高考数学总复习课件91_三角换元化代数解析几何

返回 第九编 解析几何 9.1 直线的方程 基础知识 自主学习 要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴 与直线l 方向之间所成的角 叫 做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 .倾斜角的范围为 . 正向 向上 0 180 0 (2)直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条 直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= ， 倾斜角是90的直线斜率不存在. 过两点的直线的斜率公式 经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1x2)的直线 的斜率公式为k= 正切值 tan 2.直线方程的五种形式 名称方程适用范围围 点斜式不含垂直于x轴轴的直线线 斜截式不含垂直于x轴轴的直线线 两点式 不含直线线x=x1 （x1x2） 和直线线y=y1 （y1y2） 截距式 不含垂直于坐标轴标轴 和过过原 点的直线线 一般式 平面直角坐标标系内的直线线 都适用 3.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程 （1）若x1=x2,且y1y2时，直线垂直于x轴，方程 为 ; (2)若x1x2,且y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为 ; (3)若x1=x2=0，且y1y2时，直线即为y轴，方程 为 ; (4)若x1x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程 为 . x=x1 y=y1 x=0 y=0 4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x,y）， 则 ，此公式为线段P1P2的中点 坐标公式. 基础自测 1.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等 于1，则m的值为 （ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析 kMN= =1，m=1. A 2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（ ） A.（18，8），（4，-4） B.（0，0），（ ，1） C.（0，-1），（3，2） D.（-4，1），（0，-1） 解析 对A过两点的直线斜率 对B过两点的直线斜率 对C过两点的直线斜率 对D过两点的直线斜率 过D中两点的直线的倾斜角是钝角. 答案 D 3.下列四个命题中，假命题是 （ ） A.经过定点P（x0，y0）的直线不一定都可以用 方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2） 的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)来表示 C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方 程 表示 D.经过点Q（0，b）的直线都可以表示为y=kx+b 解析 A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B 正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直 线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线， 不正确. D 4.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0 不通过 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由题意知ABC0. 直线方程变为y=- x- ， AC0，BC0，AB0， 其斜率k=- 0,在y轴上的截距b=- 0, 直线过第一、二、四象限. C 5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 解析 设所求直线的方程为 A（-2，2）在直线上， 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， |a|b|=1 由可得 由（1）解得 方程组（2）无解. 故所求的直线方程为 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程. 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0 题型一 直线的倾斜角 【例1】 若 ，则直线2xcos +3y+1=0 的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 题型分类 深度剖析 思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的 范围，再确定倾斜角范围. 解析 设直线的倾斜角为 ,则tan =- cos , 又 ，0cos , cos 0 即- tan 0,注意到0 , . 答案 B 探究提高 （1）求一个角的范围，是先求这个角 某一个函数值的范围，再确定角的范围. （2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一 个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得 到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余 弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的 是消去变量 得到。 知能迁移1 直线xsin -y+1=0的倾斜角的变化范 围是 （ ） A. B.(0,) C. D. 解析 直线xsin -y+1=0的斜率是k=sin , 又-1sin 1，-1k1， 当0k1时，倾斜角的范围是 ； 当-1k0时，倾斜角的范围是 . D 题型二 直线的斜率 【例2】 已知直线l过点P（-1，2），且与以 A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交， 求直线l的斜率的取值范围. 分别求出PA、PB的斜率，直线l处 于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求. 解 方法一 如图所示，直线PA的 斜率 直线PB的斜率 思维启迪 当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC 时，它的斜率变化范围是5，+）； 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜 率的变化范围是 直线l的斜率的取值范围是 方法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0. A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上， （-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）0， 即（k-5）（4k+2）0，k5或k- . 