4.1　圆的方程3

圆的方程1基础知识：（1）圆方程的几种形式：标准方程、一般方程（圆的判别式D2+E2-4F 0）（2）直线与圆的位置关系：相交两点、相切、相离（3）坐标轴的平移：移轴公式例1指出下列圆的圆心和半径（1）( x + 2 )2 + ( y -5 )2 = 3 （2）x2 + y2 -6x + 4y + 9 = 0解：（1）圆心( -2, 5 ), 半径r = （2）由( x -3 )2 + ( y + 2 )2 = 4 圆心( 3, -2 )，半径r = 2例2下列方程表示什么图形？（1）x2 + y2 + 5x - 3y + 1 = 0 （2）x2 + y2 + 4x + 4 = 0 （3）x2 + y2 + x + 2 = 0解：（1）= 30 0, 表示一个圆 （2）= 0, 表示一个点( -2, 0 ) （3）= -7 0时, 即-2 b 2, 有两交点 当=0时, 即b = 2, 有一个交点 当 2或b -2, 没有交点.例7已知圆的方程是x2 + y2 = 5, 且圆的切线满足下列条件，求圆的切线方程（1）过圆上一点P( -2, 1 ) （2）过圆外一点Q( 3, 1 )解：（1）切线的法向量为( -2, 1 ), 圆上一点P( -2, 1 )切线方程为：-2( x + 2 ) + ( y -1 ) = 0 2x -y + 5 = 0归纳：过圆上一点P( x0, y0)、圆心在原点的圆x2 + y2 = r2的切线方程为：x0x + y0y = r2. （2）设切线方程为y - 1 = k( x -3 ), 则圆心( 0, 0 )到切线的距离等于半径即 ( 1 - 3k )2 = 5( k2 + 1 ) k =, k = 2MABdrls所求的切线方程是：x + 2y -5 = 0, 2x -y -5 = 0说明：本小题的方法是求圆的切线方程的一般方法.例8求直线3x -y + 2 = 0截圆x2 + y2 - 2x + 4y = 0所得的弦长.解： 圆方程可化为：( x -1 )2 + ( y + 2 )2 = 5 圆心为( 1, -2 ), 半径r =, 圆心到直线的距离d =即知圆的弦长l满足：l = 所求弦长l = 练习：1已知DABC的三个顶点为A( 6, -2 ), B( -1, 5 ), C( 5, 5 ), 求DABC外接圆的方程.2当m取何值时, 直线3x + 4y + m = 0与曲线x2 + y2 = 4有两个交点, 一个交点, 无交点.3当b取何值时, 直线3x -4y + b = 0与圆x2 + y2 -2x + 4y + 4 = 0相交, 相离, 相切?4已知圆的方程是x2 + y2 = 8, 由下列条件求圆的切线方程( 1 ) 过点A( -2, 2 ). ( 2 ) 过点M( 3, 2 ) （3）在y轴上的截距为4.5求直线x -y -5 = 0在圆x2 + y2 = 25上截得的弦长.3综合应用：例9已知定点A( 4, 0 ), B为圆x2 + y2 = 4上的一个动点, 点P分线段的比为21，求点P的轨迹方程.解：设点B的坐标为( x0, y0 ), 动点P的坐标为( x, y )，则点P分线段的比l =yxoA(4,0)B(x0,y0)P(x,y) B( x0, y0 )在圆上, 则 x02 + y02 = 4 ( * )由定比分点公式： ( * ) 将式( * )代入式 ( * )：( 所求线段的轨迹方程是 ( x -)2 + y2 =归纳：(坐标代换法) 设轨迹上的点P( x, y ), 已知曲线上的点M( x0, y0 ), 用中点的坐标公式将点P的坐标用点M及已知点的坐标表示，再代入已知方程化简所得方程即是所求的轨迹方程.例10求与两平行直线x + 3y -5 =0和x + 3y -3=0相切, 圆心在直线2x + y + 3=0上的圆的方程.yxo解 设圆心为( a, -2a-3 ), 则圆心到两平行直线之间的距离为圆的半径 a = 圆心坐标为(), 半径r = 所求圆的方程是: 练习：1已知圆方程为x2 + y2 = 5, A( 3, 0 ), P是圆上任意一点, 求PA