06 例说数学解题的思维过程

例说数学解题的思维过程陕西师范大学数学系 罗增儒在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注暴露概念的形成过程，暴露命题的发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动但是，这种暴露大多停留在可见事实的陈述上，内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步打通、结论初步得出时就停了下来本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去，先给出题目：两直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行1浮现数学表象通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形（几何型表象），与这个图形相伴随的是一个问题（代数型表象）：由数量关系去确定位置关系图1在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3个展开的起点（1）由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如两直线被第三条直线所截，有：1）同位角相等两直线平行；2）内错角相等两直线平行这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来（2）由条件12（数量关系）所唤起的问题有：1）由角的相等关系能得出什么？进而问：2）图1中有与1相等的角吗？3）图1中有与2相等的角吗？一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来（3）由结论ABCD（位置关系）所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件？题目提供了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供有没有？由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存（扩散）：1）同位角（内错角）相等，则两直线平行；进而问2）什么是同位角（内错角）？图1中有同位角（内错角）吗？有相等的同位角（内错角）吗？3）已知条件的相等角能导出“同位角（内错角）相等”吗？这是表象的一个有序深化过程2产生数学直感上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3条直线，8个角，8条射线，1条线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？（这相当于一道条件过剩、结论发散的开放题）当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系，因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角所以，我们的思考逐渐集中到：从图形中找同位角（或内错角），找相等的角，找相等的同位角（或内错角）这时，伴随着问题的需要，图1被分解出一系列的部分图形（图2中实线图），并凸现在我们的眼前：图2（1）有与1成同位角的角吗？图2-（1）出现，进而问，1与3会相等吗？（2）有与2成同位角的角吗？图2-（2）出现，进而问，2与4会相等吗？（3）与1（或2）成内错角关系的角，图1找不到（4）与1相等的角除2外，还有它的对顶角4（图2-（3）；与2相等的角除1外，还有它的对顶角3（图2-（4）于是，对图1的感知，出现了图3的右方图形图3我们认为，从图1的8个角中找出2的对顶角3（或1的对项角4），是解题的重大进展，它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用3展开数学想象对具体形象的感知和判别，使我们看到3与2成对项角（图2-（4）是相等的，而3又与1成同位角（图2-（1），这促使我们思考1与3会不会相等，也促使我们将已有的表象：12与23（或14），产生新的联结（有逻辑思维的推动），得13（或24或34），从而产生新的表象：ABCD于是，在数量关系12与位置关系ABCD之间，在空旷而缺少联系的画面上（见图1），添上了两个数量关系23，13：图4再将它们组成和谐的逻辑结构，便得出证明4给出逻辑证明证明1：证明2：证明3：这些证明是抽象思维的过程，表达得干净、简洁而严密而获得这些结果的过程却是历经“表象直感想象”的形象思维过程，在得出ABCD之前，四个角1、2、3、4之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题为了与简捷的逻辑证明相对照，我们将思考过程（证明1）图示如下：图55反思解题过程上述解题的过程，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究的目标我们推崇“解题分析”，是希望解题研究不要停留在这一阶段上，继续把上述解题活动（包括问题和解）作为研究对象，探究解题规律，学会怎样解题（基本任务），具体研究的方法是分析解题过程事实上，给出的证明也是一个思维过程，也需要我们去暴露，并且这种暴露比前一阶段的暴露有更高的层次、需要更强的自觉性，是培养思维深刻性与批判性的极好途径我们一再说过，解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还，而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一题多解、作出若干推广的常识层面上，则是一种损失与浪费，让我们对证明1的书写作出具体结构的分析（1）首先，我们将证明1分解为三个步骤：第1步：从图形中看出3与2成对顶角，并得出32，这是由位置关系推出数量关系的过程第2步：把另一已知条件用上，将两个等式12、23 结合起来，得出13，这是由数量关系推出新数量关系的过程第3步：从图形中看出13为同位角，其相等可得出ABCD，这是由数量关系推出位置关系的过程示意为：第1步位置关系数量关系位置关系新数量关系第2步第3步（2）其次，根据上面的整体分解，可将证明1的书写加以充实：图6（3）由于这个图形已经显示出，解题中用到了哪些知识（或方法），先用哪些后用哪些，哪个与哪个作了配合所以，只须将其再作充实（图7），便可更自觉、也更直观地看到，解题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合：图71）从理解题意中捕捉有用的信息包括从题目的叙述及题目的附图两方面去充分理解题意，从图7可见，这共有3条信息（a）从题目的文字叙述中获取“符号信息”12 （b）从题目的图形中获取“形象信息”1与3为同位角，2与3为对顶角， 2）从记忆储存中提取有关的信息这是一批被解题需要激活的知识，并随着解题的进展而扩散，从图7可见，这有3条信息（a）对顶角相等 （b）等于第三个量的两个量相等（传递性） （c）同位角相等，则两直线平行 3）把这两方面的信息（共6条）进行有效的组合，使之成为一个和谐的逻辑结构（共有3步推理）这样，通过分析解题过程我们看清了，这个题目在解决过程中的知识结构与逻辑关系，进一步还归纳出“什么叫解题”的一个可操作回答：从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆储存中提取有关的信息，并将这两组信息组成一个和谐的逻辑结构6展开动态想象也许我们一开始就感到图形表象有一种对称结构（对称美的召唤），它朦朦胧胧只是因为对称中心没有显化也许是在解题分析中，由于已证明了ABCD，所以居中平行线MN上每一点都是两平行线AB、CD的对称中心，而直线EF上每一点都是直线本身的对称中心，因而图1本身是中心对称图形于是，我们有这样的直感，图8中若AB与CD不平行，必然破坏对称性这是一种不充分的推理，体现了形象思维的特征，同时也揭示了证明的一个新方向图8设EF上的截点为P、Q，而O为线段PQ的中心（图8）想象会使我们看到，当图形绕点O旋转180时，射线PE会与射线QF重合，又由12知，射线PB会与射线QC重合，从而直线AB与直线CD换位，且射线OE与射线OF换位这一想象实际上已经完成了旧表象到新表象的改造，数量关系12（保证了旋转180后图形重合）已经转化为位置关系ABCD否则AB与CD在左