即直线l的斜率k的取值范围是 5，+）. 方法一 运用了数形结合思想.当直线 的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时， 需根据正切函数y=tan 的单调性求k的范围，数 形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图 形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快 捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示 的平面区域的性质使问题得以解决. 探究提高 知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直 线l：y=k（x-2）+1 与线段AB相交，则k的取值范围是 （ ） A.k B.k-2 C.k 或k-2 D.-2k 解析 由已知直线l恒过定点P（2，1），如图. 若l与线段AB相交， 则kPAkkPB， kPA=-2，kPB= ， -2k . D 题型三 求直线的方程 【例3】 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距 相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 选择适当的直线方程形式，把所需要 的条件求出即可. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， l的方程为y= x，即2x-3y=0. 思维启迪 若a0，则设l的方程为 l过点（3，2）， a=5，l的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3- ,令x=0,得y=2-3k, 由已知3- =2-3k，解得k=-1或k= , 直线l的方程为 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0. （2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为2 . tan =3,tan 2 = 又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=- (x+1), 即3x+4y+15=0. 探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况. 知能迁移3 求下列直线l的方程： （1）过点A（0，2），它的倾斜角的正弦值是 ； （2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1： 3x+4y+5=0的倾斜角的一半； （3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与 2x-3y-2=0的交点. 解 （1）设直线l的倾斜角为 ， 则sin = ,tan = , 由斜截式得y= x+2, 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0. （2）设直线l和l1的倾斜角分别为 、 ， 则 解得tan =3或tan =- （舍去）. 由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. （3）解方程组 即两条直线的交点为（-5，-4）. 由两点式得 即5x-7y-3=0. 题型四 直线方程的应用 【例4】 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y 轴正半轴于A、B两点，求使： （1）AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|PB|最小时l的方程. 先求出AB所在的直线方程，再求出A， B两点的坐标，表示出ABO的面积，然后利用 相关的数学知识求最值. 思维启迪 解 方法一 设直线的方程为 当且仅当 ,即a=4,b=2时，SAOB取最 小值4， 4分 此时直线l的方程为 6分 1分 3分 当且仅当a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3时，|PA|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 12分 8分 10分 方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 当且仅当-4k=- ,即k=- 时取最小值，此时直 线l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 6分 1分 3分 （2）|PA|PB|= 10分 当且仅当 =4k2,即k=-1时取得最小值,此时直 线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分 求直线方程最常用的方法是待定系数 法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点 斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而 方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独 特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决 问题的能力. 探究提高 知能迁移4 已知直线l:kx-y+1+2k=0 (kR). （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B， AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的 方程. （1）证明 直线l的方程是：k（x+2)+(1-y)=0, 无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）. （2）解 由方程知,当k0时直线在x轴上的截距为 ,在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过 第四象限， 则必须有 解之得k0; 当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k0. （3）解 由l的方程，得 依题意得 方法与技巧 1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值 范围，熟记斜率公式：k= ，该公式 与两点顺序无关，已知两点坐标（x1x2）时， 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2 ，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直 线的倾斜角为90. 