第1章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填在题中横线上)1有下列四个结论，其中正确结论的个数为_互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂直于同一条直线的两条直线平行；两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线解析：错误，异面直线也可能垂直错误，应有无数条错误，可能平行，相交或异面正确答案：12下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是_圆锥；棱柱；圆柱；球解析：平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆答案：3(1)若四点不共面，则每三点一定不共线；(2)若四点中的每三点不共线，则此四点一定不共面；(3)两组对边分别相等的四边形是平面图形；(4)两个平面将空间分成3或4个部分其中正确的个数是_解析：(1)与(4)正确对于(1)，若三点共线，根据直线与直线外一点可以确定一个平面，知四点共面，故命题(1)正确；对于(4)，若两平面平行，则把空间分成3个部分，若两平面相交，则把空间分成4个部分；对于(2)，如平行四边形无三点共线，但却是平面图形，即四点共面；对于(3)，如正四面体中的任两条相对棱都相等，但由这四个顶点组成的图形不是平面图形答案：24在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，正确，错误；棱锥ABDA1符合，正确；棱锥A1BDC1符合，正确；棱锥A1ABC符合，正确答案：5如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是_SG平面EFGSD平面EFGGF平面SEFGD平面SEF解析：在图甲中，SG1G1E，SG3G3F；在图乙中，SGGE，SGGF，SG平面EFG.答案：6正方体的表面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是_解析：设正方体棱长为b，则b2R，S球4R24(b)23b2，又a26b2，S球a2.答案：a27(2010年高考湖南卷)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h_ cm.解析：如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA平面ABC，BAAC.由于VSABCh56h5h，5h20，h4.答案：48在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确论断的序号为_解析：由PABC为正三棱锥知，PBAC，又由DEAC得，AC平面PDE.答案：9如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于_解析：设底面半径为r，则2r2rS，故r，所以Vr22r.答案：10长方体ABCDA1B1C1D1中截去三棱锥B1A1BC1，则它的体积是长方体体积的_解析：截出的三棱锥底面积为长方体底面面积的，两者的高一样，VV长V长答案：11(2010年高考湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_ cm.解析：设球的半径为r cm，则r28r33r26r，解得r4.答案：412如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为_解析：设正方体的棱长为a，则S正6a2，正四面体D1AB1C的棱长为a，S正四面体4(a)22a2，所以 .答案：13在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为_解析：如图，取AB中点为O，连结C1O和CO.是正三棱柱，COAB，AC1BC1.COAB，则C1OC即为二面角CABC1的平面角又AB1，CO，C1C，OC1.下面用等体积法求距离VC1ABCVCABC1，SABCCC1SABC1d，即1d.d.答案：14长方体ABCDA1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，如图，ABAA11，BC，则A，B两点间的球面距离为_解析：由题意可知球的直径为长方体的体对角线B1D，R球1.设B1D的中点为M，则M为球的球心，故ABM为边长为1的正三角形，AMB，A，B两点间的球面距离为.答案：二、解答题(本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)画一个侧棱长为4 cm，底面边长为4 cm的正四棱锥的三视图和直观图，并求其表面积解：正四棱锥的三视图和直观图如图所示此正四棱锥的表面积为S表4424216(1)(cm2)16(本小题满分14分)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH.证明：连结BM、AC，设ACBDO，连结MO.四边形ABCD为平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，MOPA.又MO平面BDM，PA平面BDM，PA平面BDM.又平面BDM平面PAGGH，PA平面PAG，PAGH.17(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且二面角PCDB为45.求证：(1)AF平面PEC；(2)平面PEC平面PCD.证明：(1)如图，取PC的中点G，连结EG，FG，因为F是PD的中点，所以FGCD，且FGCD，而AECD，且AECD，所以EAGF，且EAGF，故四边形EGFA是平行四边形，从而EGAF，又AF平面PEC，EG平面PEC，所以AF平面PEC.(2)因为PA平面ABCD，所以PACD，又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPD，则PDA就是二面角PCDB的平面角，所以PDA45，则AFPD.又AFCD，PDCDD，所以AF平面PCD，由(1)知，EGAF，所以EG平面PCD，而EG平面PEC，所以平面PEC平面PCD.18(本小题满分16分)将圆心角为120，面积为3的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则l23，l3.又32r，r1.h2.S表面积S侧面S底面rlr24，VSh122.19(本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点(1)如果QB的中点为C，OHSC，求证：OH平面SBQ；(2)如果AOQ60，QB2，求圆锥的体积解：(1)证明：OHSC，SOOH，SOSCS，OH平面SOC，OHOC.QB的中点为C，OCQB.QB、OC、OH在同一平面内，OHQB，QB平面SBQ，OH平面SBQ，OH平面SBQ.(2)AOQ60，AOQO，BAQ60.在RtABQ中，AB4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，圆锥的高SOAB2.V圆锥()2SO42.20(本小题满分16分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PDAD1.(1)求证：MN平面PCD；(2)求证：平面PAC平面PBD；(3)求三棱锥PABC的体积解：(1)证明：如图，取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以MEPD，NECD，又ME，NE平面MN