高二数学精品教案：1.2 1（选修2-2）

实验二 极限与导数【实验目的】1.了解函数极限、导数的基本概念。2.学习、掌握MATLAB软件有关求曲线、导数的命令。【实验内容】1.判断极限的存在性。2.验证极限。3.验证极限。4.求函数的单调区间及极值。【实验准备】1.极限导数的基本概念2.求极限、导数的MATLAB命令MATLAB主要用limit,diff分别求函数的极限与导数。来源:建立符号变量命令sym和syms调用格式: x=sym(x)， 建立符号变量x； syms x y z ， 建立多个符号变量x，y，z； matlab求导命令diff调用格式: diff(函数) ， 求的一阶导数； diff(函数， n) ， 求的n阶导数(n是具体整数)； diff(函数，变量名)， 求对的偏导数； diff(函数， 变量名，n) ，求对的n阶偏导数；matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式: jacobian(函数；函数； 函数， )给出矩阵: 【实验重点】1.极限的计算2.导数的计算【实验难点】1.导数的曲线表示【实验方法与步骤】一、观察与练习练习1 首先分别作出函数在区间等区间上的图形，观察图形在附近的形状。在区间绘图的MATLAB代码为x=(-1):0.0001:(-0.01); y=cos(1./x);plot(x,y)运行结果如图2.1。图2.1根据图形能否判断极限的存在性？当然，也可以用limit命令直接求极限，相应的MATLAB命令为clear;syms x; %说明x为符号变量limit(sin(1/x),x,0)结果为ans=1 .1,即极限值在-1，1之间，而如果极限存在则必唯一，故极限不存在。同样极限也不存在。练习2 首先分别作出函数在区间等区间上的图形，观察图形在点x=0附近的形状。在区间绘图的MATLAB代码为x=(-1):0.0001:(-0.01); y=sin(x)./x; plot(x,y)运行结果如图2.2。图2.2根据图形，能否判断极限的正确性？当然，也可以用limit命令直接求极限，相应的MATLAB命令为clear;syms x; limit(sin(x)/x),x,0)结果为ans=1。二、极限计算例2.1.观察数列当时的变化趋势.解:输入命令: n=1:100；xn=n./(n+1)得到该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，与1非常接近，画出的图形. stem(n，xn)或 for i=1:100; plot(n(i),xn(i),r) hold on end其中for end语句是循环语句,循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随的增大，点列与直线无限接近，因此可得结论: .对函数的极限概念，也可用上述方法理解. 例2.2.分析函数，当时的变化趋势. 解:画出函数在上的图形. x=-1:0.01:1；y=x.*sin(1./x)；plot(x，y)从图上看，随着的减小，振幅越来越小趋近于0，频率越来越高作无限次振荡.作出的图象. hold on；plot(x，x，x，-x) 例2.3.分析函数当时的变化趋势.解:输入命令: x=-1:0.01:1；y=sin(1./x)；plot(x，y)从图上看，当时，在-1和1之间无限次振荡，极限不存在.仔细观察该图象，发现图象的某些峰值不是和-，而我们知道正弦曲线的峰值是和-，这是由于自变量的数据点选取未必使取到和-的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果 例2.4.考察函数当时的变化趋势. 解:输入命令: x=linspace(-2*pi，2*pi，100)；y=sin(x)./x；plot(x，y)从图上看，在附近连续变化，其值与1无限接近，可见 . 例2.5.考察当时的变化趋势.解:输入命令: x=1:20:1000；y=(1+1./x).x；plot(x，y)从图上看，当时，函数值与某常数无限接近，我们知道，这个常数就是. 5求函数极限 例2.6.求. 解:输入命令: syms x；f=1/(x+1)-3/(x3+1)；limit(f，x，-1)得结果ans=-1.画出函数图形. ezplot(f)；hold on；plot(-1，-1，r.) 例2.7.求 解:输入命令: limit(tan(x)-sin(x)/x3)得结果:ans=1/2 例2.8.求 解:输入命令: limit(x+1)/(x-1)x，inf)得结果:ans=exp(2)来源: 例2.9.求 解:输入命令: limit(xx，x，0，right)得结果:ans =1 例2.10.求 解:输入命令: limit(cot(x)(1/log(x)，x，0，right)得结果:ans=exp(-1)三、导数计算导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率. （）点导数是一个极限值. 例3.1.设，用定义计算. 解:在某一点的导数定义为极限: 我们记，输入命令: syms h；limit(exp(0+h)-exp(0)/h，h，0)得结果:ans=可知 （）导数的几何意义是曲线的切线斜率. 例3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势. 解:在曲线上另取一点，则的方程是: .即 取，分别作出几条割线. h=3，2，1，0.1，0.01；a=(exp(h)-1)./h；x=-1:0.1:3； plot(x，exp(x)，r)；hold on for i=1:5； plot(h(i)，exp(h(i)，r.) plot(x，a(i)*x+1) end axis square 作出在处的切线plot(x，x+1，r)从图上看，随着与越来越接近，割线越来越接近曲线的割线 求一元函数的导数. （）的一阶导数. 例3.3.求的导数. 解:打开matlab指令窗，输入指令: dy_dx=diff(sin(x)/x).得结果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2. matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示 例3.4.求的导数. 解: 输入命令: dy_dx=diff(log(sin(x).