思想方法 感悟提高 2.求斜率可用k=tan （ 90），其中 为倾 斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇 到斜率要谨记，存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系 数法. 4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线 上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关 系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直 线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求. 失误与防范 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在； 每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存 在斜率. 2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围； 二是要考虑正切函数的单调性. 3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量为 （-B，A）不可记错，但同时注意方向向量是不 唯一的. 4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三 种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求 出垂直于x轴的直线方程. 一、选择题 1. 直线l经过A（2，1）、 B（1，m2） （mR）两点， 那么直线l的倾斜角的取值范围是 （ ） A.0， ） B. C. D. 解析 k= =1-m21,又k=tan ,0 , 所以l的倾斜角的取值范围为 定时检测 D 2.直线l1:3x-y+1=0，直线l2过点（1，0），且它的 倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为 （ ） A.y=6x+1 B.y=6(x-1) C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 解析 由tan =3可求出直线l2的斜率 k=tan 2 = 再由l2过点（1，0）即可求得直线方程. D 3.若直线（2m2+m-3）x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的 截距为1,则实数m是 ( ) A.1 B.2 C. D.2或 解析 当2m2+m-30时, 在x轴上截距为 =1,即2m2-3m-2=0， m=2或m= . D 4.直线x+(a2+1)y+1=0 (aR)的倾斜角的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 解析 斜率k=- -1,故k-1，0）， 由图象知倾斜角 ,故选B. B 5.直线ax+y+1=0与连结A（2，3）、B（-3，2）的 线段相交，则a的取值范围是 （ ） A.-1，2 B.（-，-1）2，+） C.-2，1 D.（-，-21，+） 解析 直线ax+y+1=0过定点C（0，-1），当直 线处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，应满 足-a 或-a ，即a-2或a1. D 6.已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别 为A，B，与函数y=lg x图象的交点分别为C，D， 则直线AB与CD （ ） A.相交，且交点在第象限 B.相交，且交点在第象限 C.相交，且交点在第象限 D.相交，且交点在坐标原点 解析 易知A（2，1），B（4，2），原点 O（0，0）， kOA=kOB= .直线AB过原点. 同理C（2，lg 2），D（4，2lg 2），kOC=kOD= 直线CD过原点，且与AB相交，故选D. D 二、填空题 7.过两点A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的 直线l的倾斜角为45，则m的值为 . 解析 由题意得： 解得：m=-2或m=-1. 又m2+23-m-m2,m-1且m ,m=-2. -2 8.若经过点P（1-a,1+a）和Q（3，2a）的直线的倾 斜角为锐角，则实数a的取值范围是 . 解析 由条件知直线的斜率存在，由公式得 因为倾斜角为锐角，所以k0， 解得a1或a-2. 所以a的取值范围是a|a1或a-2. （-,-2）(1,+) 9.直线y= x关于直线x=1对称的直线方程是 . 解析 在所求直线上任取一点坐标为（x,y），设 关于直线x=1对称点的坐标是（x0，y0）， 整理得：x+2y-2=0.（也可以用点斜式求解） x+2y-2=0 三、解答题 10.已知线段PQ两端点的 坐标分别为（-1，1）、 （2，2），若直线l:x+ my+m=0与线段PQ有交点， 求m的范围. 解 方法一 直线x+my+m=0 恒过A（0，-1）点. kAP= =-2， 又m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点， 所求m 的范围是 m . 方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1= 即 代入x+my+m=0, 整理得： ,由已知-1 2, 解得：- m . 11.已知ABC中，A（1，-4），B（6，6）， C（-2，0）.求： （1）ABC的平行于BC边的中位线的一般式方 程和截距式方程； （2）BC边的中线的一般式方程，并化为截距式 方程. 解（1）平行于BC边的中位线就是AB、AC中点 的连线. 因为线段AB、AC中点坐标为 所以这条直线的方程为 整理得：6x-8y-13=0， 化为截距式方程为 （2）因为BC边上的中点为（2，3），所以BC边 上的中线方程为 即7x-y-11=0, 化为截距式方程为 12.已知两点A（-1，2），B（m，3）. （1）求直线AB的方程； （2）已知实数m 求直线AB的倾 斜角 的取值范围. 解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1, 当m-1时，直线AB的方程为 （2）当m=-1时， = ; 当m-1时，m+1 （0， ， 综合知，直线AB的倾斜角 返回 要点梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为 k1,k2,则有l1l2 .特别地，当直线l1、 l2的斜率都不存在时，l1与l2 . 9.2 两条直线的位置关系 k1=k2 平行 基础知识 自主学习 (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则 l1l2k1k2=-1，当一条直线斜率为零，另一条 直线斜 率不存在时，两直线垂直. 2.