2016高中数学人教a必修1第二章2.1.1　指数与指数幂的运算

2.11指数与指数幂的运算1n次方根定义一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*性质来源:及表示n是奇数来源:正数的n次方根是一个正数来源:a的n次方根用符号表示来源:来源:负数的n次方根是一个负数n是偶数正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示正的n次方根与负的n次方根可以合并写成(a0)负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0谈重点 对“n次方根”的理解“n次方根”的定义及性质是平方根、立方根定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，可以通过类比进行理解【例1】已知m102，则m等于()A B C D解析：m102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数m答案：D2根式定义式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数性质()na当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|点技巧 根式的记忆口诀正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零【例21】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)5(2)2(3)2(4)3【例22】化简：(1)；(2)(x，nN*)解：(1)错解(1)(1)2错解原因因为，而10，所以1正解(1)11(2)x，x0，当n为偶数时，|x|x；当n为奇数时，x辨误区 的错误应用(1)表示an的n次方根，对任意aR都有意义，但等式a不一定成立当n的值不确定时，应注意分n为奇数和偶数两种情况对n进行讨论(2)与()n的区别：当n为奇数，且aR时，有()na；当n为偶数，且a0时，有()na3分数指数幂(1)分数指数幂的意义正数的正分数指数幂(a0，m，nN*，且n1)正数的负分数指数幂(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义谈重点 对分数指数幂的理解(1)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；(2)指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新写法在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(3)通常规定分数指数幂的底数a0，但要注意在像中的a，则需要a0【例31】用根式的形式表示下列各式(a0)：，解：，谈重点 分数指数幂与根式互化的易错点(1)分不清分子、分母的位置，如写成；(2)负分数指数幂化简时不注意负号的位置，如或者(2)有理数指数幂的运算性质符号表示文字叙述arasars(a0，r，sQ)同底数幂相乘，底数不变，指数相加(ar)sars(a0，r，sQ)幂的幂，底数不变，指数相乘(ab)rarbr(a0，b0，rQ)积的幂等于幂的积点技巧 巧记有理数指数幂的运算性质有理数指数幂在运算中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘【例32】求值：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)(2)3327(3)(4)【例33】用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)；(2)；(3)；(4)分析：解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简解：(1)原式(2)原式(3)原式(4)原式根式化为分数指数幂的方法将根式化为分数指数幂的依据是(a0，m，nN*，且n1)当要变化的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质进行合并4无理数指数幂(1)一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数；(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂，即：aaa(a0，是无理数)；(a)a(a0，是无理数)；(ab)ab(a0，b0，是无理数)【例4】求值：(1)；(2)解：(1)原式238(2)原式5221275指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧比如，(3)2.1，由于(3)21是一个负数，所以(3)2.1无意义，这说明化简中出现了错误(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算比如，化简a，如果不将根式化为指数幂，就很难完成化简：aa(4)计算或化简的结果尽量最简，对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式综上所述：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序【例51】计算下列各式：(1)22(0.01)0.5；(2)(0.1)230；(3)160.75解：(1)原式1(2)原式100(3)原式0.411(2)4230.1【例52】化简：(1)(a0，b0)；(2)(ab0)；(3)(ab0，且a8b)解：(1)原式(2)原式ab(3)原式a6条件求值问题利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：(1)将条件用结论表示，直接解出结论；(2)有些时候，直接代入求值不方便，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，常用整体代入法来求值要求同学们熟练掌握平方差、立方和(差)以及完全平方公式，如ab，ab等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解(3)有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁所以在解题时要先审题，比较各种思路的优劣，然后再动手做题，养成良好的思维习惯例如：已知2x2xa(常数)，求8x8x的值解：(方法一)8x8x23x23x(2x)3(2x)3(2x2x)(2x)22x2x(2x)2(2x2x)(2x2x)232x2x(2x2x)(2x2x)23a(a23)a33a(方法二)令2xt，则2xt1，所以tt1a，两边平方整理得t2t2a22，则8x8xt3t3(tt1)(t2tt1t2)a33a【例6】(1)已知，求的值；(2)已知a，b是方程x26x40的两根，且ab0，求的值解：(1)，将，代入，得原式(2)a，b是方程x26x40的根，由根与系数关系得又ab0，析规律 条件求值问题的处理方法对于条件求值问题，常采用“整体代换”或“求值后代换”的方法求解要注意运用恰当的变形，如分解因式等用乘法公式时，还要注意开方时正负号的选取，如本题第(2)小题7二次根式与完全平方公式的综合问题由于乘方和开方互为逆运算，则完全平方公式(mn)2