号确定时实数a满足的条件解：设2x1x2，则f(x1)f(x2)，由于2x1x2，则x2x10又函数f(x)在区间(2，)上是减函数，则0，所以(x1a)(x2a)0所以或即或由于2x1x2，则仅有所以a2，即实数a的取值范围是2，)9求不等式恒成立问题中参数的取值范围不等式中的恒成立问题，通常转化为参数与函数最值的大小关系问题常见情况有：f(x)a恒成立f(x)maxa；f(x)a恒成立f(x)mina例如：设f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解：根据题意，ax22ax2在1，)内恒成立，即af(x)min恒成立下面研究f(x)x22ax2(xa)22a2在1，)上的最小值当a1时，f(x)minf(1)12a232a；当a1时，f(x)minf(a)2a2故f(x)min由af(x)min，得3a1【例9】已知函数f(x)，x1，)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求a的取值范围解法一：在区间1，)上，f(x)0恒成立，等价于x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，由yx22xa(x1)2a1递增，可知当x1时，ymin3a于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3解法二：在区间1，)上f(x)0恒成立等价于x22xa0恒成立，即ax22x恒成立又x1，)，ax22x恒成立，a应大于函数ux22x，x1，)的最大值ax22x(x1)21当x1时，u取得最大值3，a310利用单调性解不等式(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上(2)解决抽象不等式(即没有具体解析式的不等式)的方法：由单调性的下述性质可脱去符号“f”，从而解关于具体变量的不等式，即将函数值的大小关系问题转化为自变量的大小关系问题，同时应注意自变量的取值必须在同一单调区间内若yf(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1x2；当f(x1)f(x2)时，x1x2若yf(x)在给定区间上是减函数，则当f(x1)f(x2)时，x1x2；当f(x1)f(x2)时，x1x2来源:例如：若函数f(x)的定义域为R，且在(0，)上是减函数，则下列不等式成立的是()来源:Aff(a2a1)Bff(a2a1)Cff(a2a1)Dff(a2a1)解析：f(x)在(0，)上是减函数，且a2a120，f(a2a1)f答案：B注：解题过程中要体现出a2a10，0，即要求自变量在同一个单调区间内【例101】已知函数f(x)是定义在区间(0，)上的减函数，解不等式f(a1)f(4a1)解：函数的定义域为(0，)，有a10，4a10又函数f(x)在区间(0，)上是减函数，且f(a1)f(4a1)，a14a1解不等式组得0a故所求不等式的解集是【例102】已知函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，且f(x)f(y)，f(2)1，解不等式f(x)2分析：用特殊值将不等式右边的常数2转化为f(a)的形式，将左边的两个函数记号转化为一个，再由单调性转化为自变量的大小解：在f(x)f(y)中取x4，y2，可得f(2)f(4)f(2)于是f(4)2f(2)2因此不等式f(x)2可转化为不等式f(x(x3)f(4)函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，解得3x4不等式f(x)2的解集为11单调性与最值在实际生活中的应用函数的单调性在实际生活中的应用大多是最值问题，如用料最省、费用最低、利润最大等问题其解题步骤是：(1)审清题意，读懂题；(2)恰当设未知数，所设未知数的个数尽量少；(3)根据已知条件列出函