两直线相交 交点：直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的 公共点的坐标与方程组 的解一一对应. 相交方程组有 ，交点坐标就是方程组 的解； 平行方程组 ； 重合方程组有 . 唯一解 无解 无数个解 3.三种距离公式 （1）点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离: |AB|= . （2）点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离: d= . （3）两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （ C1C2）间的距离为d= . 基础自测 1.（2008全国文，3）原点到直线x+2y-5=0的 距离为 （ ） A.1 B. C.2 D. 解析 D 2.（2008福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和 直线x-ay=0互相垂直”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a=1时,直线x+y=0与直线x-y=0垂直成立； 当直线x+y=0与直线x-ay=0垂直时，a=1. 所以“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相 垂直”的充要条件. C 3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个 端点是A（2，1），则它的另一个端点B的坐标 是 （ ） A.（-3，1）或（7，1） B.（2，-3）或（2，7） C.（-3，1）或（5，1） D.（2，-3）或（2，5） 解析 设B（x，1），则由|AB|=5， 得（x-2）2=25， x=7或x=-3. B点坐标为（7，1）或（-3，1）. A 4.已知直线l的倾斜角为 ，直线l1经过点 A（3，2）、B（a，-1），且l1与l垂直，直 线l2:2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于 （ ） A.-4 B.-2 C.0 D.2 解析 l的斜率为-1，则l1的斜率为1, kAB= =1,a=0. 由l1l2, b=-2,所以a+b=-2. B 5.已知l1的倾斜角为45，l2经过点P（-2，-1）， Q（3，m），若l1l2，则实数m= . 解析 由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2= . l1l2，k1k2=-1. -6 题型一 两条直线的平行与垂直 【例1】已知点M（2，2），N（5，-2），点P在 x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标. （1）MOP=OPN （O是坐标原点）； （2）MPN是直角. MOP=OPNOMPN，MPN是 直角MPNP，故而可利用两直线平行和垂直 的条件求得. 思维启迪 题型分类 深度剖析 解 设P（x，0）， （1）MOP=OPN，OMNP. kOM=kNP.又kOM= =1， x=7，即P（7，0）. （2）MPN=90，MPNP， kMPkNP=-1. 又kMP= （x2），kNP= （x5）， =-1，解得x=1或x=6, 即P（1，0）或（6，0）. 探究提高 （1）充分掌握两直线平行与垂直的条 件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合 的两条直线l1和l2,l1l2 k1=k2,l1l2 k1k2= -1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直 线的斜率是多少一定要特别注意. （2）注意转化与化归思想的应用. 知能迁移1 已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0 ），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形 （A、B、C、D按逆时针方向排列）. 解 设所求点D的坐标为（x，y）， 如图所示，由于kAB=3，kBC=0， kABkBC=0-1， 即AB与BC不垂直，故AB、BC都 不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD是直角梯形的直角边，则BCCD，ADCD ， kBC=0，CD的斜率不存在，从而有x=3. 又kAD=kBC， =0，即y=3. 此时AB与CD不平行. 故所求点D的坐标为（3，3）. （2）若AD是直角梯形的直角边， 则ADAB，ADCD，kAD= ，kCD= . 由于ADAB， 3=-1. 又ABCD， =3. 解上述两式可得 此时AD与BC不平行. 故所求点D的坐标为 综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可 以为（3，3）或 题型二 两直线的交点 【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的 交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式； 也可利用直线系方程求解. 解 方法一 先解方程组 得l1、l2的交点（-1，2）， 再由l3的斜率 求出l的斜率为- ， 于是由直线的点斜式方程求出l: 即5x+3y-1=0. 思维启迪 方法二 由于ll3，故l是直线系5x+3y+C=0中的 一条，而l过l1、l2的交点（-1，2）， 故5（-1）+32+C=0，由此求出C=-1， 故l的方程为5x+3y-1=0. 方法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x+2y -1+ （5x+2y+1）=0中的一条， 将其整理，得 （3+5 ）x+（2+2 ）y+（-1+ ）=0. 其斜率 解得 = ， 代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0. 探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来 方便，常见的直线系方程有： （1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是： Ax+By+m=0 （mR且mC） （2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0 （mR） （3）过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+ （A2x+B2y+C2）=0 （ R），但不包括l2. 知能迁移2 过点P（3，0）作一直线l，使它被两 直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为 中点，求此直线l的方程. 解 方法一 当lx轴时，方程为x=3，此时 A（3，4），B（3,-6）.