第八篇 第2讲 空间图形的基本关系与公理

第2讲 空间图形的基本关系与公理A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点答案A2若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 ()A平行 B异面C相交 D平行、异面或相交解析经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案D3以下四个命题中，正确命题的个数是 ()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3解析正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上答案B4在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 ()AA1、M、O三点共线 BM、O、A1、A四点共面CA、O、C、M四点共面 DB、B1、O、M四点共面解析因为O是BD1的中点由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)解析只有当ab时，a，b在上的射影才可能是同一条直线，故错，其余都有可能答案6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误答案三、解答题(共25分)7(12分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綉AD.又BC綉AD，GH綉BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面8(13分)在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上(1)过P点在空间作一直线l，使l直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，其中，这样的直线有几条，应该如何作图？解(1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)B1D1BD，lB1D1，l直线BD.图(a)(2)BDB1D1，直线m与直线BD也成角，即直线m为所求作的直线，如图(b)由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角.当时，这样的直线m有且只有一条，当时，这样的直线m有两条图(b)B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013咸阳模拟)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCD BAB与CD相交CABCD DAB与CD所成的角为60解析如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确正确选项为D.图(b)中，DEAB，CDE为AB与CD所成的角，CDE为等边三角形，CDE60.答案D2.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 ()A45 B60C90 D120解析如图，连接AB1，易知AB1EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GHAB1EF.设ABBCAA1a，连接HB，在GHB中，易知GHHBGBa，故两直线所成的角即为HGB60.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形解析易知EHBDFG，且EHBDFG，同理EFACHG，且EFACHG，显然四边形EFGH为平行四边形要使平行四边形EFGH为菱形需满足EFEH，即ACBD；要使四边形EFGH为正方形需满足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.答案ACBDACBD且ACBD4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条解析法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案无数三、解答题(共25分)5(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线证明MPQ，直线PQ平面PQR，MBC，直线BC面BCD，M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上同理可证：N、K也在l上M、N、K三点共线6(13分)在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解(1)在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PBO是PB与面ABCD所成的角，即PBO60，在RtPOB中，BOABsin 301，又POOB，POBOtan 60，底面菱形的面积S菱形ABCD2.四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，E