得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab中，函数用log(x)表示，而log10(x)表示 例3.5.求的导数. 解: 输入命令:dy_dx=diff(x2+2*x)20).得结果: dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2). 注意输入时应为2*x. 例3.6.求的导数. 解: 输入命令: dy_dx=diff(xx).得结果: dy_dx =xx*(log(x)+1). 利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的导数. 例3.7.求下列函数的导数: 1. 2. 3. 4. 解: 输入命令: a=diff(sqrt(x2- 2*x+5)，cos(x2)+2*cos(2*x)，4(sin(x)，log(log(x).得结果: a= 1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x)， 4sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x). dy1_dx=a(1) dy1_dx=1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2). dy2_dx=a(2) dy2_dx=-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x). dy3_dx=a(3) dy3_dx=4sin(x)*cos(x)*log(4). dy4_dx=a(4) dy4_dx=1/x/log(x). 由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量. （）参数方程所确定的函数的导数.来源:设参数方程确定函数，则的导数 例3.8.设，求解: 输入命令: dx_dt=diff(a*(t-sin(t)；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)； dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果: dy_dx=sin(t)/(1-cos(t).其中分号的作用是不显示结果. 求多元函数的偏导数. 例3.9.设 求 u的一阶偏导数.解: 输入命令: diff(x2+y2+z2)(1/2)， x).得结果: ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x.在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数: ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*y.也可以输入命令: jacobian(x2+y2+z2)(1/2)，x y).得结果: ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x， 1/(x2+y2+z2)(1/2)*y给出矩阵 例3.10.求下列函数的偏导数: 1. 2. 解: 输入命令: diff(atan(y/x).得结果: ans=-y/x2/(1+y2/x2).输入命令: diff(atan(y/x)， y).得结果: ans=1/x/(1+y2/x2).输入命令: diff(xy， x).得结果: ans=xy*y/x.输入命令: diff(xy， y).来源:得结果: ans=xy*log(x). 使用jacobian命令求偏导数更为方便.输入命令: jacobian(atan(y/x)，xy，x，y).得结果: ans= -y/x2/(1+y2/x2)， 1/x/(1+y2/x2) xy*y/x， xy*log(x). 求高阶导数或高阶偏导数. 例3.11.设 ，求.解:输入指令: diff(x2*exp(2*x)，x，20).得结果: ans =99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x2*exp(2*x) 例3.12.设，求,解:输入命令: diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x，2)可得到: ans=30*x4+4*y2.将命令中最后一个x换为y得: ans=-36*y2+4*x2.输入命令: diff(diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x)，y)可得: ans=8*x*y同学们可自己计算比较它们的结果.注意命令:diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x，y)，是对y求偏导数，不是求 求隐函数所确定函数的导数或偏导数 例3.13.设，求 解:，先求，再求输入命令: df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)得到: df_dx=1/x+y/x2*exp(-y/x).输入命令: df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)得到: df_dy=-1/x*exp(-y/x)输入命令: dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求结果: dy_dx=-(-1/x-y/x2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x). 例3.14.设 ，求,来源:数理化网解:输入命令: a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，x，y，z)可得矩阵 a= cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)2)*z，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z， -sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)2)*x.输入命令: dz_dx=-a(1)/a(3)得