线段AB的中点为（3,-1） 不合题意，当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 y=k(x-3), 将此方程分别与l1,l2的方程联立， 将此方程分别与l1,l2的方程联立， 解之，得xA= 和xB= P（3，0）是线段AB的中点，xA+xB=6， 即 解得k=8. 故所求的直线l为y=8(x-3),即8x-y-24=0. 方法二 设l1上的点A的坐标为（x1,y1）, P（3，0）是线段AB的中点， 则l2上的点B的坐标为（6-x1,-y1）, 解这个方程组，得 点A的坐标为 由两点式可得l的方程为8x-y-24=0. 题型三 距离公式的应用 【例3】已知点P（2，-1）. （1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； （2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程， 最大距离是多少？ （3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？ 若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 思维启迪 解（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标 为（2，-1），可见，过P（2，-1）且垂直于x轴 的直线满足条件. 此时l的斜率不存在，其方程为x=2. 若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0. 由已知，得 =2，解得k= . 此时l的方程为3x-4y-10=0. 综上，可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. （2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是 过P点且与PO垂直的直线， 由lOP，得klkOP=-1，所以 由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2), 即2x-y-5=0. 即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的 直线，最大距离为 （3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超 过 的直线，因此不存在过P点且到原点距离 为6的直线. 探究提高 （1）注意讨论斜率不存在的情况. （2）数形结合是解决解析几何问题特别要注意 的一种思想方法. 知能迁移3 已知三条直线l1：2x-y+a=0（a0）, 直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离 是 . (1)求a的值; (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个 条件: P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的 距离的 ;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比 是 .若能,求P点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l2即为2x-y- =0, l1与l2的距离 a0,a=3. (2)假设存在这样的P点. 设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2 平行的直线l：2x-y+C=0上， 且 即C= 或C= ， 若P点满足条件，由点到直线的距离公式 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， x0-2y0+4=0或3x0+2=0； 由于P点在第一象限，3x0+2=0不满足题意. 联立方程 联立方程 假设成立，P 即为同时满足三个条 件的点. 题型四 对称问题 【例4】（12分）求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1 对称的直线l2的方程. 转化为点关于直线的对称，利用方程 组求解. 解题示范 解 方法一 由 知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1）， 2分 设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 3分 在直线l上任取一点（1，2）， 思维启迪 由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等， 5分 由点到直线的距离公式得 8分 解得k= (k=2舍去)， 10 分 直线l2的方程为x-2y=0. 12分 方法二 设所求直线上一点P（x,y）, 则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于 直线l对称. 由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点 在直线l上. 6分 变形得 8分 代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3, 10分 整理得x-2y=0. 所以所求直线方程为x-2y=0. 12分 探究提高 对称问题是解析几何中的一个重要题 型，是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对 称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求 点P（x0,y0）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点 Q（x1,y1）的坐标，可利用PQl及线段PQ被l 平分这两个条件建立方程组求解,本题方法二就 是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的 思想方法解题，这是解这类问题的一个通法. 知能迁移4 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直 线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线 方程. 解 方法一 由 得 反射点M的坐标为（-1,2）. 又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关 于直线l的对称点P(x0,y0)，由PPl可 知,kPP=- = 而PP的中点Q的坐标为 Q点在l上，3 -2 +7=0. 由 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线 的方程为29x-2y+33=0. 方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于 直线l的对称点为P(x,y),则 又PP的中点 在l上， 可得P点的坐标为 代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0, 所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0. 方法与技巧 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对 于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2 k1=k2；l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不 存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别 注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点 的对称.利用坐标转移法. 失误与防范 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线 的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判 定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑. 思想方法 感悟提高 一、选择题 1.若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与 3x-4y+5=0之间，则整数b的值为 （ ） A.5 B.-5 C.4 D.-4 解析 把x=5代入6x-8y+1=0得y= ， 把x=5代入3x-4y+5=0得y=5, b5. 又b为整数，b=4. 定时检测 C 2.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射， 则反射光线所在的直线方程为 （ ） A.y=3x-3 B.y=-3x+3 C.y=-3x-3 D.y=3x+3 解析 点M关于x轴的对称点M(2,-3)，则反 射光线即在直线NM上， y=-3x+3. B 3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直， 则l的方程为 （ ） A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 解析 令y=4x3=4,得x=1,切点为（1，1）， l的斜率为4.故l的方程为y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0. A 4.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的 光线所在的直线方程为 （ ） A. B. C. D. 解析 由 即直线过点 （-1，-1）. 又直线y=2x+1上一点（0，1）关于直线y=x对称 的点（1，0）在所求直线上， 所求直线方程为 B 5.已知直线l过点P(3,4)且与点A（-2,2）,B(4,-2) 等距离,则直线l的方程为 （ ） A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0 解析 设所求直线方程为y-4=k(x-3), 即kx-y+4-3k=0, 由已知，得 k=2或k=- . 所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0. D 6.已知直线l1,l2的方程分别为 x+ay+b=0,x+cy+d=0， 其图象如图所示，则有 （ ） A.ac0 B.ac C.bd0 D.bd 解析 直线方程化为 l1：y=- x- ，l2：y=- x- . 由图象知，- - 0,- 0- , ac0,b0,d 0. C 二、填空题 7.过点A（2，-3），且与向量m=（4，-3）垂直的 直线方程是 . 解析 与向量平行的直线斜率为- ，则与其 垂直的直线斜率为 .直线方程为 y+3= (x-2),即4x-3y-17=0. 4x-3y-17=0 8.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1l2的充要条件是a= . 解析 -1 得a=-1. 9.从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的 直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线 方程为 . 解析 由题意得，射出的光线方程为y-3= 即x-2y+4=0，与y轴交点为（0，2）， 又（2，3）关于y轴对称点为（-2，3）， 反射光线所在直线过（0，2），（-2，3）， 故方程为 即x+2y-4=0. x+2y-4=0 三、解答题 10.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条 件的直线l的方程. （1）l与l平行且过点（-1，3）； （2）l与l垂直且l与两坐标轴围成的三角形面 积为4； （3）l是l绕原点旋转180而得到的直线. 解（1）直线l:3x+4y-12=0，kl=- ， 又ll,kl=kl=- . 直线l:y=- (x+1)+3, 即3x+4y-9=0. （2）ll,kl= . 设l与x轴截距为b,则l与y轴截距为 b, 由题意可知，S= |b| =4，b= . 直线l: （3）l是l绕原点旋转180而得到的直线， l与l关于原点对称. 任取点（x0,y0）在l上，则在l上对称点为（x,y）. x=-x0，y=-y0,则-3x-4y-12=0. l为3x+4y+12=0. 11.已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0. 求分别满足下列条件的a,b的值. （1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直； （2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1,l2的 距离相等. 解 （1）l1l2，a（a-1）+（-b）1=0， 即a2-a-b=0. 又点（-3，-1）在l1上， -3a+b+4=0 由得a=2,b=2. (2)l1l2， =1-a，b= ， 故l1和l2的方程可分别表示为： (a-1)x+y+ =0,(a-1)x+y+ =0, 又原点到l1与l2的距离相等， a=2或a= , a=2,b=-2或a= ,b=2. 12.光线通过点A（-2，4），经直线l:2x-y-7=0反 射，若反射光线通过点B（5，8）.求入射光线 和反射光线所在直线的方程. 解 如图所示，已知直线l: 2x-y-7=0, 设光线AC经l上点C反射为 BC，则1=2. 再设A关于l的对称点为 A(a,b),则1=3. 2=3， 则B，C，A三点共线. AAl且AA中点在l上， 解得a=10,b=-2,即 (10,-2). AB的方程为y+2= (x-10)， 即2x+y-18=0. AB与l的交点为C 入射光线AC的方程为 即2x-11y+48=0. 入射光线方程为2x-11y+48=0, 反射光线方程为2x+y-18=0. 返回 要点梳理 1.圆的定义 在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 和 . 3.圆的标准方程 （x-a）2+（y-b）2=r2（r0）,其中 为圆心, 为半径. 9.3 圆的方程 基础知识 自主学习 集合 圆心半径 (a,b) r 定点定长 4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 ,其中圆心为 ,半径 r= . 5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1） ； （2） ； （3） . D2+E2-4F0 根据题意，选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一 般方程 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) （1）点在圆上: ; （2）点在圆外: ; （3）点在圆内: . (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2r2 (x0-a)2+(y0-b)2r2 基础自测 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值 范围是 （ ） A.a-2或a B. a0 C.-2a0 D.-2a 解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 转化为 +(y+a)2= a2-a+1, 所以若方程表示圆，则有 3a2+4a-40,-2a . D 2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离 是 （ ） A. B. C. D. 解析 配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心（1，-1） 到直线的距离d= D 3.（2009重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1， 且过点（1，2）的圆的方程是 （ ） A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析 设圆的圆心C（0，b）,则 =1,b=2.圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. A 4.当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过 定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为 （ ） A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 解析 直线方程变为（x+1）a-x-y+1=0, C（-1，2）. 所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 即x2+y2+2x-4y=0. C 5.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y- 2=0上的圆的方程是 （ ） A.（x-3）2+(y+1)2=4 B.（x+3）2+(y-1)2=4 C.（x-1）2+(y-1)2=4 D.（x+1）2+(y+1)2=4 解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r. 圆心C在直线x+y-2=0上，b=2-a. |CA|2=|CB|2， （a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2， a=1，b=1.r=2，方程为(x-1)2+(y-1)2=4. C 题型一 求圆的方程 【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被 直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程. 由条件可设圆的标准方程求解，也可设 圆的一般方程，但计算较繁琐. 解 方法一 设所求的圆的方程是 （x-a）2+（y-b）2=r2， 则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为 ， r2= 题型分类 深度剖析 思维启迪 即2r2=(a-b)2+14 由于所求的圆与x轴相切，r2=b2. 又因为所求圆心在直线3x-y=0上， 3a-b=0. 联立，解得 a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3，r2=9. 故所求的圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9. 方法二 设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0， 圆心为 半径为 令y=0，得x2+Dx+F=0, 由圆与x轴相切，得=0，即D2=4F. 又圆心 到直线x-y=0的距离为 由已知，得 即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F） 又圆心 在直线3x-y=0上， 3D-E=0. 联立，解得 D=-2,E=-6,F=1或D=2，E=6，F=1. 故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0 或x2+y2+2x+6y+1=0. 探究提高 求圆的方程，一般用待定系数法.圆的 一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程 形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径 有关的条件，应优先选择圆的标准形式. 知能迁移1（2009辽宁文，7）已知圆C与直线 x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上， 则圆C的方程为 （ ） A.（x+1）2+(y-1)2=2 B.（x-1）2+(y+1)2=2 C.（x-1）2+(y-1)2=2 D.（x+1）2+(y+1)2=2 解析 由题意可设圆心坐标为（a,-a）,则 ,解得a=1，故圆心坐标为 （1，-1），半径r= 所以圆的方 程为（x-1）2+(y+1)2=2. B 【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义，借助于平面 几何知识，数形结合求解. 解 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3. 1分 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当 直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最 小值，3分 此时 解得b=-2 .5分 所以y-x的最大值为 最小值为 7分 思维启迪 题型二 与圆有关的最值问题 （2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由 平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值. 9分 又圆心到原点的距离为 10分 所以x2+y2的最大